第八章-绕流运动.ppt

1,第八章绕流运动,2,第八章绕流运动,81无旋流动82平面无旋流动83几种简单的平面无旋流动84势流叠加86绕流运动与附面层基本概念87附面层动量方程810曲面附面层的分离现象与卡门涡街811绕流阻力和升力,3,8-1无旋运动,不可压缩理想流体的无旋运动,本节主要研究不可压缩理想流体平面无旋运动，平面无旋运动的速度场可通过计算速度势、流函数及复势这三条途径来确定。,4,高等数学定理：设开区域G是一个单连通域，函数P(x，y)、Q(x，y)在G内具有一阶连续偏导数，则P(x，y)dx+Q(x，y)dy在G内为某一函数(x，y)的全微分的充要条件是等式在G内恒成立。,如果，则有,5,无涡流是液体质点不存在绕自身轴旋转的运动，所以有,即有,必存在一个函数，可记为,流速势函数,6,不可压缩理想流体的无旋运动,7,证,流速势函数的性质：,其中,与梯度的夹角；,不可压缩理想流体的无旋运动,1、对于任意方向的方向导数等于该方向的分速，即,8,流速势函数等于常数的曲面积为等势面。在其面上位于等势面上的线称为等势线。,所以,式中,不可压缩理想流体的无旋运动,2、等势线与流线正交,定义：,说明：速度u与ds正交。等势线既是过流断面线。一族流线与等势线构成相互正交的流网。,9,3、流速势函数沿流线s方向增大。,从而得,不可压缩理想流体的无旋运动,由性质1得沿流线方向的速度为,沿流线方向速度，所以，即说明值增大的方向与s方向相同。,10,4、流速势函数是调和函数,代入不可压缩流体的连续方程中得,上式说明流速势函数满足拉普拉斯方程式，在数学上称满足拉普拉斯方程式的函数为调和函数，所以流速势函数是调和函数。,不可压缩理想流体的无旋运动,平面势流中,11,例8-2：不可压缩流体，ux=x2y2，uy=2xy，是否满足连续性方程？是否无旋流？有无速度势函数？是否是调和函数？并写出流函数。,解：,（1）满足连续性方程,（2）是无旋流,（3）无旋流存在势函数：,12,取（x0，y0）为（0，0）,（4）满足拉普拉斯方程，是调和函数,（5）流函数,取（x0，y0）为（0，0）,13,流线方程P201,8-2平面流动的流函数,流函数引入：,14,8-2平面流动的流函数,一、流函数的定义及其确定,即,它是使成为某一函数的全微分的充要条件，则有,故,不可压缩理想流体的无旋运动,对于不可压缩流体的平面流动，其连续方程式为,15,就称为不可压缩流体平面流动的流函数。,类似地可证，在极坐标中,因为流函数存在的条件是要求流动满足不可压缩流体的连续方程式，而连续方程式是任何流动都必须满足的，所以说任何平面流动中一定存在着一个流函数。,不可压缩理想流体的无旋运动,16,二、流函数的基本性质,不可压缩理想流体的无旋运动,1、等流函数线为流线,2、两条流线间通过的流量等于两条流线的流函数之差。,17,证：考察通过任意一条曲线AB（z方向为单位长度）的流量。（图62）对于通过微元矢量的流量,则通过AB两点的任意连线AB的流量,18,3、等流函数线（流线）与等势线正交,说明流函数的梯度与速度势的梯度（即速度）正交，故分别与它们垂直的等流函数线（即流线）与等势线正交。,例题61不可压缩流体流场的流函数（1）流动是无旋还是有旋？（2）若无旋，确定流动的速度势。,不可压缩理想流体的无旋运动,这是因为,19,20,不可压缩理想流体的无旋运动,21,不可压缩理想流体的无旋运动,4、在平面无旋流动中,流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。,证：平面无旋流动需满足,则,因为,代入上式，,平面无旋流动的流函数和流速势函数之间的关系式为：,22,不可压缩理想流体的无旋运动,在数学分析中，这个关系式称为柯西黎曼条件，满足这个条件的两个调和函数称共轭调和函数，已知其中一个函数就可以求出另一个函数。,23,无旋有势,1.速度势函数,类比：重力场、静电场作功与路径无关势能无旋条件：由全微分理论，无旋条件是某空间位置函数(x,y,z)存在的充要条件函数称为速度势函数，无旋流动必然是有势流动,速度势函数,24,由函数的全微分：得：,（的梯度）,25,2.