第3章 线性方程组解法 第2节 向量范数等价性证明PPT课件

1,向量范数,定义9（向量范数）,（1）正定性,（2）齐次性,（3）三角不等式,1.向量范数的定义,2.常用的向量范数,定义10,称为向量的能量范数。,（1）向量的“”范数：,（2）向量的“1”范数：,（3）向量的“2”范数：,（4）向量的能量范数：,2,证“1”范数时，用,注：,Cauchy不等式,3.范数的等价性,定理20,定理19,证明：,事实上，,3,范数的等价性,定理19,4,证明：,于是有,(2),注：,(3),(1),5,向量范数概念可以推广到矩阵.,视中的矩阵为中的向量，,则由上的2范数,可以得到中矩阵的一种范数,称为的Frobenius范数.,显然满足正定性、齐次性及三角不等式.,定义,如果矩阵的某个非负的,实值函数,(矩阵的范数),满足条件,6,（5.4）,则称是上的一个矩阵范数(或模).,上面定义的就是上的一个矩阵范数.,由于在大多数与估计有关的问题中，矩阵和向量会同时参与讨论，所以希望引进一种矩阵的范数，它和向量范数相联系而且和向量范数相容的.,7,（5.5）,定义,设,，,给出一种向量范数(如或)，相应地定义一个矩阵的非负函数,即对任何向量及都成立,(矩阵的算子范数),（5.6）,可以验证满足定义4，所以是上矩阵的一个范数，称为的算子范数.,8,定理1,设是上一个向量范数，,则是,（5.7）,证明,由(5.7)，有,上矩阵的范数，且满足相容条件,由(5.6)相容性条件(5.7)是显然的.,现只验证定义4中条件(4).,当时，有,9,故,显然这种矩阵范数依赖于具体的向量范数.,也就是说，给出一种具体的向量范数，相应地就可得到一种矩阵范数.,定理2,设,，则,10,其中表示的最大特征值.,证明,1.设,不妨设.,则,只就1，3给出证明，2同理.,记,11,这说明对任何非零，,（5.8）,接下来说明有一向量,设，,取向量,有,使,其中,显然,且的第个分量为，,这说明,12,3.由于对一切,从而的特征值为非负实数，,（5.9）,为对称矩阵，设为的相应于(5.9)的特征向量且，又设为任一非零向量，,设为,于是有,13,其中为组合系数，则,另一方面，取，则上式等号成立，故,例,设，计算的各种范数.,解,14,对于复矩阵(即)定理18中的第1,2项显然也成立，3应改为,15,定义,设的特征值为,为的谱半径.,定理3,设,则,即的谱半径不超过的任何一种算子范数(对亦对).,称,(特征值上界),证明,设是的任一特征值，为相应的特征向量，,则，,由相容性条件(5.7)得,注意到,即得,16,定理4,如果为对称矩阵，,定理5,如果，,则为非奇异矩阵，,其中是指矩阵的算子范数.,则,且,证明,若,使,用反证法.,则,有非零解，,即存在,又由，有,故，,与假设矛盾.,17,从而,18,将实数,向量范数等价性证明,向量范数概念是三维欧氏空间中向量长度概念的推广，在数值分析中起着重要作用.,定义1,（或）.,设,（或复数）,称为向量的数量积.,19,将非负实数,或,称为向量的欧氏范数.,定理6,关于范数，成立如下定理.,设,则,20,5.(Cauchy-Schwarz不等式),等号当且仅当与线性相关时成立；,6.三角不等式,21,也可以用其他办法来度量向量的“大小”.,向量的欧式范数可以看成是对中向量“大小”的一种度量.,例如，对于可以用一个的函数,来度量的“大小”，而且这种度量“大小”的方法计算起来比欧氏范数方便.,一般要求度量向量“大小”的函数满足正定性、齐次性和三角不等式.,22,（1）,则称是(或)上的一个向量范数(或模).,由(3),定义2,如果向量(或)的某,个实值函数，满足条件：,(向量的范数),23,（2）,从而有,几种常用的向量范数.,1.向量的-范数(最大范数)：,2.向量的1-范数：,24,3.向量的2-范数：,也称为向量的欧氏范数.,4.向量的-范数：,其中.,可以证明向量函数是上向量的范数,且容易说明上述三种范数是-范数的特殊情况.,25,如果,例,计算向量的各种范数.,解,定义3,设为中一向量序列，,则称收敛于向量，,记,记为,26,定理7,(的连续性),为上任一向量范数，,则是的分量,设非负函数,的连续函数.,证明,设,其中,只须证明当时.,事实上,27,即,其中,28,的任意两种范数，,定理8,设为上向量,则存在常数,证明,只要就证明上式成立即可，即证明,存在常数使,考虑泛函,(向量范数的等价性),有,使得对一切,29,由于为上的连续函数，所以于上达到最大最小值，,记则是一个有界闭集.,即存在使得,设且,则,从而有,（5.3）,显然上式为,30,即,定理3不能推广到无穷维空间.由定理15可得到结论：,如果在一种范数意义下向量序列收敛时，则在任何一种范数意义下该向量序列均收敛.,31,向量序列的极限,设有向量序列,若n个数列收敛，即,设有向