原子物理第三章

第三章量子力学导论,主要内容：,2、波粒二象性,3、不确定关系,4、波函数及其统计解释,5、薛定谔方程,1、玻尔理论的困难,6、量子力学问题的几个简例,7、量子力学对氢原子的描述,重点：,1、两个重要概念：量子化概念及波粒二象性概念,2、一个重要关系式：不确定关系,3、一个基本原理：态叠加原理,4、两个基本假设：波函数的统计解释及薛定谔方程,5、三个重要实验：电子对晶体的衍射、单缝衍射及双缝干涉,今天量子力学的发展不仅仅在基础科学方面，在其他领域也有广阔的应用前景。,量子力学是关于微观世界的基本理论，它能够正确地描述微观世界粒子运动的基本规律，它正确地反映了实物粒子波粒二象性的客观事实。它与某些经典物理概念是不相容的，也突破了玻尔理论的局限性。,等等无一不是立足于量子力学的概念与方法。也可以说，量子物理的科学已与我们今天的生活息息相关。,“光电技术”领域“纳米物理与纳米技术”领域“分子器件”小尺度发展领域“量子生物”、“量子化学”交叉学科领域,量子力学的建立,1900年，普朗克能量量子化1905年，爱因斯坦光量子说1913年，玻尔提出原子结构模型1924年，德布罗意提出物质波概念1925-1928年，海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克等人建立了完整的量子力学理论,量子力学的内容,1、产生新概念的一些重要实验。,2、不同于经典理论的新思想。,3、解决具体问题的方法。,3.1、玻尔理论的困难,原因：将微观粒子看作经典力学中的质点，把经典力学规律应用于微观粒子。,薛定谔的非难。,卢瑟福的质疑。,逻辑上的恶性循环,“遭透的跃迁”,玻尔理论不仅对这些逻辑上的矛盾和困难束手无策，而且，当人们用这一理论去解释周期表中第二号元素氦时，也遇到了无法克服的困难。对于更复杂的原子，则更加暴露玻尔和索末菲理论的不足。就是对于氢原子，它们也不是十分完善的。例如无法解释光谱线的强弱，也无法解释用更加精确的方法测得的“谱线的精细结构”。,3.2、波粒二象性,一、经典物理中的波和粒子,两种不同的能量传播方式，不能同时使用。,经典粒子,完全定域性，可精确确定其质量、动量和电荷。可视为一个质点，并可根据牛顿力学进行完全描述。,经典的波,是某种实在的物理量随空间和时间作周期性变化，满足叠加原理，可产生干涉、衍射等现象。具有确定的频率、波长。可精确测定频率和波长，在空间无限扩展。,确定的空间位置,粒子为一质点,确定波的频率、波长,在空间无限扩展,波长的测定,拍频：,观察一个拍的时间：,则,或,可得,又,即,二、光的波粒二象性,1672年，牛顿，光的微粒说,1678年，惠更斯，光的波动说,19世纪末，光是一种电磁波,20世纪初，光量子,1905年，爱因斯坦,1917年，爱因斯坦,通过h把波动性与粒子性联系起来！,例1当光投射到物体上时，将引起光子动量的变化，于是物体应感受到压力（光压）。若激光器以的时间宽度的脉冲射出能量的光束，光束在它垂直的表面上形成直径的光斑，表面的反射系数为，求在脉冲时间内此光束对表面的平均压强。,解：表面受到的冲力可表示为,表面的压强为,因为反射光子的动量改变为2p，被吸收的光子动量的改变为p，因此，总的光子动量改变为,这样可得,这相当于表面感受到43个大气压的压力。,光在传播时显示出波动性，而在转移能量时显示出粒子性！,康普顿实验结论,两者不会同时出现！,光既不是经典意义上的粒子，也不是经典意义上的波，是一种兼有波动性和粒子性的客观存在。,1.粒子性,指它与物质相互作用的“颗粒性”或“整体性”。,但不是经典的粒子！在空间以概率出现。没有确定的轨道,应摒弃“轨道”的概念！,2.波动性,指它在空间传播有“可叠加性”，有“干涉”、“衍射”、等现象。,但不是经典的波！因为它不代表实在物理量的波动。,波粒二象性,三、德布罗意假设,光具有波动性和粒子性。那么，实物粒子，就是那些静止质量不为零的粒子，是否具有波的性质呢？,年轻的法国学者德布罗意（DeBroglie），当时他在物理界并不知名，在1923年首先提出了这个问题。