拉普拉斯方程,由不可压缩流体的连续性方程将代入得即拉普拉斯方程,为拉普拉斯算子，称为调和函数不可压缩流体无旋流动的连续性方程,注意：只有无旋流动才有速度势函数，它满足拉普拉斯方程,26,3.极坐标形式（二维）,27,不可压缩平面流场满足连续性方程：,即：,由全微分理论，此条件是某位置函数（x，y）存在的充要条件,函数称为流函数,有旋、无旋流动都有流函数,流函数,28,由函数的全微分：得：,流函数的主要性质：（1）流函数的等值线是流线；,证明：,流线方程,29,（2）两条流线间通过的流量等于两流函数之差；,证明：,30,（4）只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程,证明：,则：,将,代入,也是调和函数,得：,在无旋流动中,31,二、流函数性质,流函数自动满足连续性方程：,为调和函数(无旋)：,2）,1）,3）,4）,流场中不同流线其流函数值不同，但流函数的差值就是流线间单位宽度对应的流量。,三维流动（除轴对称流动外）一般不存在流函数。但是存在流线。,32,势函数与流函数的关系,对平面势流,即满足柯西-黎曼条件,且,求出一个即可求出另一个，且由此可解得速度分布u、v，这是数值法的基础。,表明：,1）等势线与等流函数线（流线）正交，构成的正交网格称“流网”。,2）,33,8-3基本平面势流,一、平行等速流,流线方程,或,积分后得,它是一组斜率为平等直线，如图63所示,不可压缩理想流体的无旋运动,设液体作平行直线等速流动，流场中各点速度的大小和方向均相同，即均为定值。,34,而流函数为,由于,于是，速度势为,又,不可压缩理想流体的无旋运动,35,流体从某一点径向流出称为源，如图64（a）所示。流体从某一点径向流入称为汇，如图64（b）所示。设半径r方向水层的厚度为1，源（汇）的流量为Q，则,由此,不可压缩理想流体的无旋运动,二、源流汇,定义：,36,由于源汇只有径向流动，所以圆周方向的速度分量。,在极坐标中，由式（66）,积分得,不可压缩理想流体的无旋运动,式中分别是关于的积分常数，根据上面两个应该相等，得,37,不可压缩理想流体的无旋运动,式中分别是关于的积分常数，由两个应该相等，得,故,假定流出流量为正，则源流取“”号，汇流取“-”号。源汇流的等势线为一组同心圆。,38,不可压缩理想流体的无旋运动,三、势涡流（环流）,39,不可压缩理想流体的无旋运动,由此得,积分得,等势线是一族射线。,图87势涡流（环流）,40,若将位于点，强度为Q的源与位于B点等强度的汇叠加（图65）令分别为源与汇的速度势和流函数，则叠加后某点的速度势,流函数,不可压缩理想流体的无旋运动,四、源与汇叠加,41,8-4势流的叠加原理,由于势流的速度满足拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程又是线性的，故几个势流的速度势叠加后仍满足拉普拉斯方程。,设有两个势流，其速度势分别为，则,此时，两个速度势之和将代表一个新的不可压缩流体平面势流，其速度势,不可压缩理想流体的无旋运动,42,因为,即速度势叠加结果，代表一新的复合流动，其速度分量,同理可证明，新的复合流动的流函数,不可压缩理想流体的无旋运动,43,叠加两个或多个势流组成一新的复合势流，只需将各原始势流的速度势或流函数简单地相加，其速度将是各原始势流速度的矢量和。,不可压缩理想流体的无旋运动,势流的叠加原理：,44,8.6-8.7边界层的基本概念和基础知识,边界层的引入,边界层的概念,边界层的厚度,边界层的基本特征,曲面边界层的分离现象,边界层的方程,卡门涡街,45,在20世纪初之前，流体力学的研究分为两个分支：一是研究流体运动时不考虑粘性，运用数学工具分析流体的运动规律。另一个是不用数学理论而完全建立在实验基础上对流体运动进行研究，解决了技术发展中许多重要问题，但其结果常受实验条件限制。这两个分支的研究方法完全不同，这种理论和实验分离的现象持续了150多年，直到20世纪初普朗特提出了边界层理论。,边界层的引入,8.6-8.7边界层的基本概念和基础知识,46,1904年，在德国举行的第三届国际数学家学会上，德国著名的力学家普朗特第一次提出了边界层的概念。