高等数学 第十二章 无穷级数PPT课件

.,1,三、幂级数和函数的求法,四、函数的幂级数展开法,一、数项级数的审敛法,二、求幂级数收敛域的方法,第九章主要内容,.,2,(在收敛域内进行),基本问题：判别敛散性；,求幂级数收敛域；,求和函数；,函数展开成幂级数.,当时为数项级数;,当时为幂级数;,对于函数项级数,.,3,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.正项级数审敛法,必要条件,发散,满足,根值审敛法,收敛,发散,不定,比较审敛法,用其它方法判别,*积分判别法,部分和极限,比值审敛法,一、数项级数的审敛法,.,4,正项级数比较审敛法,设与是两个正项级数，且,则：若级数收敛，则级数也收敛；,若级数发散，则级数也发散.,常用来比较的级数：,.,5,例如,（2）等比级数,例如,.,6,极限形式的比较审敛法设与是两个正项级数，且,若,则级数与级数同时收敛，同时发散；,若且级数收敛，则级数收敛；,若且级数发散，则级数发散.,.,7,3.任意项级数审敛法,则交错级数,收敛,且余项,.,8,例1判别下列级数的敛散性:,解答提示:(1),据极限形式的比较判别法,原级数发散.,因调和级数发散,.,9,利用比值判别法,可知原级数发散.,用比值法,可判断级数收敛再由比较法可知原级数收敛.,利用比值判别法,可知原级数在时发散，时收敛；时仅当收敛.,.,10,例2讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,提示:(1),P1时,绝对收敛;,0p1时,条件收敛;,p0时,发散.,(2)因各项取绝对值后所得强级数收敛,原级数绝对收敛.,故,.,11,因,单调递减,且,但,所以原级数仅条件收敛.,由Leibniz判别法知级数收敛;,.,12,因,=故原级数绝对收敛.,.,13,二、求幂级数收敛域的方法,.,14,例4求下列幂级数的收敛域D.,1）,解：,收敛区间,因为,所以收敛域,.,15,2）,解：,收敛区间(-1,3).,因为,所以原级数收敛域为-1,3).,.,16,1）,解：,，原级数收敛.,例5求下列幂级数的收敛半径R.,.,17,2）,解：,时,收敛.,.,18,求部分和式极限,初等变换法:分解、套用公式,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,求和,三、幂级数和函数的求法,.,19,熟悉常用函数的幂级展开式：,1、,2、,3、,4、,.,20,5、等比级数：,注意：,.,21,例6求幂级数的和函数.,解法1：,先求出收敛区间,则,设和函数为,.,22,解法2：易求出级数的收敛域为，,原式,.,23,例7求幂级数的和函数.,x0，,.,24,显然x=0时上式也正确,故和函数为,而在,级数发散,.,25,解：,收敛域为（-1，1）.,设,.,26,解:原式=,（参见例6，也可用间接法解本题.）,.,27,（间接法）求数项级数和：,将其转化成幂级数求和函数问题.,原式,推广：，.,.,28,求,收敛域为（-1，1）.,例11,求的和.,代入求和:,解：设,.,29,四、函数的幂级数展开法,.,30,熟悉常用函数的幂级展开式：,1、,2、,3、,4、,5、等比级数：,.,31,例12,1）,2）,3）,4）,.,32,例13,将函数,展开成x的幂级数.,解:,.,33,练习题,.,34,.,35,.,36,.,37,.,38,.,39,练