,在玻尔理论中，原子中的电子的角动量、能量都只能取一些值的整数倍，如电子轨道的角动量，他认为这种整数现象是波的特征，如波的衍射现象。,(LouisVictorduedeBroglie1892-1960),TheNobelPrizeinPhysics1929,发现电子的波动性,在1923年9-10月，德布罗意一连写了三篇论文，提到所有的物质粒子都具有波粒二象性，认为任何物体伴随以波，而且不可能将物体的运动和波的传播分开。,对能量为E，动量为p和静止质量为的粒子。在相对论情形下,由上面的关系式可知，粒子速度v增大时，则减小。,若以表示粒子的动能，则,当粒子速度比光速c小许多时，为非相对论情形，由于，所以有,人们称同实物粒子联系着的这种波为德布罗意波，此波长也为德布罗意波长。,普朗克常数的意义,在普朗克的能量量子说中，h是量子化的度量；而在这里是联系物质波动性和粒子性的桥梁。,量子化和波粒二象性是量子力学的两个最基本的概念，而在这两个概念中，都出现了h，说明他们之间有着本质的联系。,在任何表达式中，只要出现了h，就必然意味着这一表达式的量子力学特征。,1918年普朗克荣获诺贝尔物理学奖。他的墓碑上只刻着他的姓名和h=6.62607551034Js。,四、戴维逊-革末实验,德布罗意关于物质波的观点是否可以用实验来验证呢？实物粒子的粒子性是由大量实验事实所揭示的。,具有确定的轨迹、能量、动量等,电子是粒子,产生干涉和衍射现象,具有波动性,在各类实物粒子中，电子的质量最小，当它低速运动时，相应的波长较长。,戴维逊在19221923年期间在贝尔实验室研究电子和金属弹性散射的特性，发现了弹性散射电子的强度随散射的角度而变化。在德布罗意论文发表以后，一直到1926年，戴维逊才认识到衍射实验将能证实电子波的存在。因而开展了对一定角度取向的单晶体的弹性散射的研究。,1927年，由戴维逊（Davisson）和革末（Germer）合作完成了镍晶体的电子衍射实验，对电子波给出了明确的实验验证。,考虑一束波入射到原子构成的一组平行面上的情况，入射波束与平面之间的夹角是。如果要在方向上有强的出射波束，由两平面衍射的波应该有相同的位相，就是说两束波的波程差应该等于波长的整数倍。,如果两个平面的距离是d，波程差是，则,对于晶体的某一组平行面，d是一定的。因此在公式中和至少有一个必须逐渐变化，直到满足上式，才能得到射出的强波束。,戴维逊在实验中采用低能电子束，将它们垂直投到晶体表面，如图所示。他们将经过电场加速的电子束射到镍单晶上，镍单晶的原子间距是0.215nm，固定角，通过加速电压来控制的变化。,实验结果,(1)当V不变时，I与的关系如右图，不同的，I不同；在有的上将出现极值。,(2)当不变时，I与V的关系如右图，当V改变时，I亦变；而且随着V周期性的变化。,电子加速后的动能为,因此得到,根据德布罗意关系式,因此由加速电压就可以求得波长。将波长带入布拉格关系式中，得,所以上式中右端是一个常数的整数倍。式子表示，当V值逐渐变化，其平方根等于一个常数的整数倍时，接收器收到的电子数量应增加。这与实验结果符合得很好。,另外，实验中他们测得了散射电子强度随散射角变化的函数关系。例如，当加速电压为54V时，探测器在散射角方向上有一个明显的峰值。那么通过德布罗意关系式计算得出，波长为,再代入到布拉格公式中，得到对于n=1时，和实验测量值相符。,同样也可以通过计算波长来证明理论与实验相符。由德布罗意关系式得出的，而由实验结果并通过布拉格关系式得出的波长为因此这些结果都证明了电子的波动性质。,几个月后，汤姆逊（G.P.Thomson）（J.J.Thomson的儿子）用高速电子穿过金属箔进行实验，也获得了电子衍射的图样，并证明了测量准确度范围内的正确性。,1937年，戴维逊和汤姆逊因电子的衍射现象，证实了电子波而共同获得了诺贝尔物理学奖。,此后，琼森(Jonsson)实验作了大量电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验。