高等代数北大版8-2PPT课件

8.2矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形,.,1,一、矩阵的初等变换,二、矩阵的初等矩阵,8.2矩阵的标准形,三、等价矩阵,四、矩阵的对角化,8.2矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形,.,2,矩阵的初等变换是指下面三种变换:,矩阵两行（列）互换位置；,矩阵的某一行（列）乘以非零常数c；,是一个多项式.,矩阵的某一行（列）加另一行（列）的倍，,一、矩阵的初等变换,定义：,8.2矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形,.,3,代表第行乘以非零数c；,代表把第行(列)的倍加到第,为了书写的方便，我们采用以下记号,代表两行(列)互换；,注：,行(列).,8.2矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形,.,4,将单位矩阵进行一次矩阵的初等变换所得的,矩阵称为矩阵的初等矩阵.,二、矩阵的初等矩阵,定义：,注：,全部初等矩阵有三类：,8.2矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形,.,5,i行,8.2矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形,.,6,初等矩阵皆可逆.,对一个的矩阵作一次初等行变换,就相当于在在的左边乘上相应的的初等矩,阵；对作一次初等列变换就相当于在的右,边乘上相应的的初等矩阵.,8.2矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形,.,7,为矩阵，则称与等价.,矩阵若能经过一系列初等变换化,1)矩阵的等价关系具有:,反身性:与自身等价.,对称性:与等价与等价.,传递性:与等价,与等价,与等价.,三、等价矩阵,定义：,性质：,8.2矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形,.,8,2)与等价存在一系列初等矩阵,使,1.（引理）设矩阵的左上角元素,且中至少有一个元素不能被它整除，那么一定,可以找到一个与等价的矩阵，它的左上,角元素，且.,四、矩阵的对角化,8.2矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形,.,9,证：根据中不能被除尽的元素所在的,位置，分三种情形来讨论:,i)若在的第一列中有一个元素不能被,除尽，,其中余式，且,对作下列初等行变换:,则有,8.2矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形,.,10,的左上角元素符合引理的要求，,故为所求的矩阵.,ii)在的第一行中有一个元素不能被,除尽，这种情况的证明i)与类似.,iii)的第一行与第一列中的元素都可以被,除尽，但中有另一个元素,8.2矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形,.,11,被除尽.,对作下述初等行变换:,我们设,8.2矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形,.,12,矩阵的第一行中，有一个元素：,不能被左上角元素除尽，转为情形ii).,证毕.,8.2矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形,.,13,2.（定理2）任意一个非零的的一矩阵,都等价于下列形式的矩阵,多项式，且,称之为的标准形.,8.2矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形,.,14,证:经行列调动之后，可使的左上角元素,若不能除尽的全部元素，,由引理，可以找到与等价的，且,由引理，又可以找到与等价的，且,如此下去，将得到一系列彼此等价的矩阵：,左上角元素，,若还不能除尽的全部元素，,左上角元素，,8.2矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形,.,15,但次数是非负整数，不可能无止境地降低.,因此在有限步以后，将终止于一个矩阵,它的左上角元素，而且可以除尽,的全部元素即,对作初等变换:,它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低.,8.2矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形,.,16,中的全部元素都是可以被除尽的，,因为它们都是中元素的组合.,如果，则对于可以重复上述过程，,进而把矩阵化成,8.2矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形,.,17,其中与都是首1多项式(与,只差一个常数倍数），而且,能除尽的全部元素.,如此下去，最后就化成了标准形.,8.2矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形,.,1