普朗特边界层理论推动了流体力学的迅速发展，成为粘性流体动力学的一个重要领域。开辟了用理想流体理论和粘性流体理论联合研究的一条新途径。普朗特的这一理论，在流体力学发展史上有划时代意义。这儿介绍边界层的基本概念及相应的基本知识。,边界层的引入,47,边界层的引入,8.6-8.7边界层的基本概念和基础知识,一、边界层的概念,对于水和空气等粘度很小的流体，在大雷诺数下绕物体流动时，粘性对流动的影响仅限于紧贴物体壁面的薄层中，而在这一薄层外粘性影响很小，完全可以忽略不计，这一薄层称为边界层。如下图所示为大雷诺数下粘性流体绕流平板的二维流动，根据普朗特边界层理论，把大雷诺数下均匀绕流物体表面的流场划分为两个区域，即边界层和外部势流。,8.6-8.7边界层的基本概念和基础知识,49,图翼型上的边界层,III外部势流,II尾部流区域,I边界层,边界层外边界,边界层外边界,51,在边界层区内，粘性力作用显著，粘性力和惯性力有相同的数量级，属于粘性流体的有旋流动区；在边界层外，流体的运动速度几乎相同，速度梯度很小，边界层外部的流动不受固体壁面的影响，即使粘度较大的流体，粘性力也很小，主要是惯性力。所以可将这个区域看作是理想流体势流区，可以利用前面介绍的势流理论和理想流体伯努里方程来研究流场的速度分布。,52,根据实验结果可知，同管流一样，边界层内也存在着层流和紊流两种流动状态，若全部边界层内部都是层流，称为层流边界层，若在边界层起始部分内是层流，而在其余部分内是紊流，称为混合边界层，如图所示，在层流变为紊流之间有一过渡区。在紊流边界层内紧靠壁面处也有一层极薄的层流底层。判别边界层的层流和紊流的准则数仍为雷诺数，但雷诺数中的特征尺寸用离前缘点的距离x表示之，特征速度取边界层外边界上的速度。,53,平板上的混合边界层,层流边界层,过渡区域,紊流边界层,层流底层,X,Y,54,对平板的边界层，层流转变为紊流的临界雷诺数为。临界雷诺数的大小与物体壁面的粗糙度、边界层外的流体紊流度等因素有关。增加壁面粗糙度或边界层外流体的紊流度都会降低临界雷诺数的数值，使层流边界层提前转变为紊流边界层。,55,边界层的厚度：实际上边界层内、外区域并没有明显的分界面，一般将速度达到外部势流速度的99%处到板面的距离作为边界层的厚度（速度边界层名义厚度）。,二、边界层的厚度,56,边界层的位移厚度和动量损失厚度,边界层的位移厚度,实际流体流过壁面时，粘性作用使边界层内的速度降低，要达到边界层外边界上势流的来流速度，必然要使势流的流线向外移动距离，称位移厚度。,边界层的动量损失厚度,在边界层内因粘性的影响，流体动量将减少，减少的动量可以用以理想流体的速度流过某层厚度为的截面的流体动量来代替，称为动量损失厚度。,57,说明,边界层的位移厚度越大，表明边界层引起的质量流量亏损越大。为了保持有粘性与无粘性流动的质量相等，在用无粘性理论设计管道时应将管壁向外扩大。,58,半无限长平板绕流,边界层厚度位移厚度动量损失厚度,59,三、边界层的基本特征,(2)边界层内沿厚度方向，存在很大的速度梯度。,(1)与物体的特征长度相比，边界层的厚度很小,.,(4)由于边界层很薄，可以近似认为边界层中各截面上的压强等于同一截面上边界层外边界上的压强值。,(5)在边界层内，粘性力与惯性力同一数量级。,(6)边界层内的流态，也有层流和紊流两种流态。,(3)边界层厚度沿流体流动方向是增加的，由于边界层内流体质点受到粘性力的作用，流动速度降低，所以要达到外部势流速度，边界层厚度必然逐渐增加。,60,四、边界层方程：,这儿，利用边界层流动的特点如流体的粘度大小、速度梯度大和边界层的厚度与物体的特征长度相比为一小量等对N-S方程进行简化，导出层流边界层微分方程。在简化过程中，假定流动为二维不可压定常流，不考虑质量力，则流动的控制方程N-S方程为：,数量级分析：比较方程中各量或各项的量级的相对大小；保留量级较大的量或项；舍去那些量级小的项，方程大大简化,3个基本量的数量级：,主流速度：,壁面特征长度：,边界层厚度：,u沿边界层厚度由0到u:,由连续性方程：,如果仅保留数量级为1的项，而将数量级比1小的各项全部略去，便可以得到层流边界层的微分方程组为：,表明：边界层内的压力梯度仅沿x方向变化，而边界层内法向的压力梯度极小。