,基本数据,电子衍射实验演示,1993年，Crommie等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜（111）表面上的铁原子排列成半径为7.13nm的圆环形量子围栏（quantumcorral），在这些铁原子形成的圆环内，铜的表面态电子波受到铁原子的强散射作用，与入射电子波发生干涉，形成驻波。用实验观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波(“量子围栏”)，直观地证实了电子的波动性。,氦原子和氢分子的实验意义更深刻，它们和电子不同，都是由电子和其它一些粒子组成的复合体系。原子和分子也具有波动性充分表明了波动性的普遍存在。实物粒子的波动性已在科学实验和技术中得到了广泛的应用。例如，电子显微镜，慢中子衍射技术等。,后来很多的实验证实了，不仅电子，而且质子、中子、氦原子、氢分子等都具有波动性。而且其波长都符合德布罗意关系式。,例2、求动能为100eV的电子的德布罗意波长（经过100V电压加速后的电子的德布罗意波长）。,解：电子的静止质量能,它远比其动能大，所以可以采用非相对论的公式。,由此可见，当动能相同时，质量越大，波长越短，因此，对于具有相同动能的粒子，质子的波长比电子的小很多。,例3、一个质量是0.01kg的小球，以的速度运动时，求它的德布罗意波长。,解：由于小球的速度比光速小得多，则可以采用非相对论情形，根据德布罗意关系式,小球的动量,因此,因此，如果要想观测到小球的德布罗意波，必须采用大小可与波长相比拟的孔径进行干涉、衍射实验，而在现实世界中我们无法找到这个数量级的小孔，故无法观测。,由此可见，德布罗意关系在宏观物体上被它的粒子性掩盖了，它只有在微观粒子中才显示出来。,德布罗意波的统计解释,1、光的衍射,从统计的观点来看：相当于光子到达亮处的几率要远大于光子到达暗处的几率。因此可以说，光子在某处附近出现的几率是与该处波的强度成正比的，而波的强度与波的振幅的平方成正比，所以也可以说，光子在某处附近出现的几率是与该处的波的振幅的平方成正比的。,根据光的波动性，光是一种电磁波，在衍射图样中，亮处波的强度大，暗处波的强度小。而波的强度与振幅的平方成正比，所以衍射图样中，亮处的波的振幅的平方大，暗处的波的振幅平方小。,根据光的粒子性：某处光的强度大，表示单位时间内到达该处的光子数多；某处光的强度小，表示单位时间内到达该处的光子数少。,2德布罗意波统计解释,普遍地说，在某处德布罗意波的振幅平方是与粒子在该处出现的几率成正比的。这就是德布罗意波的统计解释。,从粒子的观点看，衍射图样的出现，是由于电子不均匀地射向照相底片各处形成的，有些地方电子密集，有些地方电子稀疏，表示电子射到各处的几率是不同的，电子密集的地方几率大，电子稀疏的地方几率小。,从波动的观点来看，电子密集的地方表示波的强度大，电子稀疏的地方表示波的强度小，所以，某处附近电子出现的几率就反映了在该处德布罗意波的强度。对电子是如此，对其它粒子也是如此。,3德布罗意波与经典波的不同,德布罗意波是对微观粒子运动的统计描述，它的振幅的平方表示粒子出现的概率，是概率波（几率波）。,机械波、电磁波机械振动或电磁场振动等实际的物理量在空间的传播。,五、德布罗意波和量子态,六、一个在刚性匣子中的粒子,必须满足驻波条件,代入德布罗意关系式和动能公式，得,动量和能量都是量子化的！,不存在动能为零的能级,禁闭的波必然导出量子化条件,粒子+波能量量子化量子力学,七、波和非定域性,根据德布罗意观点，氢原子实际上就是一个德布罗意波被关在库仑势场中的情况。,粒子的动能,总能量,最小半径为,氢原子基态能量,代入总能量表达式，得,玻尔-德布罗意原子,3.3、不确定关系,在经典力学的概念中，一个粒子的位置和动量是可以同时精确测定的。,但是，由于微观粒子还具有波动性，它的空间位置需要用几率波来描述，而几率波只能给出粒子在各处出现的几率，所以在任一时刻粒子不具有确定的位置，与此联系，粒子在各时刻也不具有确定的动量。,也就是说，由于波粒二象性，在任意时刻粒子的位置和动量都有一个不确定量。