,边界层内任一截面压力与y无关而等于主流压力,可视为边界层的又一特性,66,一、曲面边界层分离现象,当不可压缩粘性流体流过平板时，在边界层外边界上沿平板方向的速度是相同的，而且整个流场和边界层内的压强都保持不变。当粘性流体流经曲面物体时，边界层外边界上沿曲面方向的速度是改变的，所以曲面边界层内的压强也将同样发生变化，对边界层内的流动将产生影响，发生曲面边界层的分离现象。,8.10曲面边界层的分离现象和卡门涡街,67,曲面边界层的分离现象,在实际工程中，物体的边界往往是曲面（流线型或非流线型物体）。当流体绕流非流线型物体时，一般会出现下列现象：物面上的边界层在某个位置开始脱离物面，并在物面附近出现与主流方向相反的回流，流体力学中称这种现象为边界层分离现象，如图所示。流线型物体在非正常情况下也能发生边界层分离，如图所示。,68,（a）流线形物体；（b）非流线形物体图曲面边界层分离现象示意图,边界层,外部流动,外部流动,尾迹,外部流动,外部流动,尾迹,边界层,69,以不可压缩流体绕流圆柱体为例在圆柱体前驻点A处，流速为零，该处尚未形成边界层，即边界层厚度为零。,在AB段，流体加速减压，沿流动方向形成顺压梯度在B点流速达到最大，过B点后，流体减速增压，沿流动方向形成逆压梯度。,圆柱绕流的边界层,70,当流体绕过圆柱体最高点B流到后半部时，压强增加，速度减小，更促使边界层内流体质点的减速，从而使动能消耗更大。当达到S点时，近壁处流体质点的动能已被消耗完尽，流体质点不能再继续向前运动，于是一部分流体质点在S点停滞下来，过S点以后，压强继续增加，在压强差的作用下，除了壁上的流体质点速度仍等于零外，近壁处的流体质点开始倒退。,71,接踵而来的流体质点在近壁处都同样被迫停滞和倒退，以致越来越多被阻滞的流体在短时间内在圆柱体表面和主流之间堆积起来，使边界层剧烈增厚，边界层内流体质点的倒流迅速扩展，而边界层外的主流继续向前流动，这样在这个区域内以ST线为界，如图a所示，在ST线内是倒流，在ST线外是向前的主流，两者流动方向相反，从而形成旋涡。,72,图a曲面边界层分离现象,73,使流体不再贴着圆柱体表面流动，而从表面分离出来，造成边界层分离，S点称为分离点。形成的旋涡，不断地被主流带走，在圆柱体后面产生一个尾涡区。尾涡区内的旋涡不断地消耗有用的机械能，使该区中的压强降低，即小于圆柱体前和尾涡区外面的压强，从而在圆柱体前后产生了压强差，形成了压差阻力。压差阻力的大小与物体的形状有很大关系，所以又称为形状阻力。,74,上图表示不同雷诺数条件下绕圆柱的流动图谱1911年，匈牙利科学家卡门研究得出圆柱背后旋涡的运动规律。卡门对涡街得出阻力、涡释放频率等经验公式。卡门涡街会产生共振，危害很大；也可应用于流量测量。,二、卡门涡街,75,绕过圆柱体的流动卡门涡街,绕过圆柱体的流动,76,绕过圆柱体的流动卡门涡街,卡门涡街,脱落频率：,斯特劳哈尔数,8.11绕流阻力和阻力系数,78,8.11绕流阻力和阻力系数,粘性流体绕物体流动时，物体一定受到流体的压强和切向应力的作用，这些力的合力一般可分解为与来流方向一致的作用力和垂直于来流方向的升力。由于与物体运动方向相反，起着阻碍物体运动的作用，所以称为阻力。绕流物体的阻力由两部分组成：一部分是由于流体的粘性切向应力所形成的摩擦阻力；另一部分是由于边界层分离，物体前后形成压强差而产生的压差阻力。摩擦阻力和压差阻力之和统称为物体阻力。对于圆柱体和球体等钝头体，压差阻力比摩擦阻力要大得多；而流体纵向流过平板时一般只有摩擦阻力。目前，从理论上来确定一个任意形状物体的阻力，还是十分困难的，只能在风洞中用实验方法测得，这种实验称为风洞实验。,79,通过实验分析可以得出，物体阻力与来流的动压头和物体在垂直于来流方向的截面积A的乘积成正比，即,为了便于比较各种形状物体的阻力，工程上引用无因次阻力系数来表达物体阻力的大小，其公式为,由实验得知，对于不同的不可压缩流体的几何相似的物体，如果雷诺数相同，则它们的阻力系数也相同。因此在不可压缩流体中，对于与来流方向具有相同