,TheNobelPrizeinPhysics1932,WernerKarlHeisenberg（1901-1976）,创立了量子力学第一种有效形式矩阵力学,一、不确定关系的表述和含义,海森伯在1927年提出，粒子的位置不确定量和在该方向上的动量的不确定量有一个简单的关系。,粒子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应的动量！,氢原子中，在第一轨道上运动的电子,则,以10cm/s速度运动的质量为10g的小球,不确定关系在微观世界里成为一个重要的规律！,当时，量子物理就过渡到经典物理。,二、不确定关系的简单导出,利用上一节中得到的结果,为了得到一个孤立波，必须用很多个波去叠加。,根据德布罗意关系，可得,则,即,如图所示，一束动量为p的电子通过宽为的单缝后发生衍射而在屏上形成衍射条纹。,如果说它在缝前的等于零，在过缝后，就不再是零了。,忽略次极大，我们可以认为电子都落在中央亮纹内，因而电子在通过缝时，运动方向可以有大到角的偏转。,利用单缝衍射进行推导,根据动量矢量的合成，可知一个电子在通过缝时在x方向动量的分量的大小为下列不等式所限,这表明，一个电子通过缝时在x方向上的动量不确定量为,考虑到衍射条纹的次极大，可得,由单缝衍射公式，第一级暗纹中心的角位置满足,根据德布罗意公式，有,即,更严格的理论给出,三、应用举例,1、束缚粒子的最小平均动能。,粒子被束缚在r线度内，则,根据不确定关系，动量不确定量最小值为,根据定义,对于束缚在空间的粒子，其,则,又，对于三维空间,所以,任何被束缚在空间的粒子，其最小动能都不能为零！,2、电子不能落入核内。,随着r越来越小，电子的动量将越来越不确定；平均动能将越来越大。,没有其他的能量来源，因此电子不能靠近原子核，更不能落入核内。,3、谱线的自然宽度。,根据时间与能量间的不确定关系，电子处在某一能级具有一定的寿命，则能级必定存在一定的宽度，因此谱线不可能是几何的线，而具有一定的宽度，这称为谱线的自然宽度。,例如：,减小碰撞加宽的影响。,4、互补原理。,从哲学的角度概括了波粒二象性。,1928年玻尔首次提出了互补性观点，试图回答当时关于物理学研究和一些哲学问题。其基本思想是，任何事物都有许多不同的侧面，对于同一研究对象，一方面承认了它的一些侧面就不得不放弃其另一些侧面，在这种意义上它们是“互斥”的；另一方面，那些另一些侧面却又不可完全废除的，因为在适当的条件下，人们还必须用到它们，在这种意义上说二者又是“互补”的。,按照玻尔的看法，追究既互斥又互补的两个方面中哪一个更“根本”，是毫无意义的；人们只有而且必须把所有的方面连同有关的条件全都考虑在内，才能而且必能得到事物的完备描述。,尤其是在他的晚年，他用这种观点论述了物理科学、生物科学、社会科学和哲学中的无数问题，对西方学术界产生了相当重要的影响。,玻尔认为他的互补原理是一条无限广阔的哲学原理。在他看来，为了容纳和排比“我们的经验”，因果性概念已经不敷应用了，必须用互补性概念这一“更加宽广的思维构架”来代替它。因此他说，互补性是因果性的“合理推广”。,四、海森伯不确定关系,以上得出的不确定关系是海森伯于1927年提出的，因此常被称为海森伯不确定关系。它的根源是波粒二象性。,由坐标和动量的不确定关系可以说明粒子的位置坐标不确定量越小，则同方向上的动量不确定量越大；同样，某方向上动量不确定量越小，则此方向上粒子位置的不确定量越大。,不确定关系不是由测量仪器或测量技术造成的，而是微观粒子本身的属性所决定的。,海森伯不确定关系对于受激原子体系有非常重要的意义。,这个关系式有很重要的实际用途。在理论上通过计算不稳定状态的平均寿命，可以来估计能量的变化范围。在实验上可根据测得的能谱密度，来估计不稳定状态的平均寿命，或根据测得的粒子寿命，来估算粒子的能量宽度。,例4、在原子内部，可以算出电子的速度应在范围内，否则电子就会从原子中逸出，求电子的位置不确定量。,解：由于,由不确定关系可得,由此可以看到，位置的不确定性同整个原子一样大了。电子在原子中的“轨道”便弥散了，因而必须抛弃轨道概念而代之说明电子在空间的概率分布的电子云图像。,例5、一质量为的小球，以速度运动，其动量测量可精确到千分之一，试确定这个小球位置的最小不确定量。,解：因为,由不确定关系,有,代入题中已知条件得到,因此小球这种宏观物体，它的波动性不会对它的“经典式”运动带来任何实际的影响。,3.4、波函数及其统计解释,宏观系统,决定论、因果律,微观系统,几率性、统计律,从前面的学习中，我们了解到，光和微观粒子的波粒二象性。那么它们究竟是粒子还是波呢？,应该说，它既不是“经典粒子”，也不是“经典的波”。,TheNobelPrizeinPhysics1954,创立矩阵力学，对波函数的统计解释,Max.Born(18821970),经典粒子有一定的质量、动量、电荷等属性，可以由牛顿力学来描述它的运动状态；,经典波意味着某种实际的物理量的空间分布有周期性的变化。,如经典电磁理论中的电磁波,很具体地和电场强度在空间的周期性的变化联系了起来，它的波幅和电场强度相对应。,在宏观物理中这些经典的概念和理论取得了极大的成功。,那么和物质粒子相联系的德布罗意波或称物质波的波函数怎么表示呢？,为了描述这种波粒二象性，1927年波恩（Born）提出，粒子的行为是由几率波支配的，波的强度代表粒子的出现几率。也就是说，我们可以选用波函数来对微观粒子的运动状态作数学上的描述，它的形式必须使得所描述的物质粒子运动能够显示出它的波动性。,波粒二象性必然导致事物的统计解释；统计性把波与粒子两个截然不同的经典概念联系了起来。,经典力学位置和速度,量子力学波函数,一、波粒二象性及几率概念,自由粒子的波函数,对于实物粒子，如果不受外力作用，即是自由粒子，它的动量和能量将保持不变。根据德布罗意波长和爱因斯坦公式,自由粒子的德布罗意波长和频率是不变的。这是一平面单色波。若用表示波函数，则平面单色波可以写为,其中,称为波矢，它的方向表示波的传播方向，与粒子的运动方向一致。若用复数形式可表示为,在量子力学中常用能量和动量为参数来表示，利用,可以得到,这就是自由粒子的波函数，它表示一个振幅恒定，在时间和空间上无限延展的波。,玻恩对波函数的解释,曾有人设想，波是基本的，粒子只是许多波组合起来的一个波包，波包的速度就是粒子的速度，波包的活动表现出粒子的性质。但是随后被实验所否定；另一个设想，粒子是基本的，波只是大量粒子分布密度的变化。从双缝干涉的实验也可以否定这一点。,首先考虑光的双缝干涉图样。屏幕上某点的强度I表示为,另一方面，,为了导出波函数的解释，类比光子的情况。,N为光子通量。,虽然单个光子到达屏幕什么地方无法预测，但光子到达某个区域的几率是确定的，它到达亮带的几率大，到达暗带的几率小，在屏幕上一点的光子通量N，就是该点附近发现光子几率的一个量度。,根据以上两式，可知,说明，在某处发现一个光子的几率与光波的电场强度的平方成正比。这就是爱因斯坦早在1917年对光辐射的量子统计解释。,由于电子也产生类似的干涉条纹，几率大的地方，出现的电子多，形成亮条纹；几率小的地方，出现的电子少，形成暗条纹。,与爱因斯坦把解释为“光子密度的几率量度”相似，波恩在1927年提出了德布罗意波的统计意义，认为波函数代表发现粒子的几率，这是每个粒子在它所处环境中所具有的性质。,在某处的粒子的密度与此处发现一个粒子的几率成正比。这样，某处发现一个实物粒子的几率同德布罗意波函数的平方成正比。,如果是复数，就用代替。我们把在体积中发现一个粒子的几率表达为,玻恩把解释为给定时间，在一定空间间隔（单位体积）内发现一个粒子的几率，因而称为几率密度。这就是德布罗意波函数的物理意义。波恩指出“对应空间的一个状态，就有一个由伴随这个状态的德布罗意波确定的几率”，波恩由此获得了1954年诺贝尔物理学奖。,经典的波振幅如电场强度E都是可以测量的，而却一般不能被测量。,在量子理论中，测量与描述不是一回事。如果硬要说的物理意义，只能说t时刻，测量粒子处在空间中的几率正比于。,由此可见，只有才有测量上的意义，它的含义是几率。而对于几率分布来说，重要的是相对几率分布，显而易见，和所描述的相对几率分布是完全相同的，而经典波不同，若振幅增加了一倍，则相应的波动能量将为原来的4倍，完全代表了不同的波动状态。,波函数的标准条件,按照物理上的要求，描述粒子状态的波函数应具备以下条件：,（1）在任何地方的波函数必须是单值函数。,（2）由于几率不能在某处发生突变，所以波函数必须处处连续。,（3）由于在某处发现粒子的几率不可能无限大，所以波函数必须是有限的。,波函数的单值、连续和有限通常称为波函数必须具备的标准条件。这些标准条件在应用量子力学解实际问题时非常有用。,二、双缝干涉实验（对电子波粒二象性的理解）,为了说明波粒二象性的含义，我们从双缝干涉来进行理解。,光的杨氏双缝干涉实验是光的波动理论最重要的实验基础之一，如图所示。干涉图样为,如果在S处换上一架机关枪，子弹向两孔扫射，当然小孔的大小刚好能让子弹透过，按照经典理论，我们将得到如图的结果。,这里并不存在干涉现象！,如果在S处放一把电子枪，结果会怎样？电子束从S射出，经过双缝到达屏幕，在屏上记录到电子强度分布，依照经典观点应得到第二种情况的图像，而实际上得到的却类似于第一种情况。,实验中我们可以做到让入射的电子流强度很弱，比如让电子一个一个地入射，再重复上述实验，开始屏上得到的分布似乎毫无规律，时间长了，我们仍然得到了双缝干涉图像。因此，大量电子的一次性行为与单个电子的多次性行为表现出同样的波动性。,弱电子流长时间“曝光”,强电子流短时间“曝光”,相同的衍射花样,波动性是单个粒子的本征属性,“一个电子”就具有的波动性，,但一定条件下（如双缝），它在空间某处出现的概率是可以确定的。,尽管单个电子的去向具有不确定性，,电子波并不是电子间相互作用的结果。,这些结果充分表明，干涉图像的出现体现了微观粒子的共同特性，它并不是由微观粒子相互之间作用产生的，而是微观粒子其个性的集体表现。,人们在试图观察电子如何通过双缝的实验中发现，“观察效应使干涉消失”在原则上无法避免。,总之，粒子的波粒二象性，是指微观粒子从量子观点看，它既是粒子，又是波，所谓粒子性是它具有质量、能量、动量等粒子属性；所谓波动性是指其具有频率、波长，在一定条件下，可观察出干涉和衍射。,三、态的叠加原理,从初态i到末态f的跃迁几率振幅为,则跃迁的几率为,几率幅满足以下几个规则：,规则三：,规则四：,独立事件的几率相乘律,四、干涉实验的解释,假定电子从初态S出发，经过两个中间态1、2，最后到达屏幕上末态x。,电子在x处被记录的几率,如果只打开狭缝1，则,类似地，有,如果双缝齐开，则,则，几率为,可见，除了两个几率之和，还多了两项，正是它们形成了电子从初态到末态的几率幅的干涉项，引起了干涉图像。,在利用光子进行检查的过程中，首先考虑光子不能检查出电子的走向时，即光子的波长较长的情况。,对电子而言,对光子而言,1、考虑电子在x处被记录，光子同时在D1被记录时的几率幅,过程一：电子通过缝1到达x，光子在1附近散射到达D1。,过程二：电子通过缝2到达x，光子在1附近散射到达D1。,两个过程不可区分，因此根据规则一，得,2、同理，考虑电子在x处被记录，光子同时在D2被记录时的几率幅为,综上所述，根据规则二，电子在x处被记录，同时光子被记录的几率为,经过推导，可得在x处电子被记录的几率,第二项反映了干涉效应。,如果光子能够检查出电子的走向，即光子波长需变短，相应的大大减小，当其减为零时，则,干涉图像消失。,当时，有,当两过程可区分程度增加时，干涉效应就逐渐消失。,完全可以区分,完全不可区分,电子干涉图样的出现是由于几率幅的线性叠加。当双缝齐开时，即使对一个电子，也要用去描述它，双缝确实同时在起作用。,在双缝干涉实验中，是一个电子的两个态的叠加，干涉是自己与自己的干涉，决不是两个电子的干涉。,物质波与经典波具有完全不同的意义！,五、评注,量子物理的基本规律是统计规律，而经典物理的基本规律是决定论、严格的因果律。大自然的一切规律都是统计性的，经典因果律只是统计规律的极限。,量子物理与经典物理的根本区别：,经典物理中，“几率”是统计规律的关键概念；量子物理中，“几率幅”才是最核心的概念。,经典物理中，统计规律只是对待多粒子体系的一种方法、一种工具、一种权宜之计；量子物理中，个别粒子都体现出统计属性。,3.5、薛定谔方程,TheNobelPrizeinPhysics1933,ErwinSchrodinger(18871961),创立了量子力学另一种有效形式波动力学,1925年在瑞士，德拜（Debye）让他的学生薛定谔作一个关于德布罗意的学术报告。报告后，德拜提醒薛定谔“有了波，应该有一个波动方程”。薛定谔此前就曾注意到爱因斯坦对德布罗意假设的评价，此时又受到了德拜的鼓励，于是就努力钻研。几个月后，薛定谔果然提出了一个波动方程，当时谁也没有想到这个方程会变得如此重要，以致成了著名的薛定谔方程。,由自由粒子的平面波方程可以写成,对x，y，z取二阶偏导，得到,把三个式子相加，得,一、薛定谔方程的建立,其中，为拉普拉斯算符，定义为,把第一个式子对t取一阶偏导，得,如果自由粒子的速度比光速小得多，它的能量公式是,两边乘以，得,把前面的结果代入上式，得到,这样就得到了一个自由粒子的薛定谔方程。,对于一个处在力场中的非自由粒子，它的总能量等于动能加势能,两边乘以,所以自由粒子的薛定谔方程可以推广成,薛定谔波动方程揭示了微观世界中物质运动的基本规律，提供了系统地、定量地处理微观粒子运动的理论。,量子力学中的薛定谔方程，相当于经典力学中的牛顿运动定律，是不能从什么更基本的原理中推出来的，它的正确与否，只能由科学实验来检验。,薛定谔方程本身是一种类型的波动方程，薛定谔所创建的力学曾被称为波动力学，这反映了粒子波动性的一面。,薛定谔方程中有虚数单位i，所以一般是复数形式。表示几率波，表示粒子在t时刻出现的空间某处的几率，因而薛定谔方程所描述的状态随时间变化的规律，是一种统计规律。,二、定态薛定谔方程,在玻尔理论中提到的能量不随时间变化的状态，称为定态。,薛定谔方程是一个偏微分方程，解这种方程时经常采用分离变量的方法。,我们可以把波函数写成,代入薛定谔方程，并在两边都除以,得到,这样等式左边是坐标的函数，右边是时间的函数，彼此无关。因此等式两边都必须等于一个既不依赖于t也和r无关的常数，这样等式才能成立。,设常数为E，于是,其解可以表示为,将上式代入波函数表达式，将并入u，得到,这就是定态的波函数形式。,同理，等式左边也等于同一个常数E，于是,u只是坐标的函数，这个方程不含时间。这就是定态的薛定谔方程。,定态方程解得的波函数所描述的状态称为定态。,在上面分离变量的运算中加入的常数E就是粒子的总能量。说明处于定态的粒子的总能量不随时间变化。,几率密度只取决于u，说明粒子出现在空间的几率密度分布不随时间变化。,只有满足单值性、有限性和连续性，这三个条件的波函数才能满足物理上的要求。因此，定态能量E相应的也只能取一些特定的值。,三、应用举例,1、一维无限深势阱,考虑在一维空间运动的粒子，其所处的势场分布为,这种势场称为一维无限深势阱。,由于粒子做一维运动，所以有，又由于势能中不显含时间，因此用定态薛定谔方程求解。,因此一维定态薛定谔方程为,（1）方程的通解,当时，方程为,令,即,得,二阶齐次微分方程，它的通解为,式中A、B为两常数。,当时，则,其中,设其特解具有形式,即,代入上式，得到,其通解为,第一项无限大，不符合波函数条件，舍去；第二项为零，所以。,说明粒子不可能跑到阱外去，所以波函数为零。,当时,当时，x是负值，代入有,同理，有。,所以,（2）常数的确定及能量量子化,根据波函数的标准条件，波函数应连续，即,即,当时，,表明几率处处恒为0，即不存在粒子，这是不可能的。,因为粒子在整个空间出现的几率必定是1，波函数的归一化：,所以,则,能量是量子化的！,（3）讨论,能量是量子化的，最低能量。这是由薛定谔方程加上标准条件自然地导出的，不用再做量子化的假定。这是粒子波动性的反映。,粒子在势垒中的几率分布是不均匀的，而且有若干几率为零的点。,一维无限深势阱中,粒子的波函数及几率,含时间的波函数是一个驻波，在形式上像一个两端固定的弦的驻波振动。,2、一维有限深势阱,该势阱势场分布为,第一种情况前面已经给出结果。下面考虑第二种情况，薛定谔方程为,其解为指数函数，由波函数的有限条件得到,粒子有几率出现在阱外！,由不确定关系决定了微观客体永远不会静止。,微观客体在有限势阱中有一定透出的几率。,由不确定关系知,对于无限深势阱，在阱外，,即,相应于,对于有限深势阱，在阱外假如有限，,即,相应于,3、隧道效应（势垒贯穿）,考虑一个方势垒,在经典力学中,若,粒子的动能为正,它只能在I区中运动。即粒子运动到势垒左边缘就被反射回去，不能穿过势垒。,但在量子力学中,无论粒子能量是大于还是小于都有一定的几率穿过势垒，也有一定的几率被反射。,三个区域中的情况分别为,（1）在区域I，V=0，则,其解为,（2）在区域II，V=V0E，则,其解为,由此可见，在区域III中的波函数不为零，即粒子有从I区穿过II区到达III区的可能性。,（3）在区域III，V=0，则,其解为,其中常数可由波函数标准条件和归一化条件得到。,定义粒子穿过势垒的穿透几率：,可见，势垒厚度越大，粒子通过的几率越小；粒子的能量越大，穿透几率也越大。而且两者都呈指数关系。,例6、试计算总能量为1eV的电子，穿越高度，宽度为的势垒的几率以及当粒子为质子时的透射系数。,解：因为,所以,对于电子：电子的质量为0.511MeV，所以,则,对于质子：质子质量为938Mev，则,隧道效应已有很多应用，在理论方面如对放射性原子核的衰变的理论解释，在技术上，如电子器件隧道二极管已广泛使用。利用量子隧道效应，可以解释很多现象。,隧道效应和扫描隧道显微镜STM,由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度约为1nm。,Scanningtunnelingmicroscopy,隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。,利用STM可以分辨表面上原子的台阶、平台和原子阵列。可以直接绘出表面的三维图象,使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性质。在表面科学、材料科学和生命科学等领域中有着重大的意义和广阔的应用前景。,隧道电流I与样品和针尖间距离S的关系,扫描隧道显微镜是1981年由IBM公司的宾尼格（Binning）和罗赫尔（Rohrer）首先研究成功的，他们因此与鲁斯卡分享了1986年诺贝尔物理学奖。,4、一维谐振子势阱,简谐振动是物理学中经常出现的一类运动。,粒子受力为,势能为,则薛定谔方程为,可得能量及波函数为,式中，是厄密（Hermite）多项式，可以按下式计算,习惯上把能级画在势能曲线内，这样一来，能级横线的长度就表示了经典简谐振动中粒子的活动范围，即等于振幅的两倍。,简谐振子的能级,特点：,等间距分布，间距为,具有“零点能”,跃迁只能逐级进行,3.6、平均值与算符,经典情况,量子力学,如何表示动量表象？,一、平均值的求法,二、算符的引入,在量子力学中，算符代表了对波函数的一种运算。,即,所以动量可以用算符来表示。,同理，其他分量以及总动量平方的算符为,代表位置的r的算符就是r本身，因此，只与坐标有关的V，其算符也就是其本身。,所以代表能量E的算符是,哈密顿算符,哈密顿算符可记为,这个算符只包含空间变量，不包含时间。所以将它作用于，就得到,这也就是定态的薛定谔方程。,一般来说，在量子力学中有关微观粒子运动的每个力学量都可用一个算符来表示。下面列出一些与常见力学量对应的算符。,位矢所对应的算符就是r本身，这表示以r相乘的运算。,只与坐标有关的势能，其算符就是,动量算符：,动能算符：,能量算符：哈密顿量，则,角动量算符：（见书上P120）,三、本征方程、本征函数和本征值,如果一个算符作用到一个函数后，等于一个常数乘以这个函数，则称这个方程为该函数的本征方程。这个函数为算符的本征函数，常数称为算符的本征值。,例如，定态薛定谔方程,该方程称为本征方程，E称为哈密顿算符的本征值，称为哈密顿算符的本征函数。,假设粒子处于某一量子态。当测量这个粒子的力学量时，往往得不到确定的结果。但有的力学量可以。如力学量在态有数值A，则称是的