高等几何讲义(第2章)PPT课件

第二章射影平面_1.扩大仿射平面,1.中心射影,设与/是二相交平面，S是不在和/上的一定点，取作射影中心对上的任意点A，作直线SA交/于A/将点A/称作点A在/上的中心射影，从中心S引出的直线SA称为投射线,1.扩大仿射平面,中心射影具有性质：1.将点变成点；2.将直线变成直线；3.保持点与直线的结合关系这是平行射影也具有的性质但中心射影不保持平行性，这与平行射影不同！(如图),1.扩大仿射平面,另外，中心射影不是双射(如上图中的点M；再如下图中，直线间的中心射影下，点P无对应点),分析(原因)：平行直线无交点；平行平面无交线方法：引入无穷远元素，使中心射影成为双射新问题：无穷远元素如何表示？,1.扩大仿射平面,无穷远元素的坐标表示,分析：平面仿射坐标系下，二直线(1):A1x+B1y+C1=0，(2):A2x+B2y+C2=0，,注意到，所谓坐标不外乎点与数组之间的一种双射，因此也可将此比值定义为点的一种坐标,1.扩大仿射平面,另外，注意到当一组直线平行于固定方向时，其中任二直线的三数比值中，前两数比值不变而第三数为零，且另一组平行直线的此种比值与之必不同可见此类三数比值与平行直线上的无穷远点是一一对应的，因而可作为无穷远点的一种坐标,1.扩大仿射平面,2.点的齐次仿射坐标定义设=O;e1,e2是平面仿射坐标系在之下，满足下述条件的有序实数组(x1,x2,x3)(0,0,0)称为平面上点的齐次仿射坐标：1若0，则(x1,x2,x3)与(x1,x2,x3)为同一点的齐次仿射坐标；2若x30，则(x1,x2,x3)是(非齐次)仿射坐标为x=x1/x3,y=x2/x3的普通点的齐次仿射坐标；3齐次仿射坐标为(x1,x2,0)的点称为无穷远点注意：条件2给出了普通点的(非齐次)仿射坐标与齐次仿射坐标之间互化的方法,1.扩大仿射平面,引入了无穷远点的平面称为扩大(仿射)平面，引进了无穷远点的直线称为扩大直线注意：扩大仿射平面作为点的集合已不再是原来的作为点集的仿射平面或欧氏平面,1.扩大仿射平面,3.直线的齐次仿射坐标方程仿射坐标系下，直线的方程为AxByC0扩大直线的齐次仿射坐标方程为：Ax1Bx2Cx30(A、B、C不全为0)(1)无穷远直线：x30(2)例设0为非无穷远直线，0为无穷远直线，则0(,为参数)表示什么图形？答：为一束平行直线直线(1)上的无穷远点为(B,A,0)当直线平行于y轴时，其无穷远点可写为(0,1,0)；当不平行于y轴时，无穷远点可写为(1,A/B,0),1.扩大仿射平面,因kA/B是直线(1)的方向数，故方向数为k的直线上的无穷远点为(1,k,0)；方向数为的直线上的无穷远点为(0,1,0)可见，方向数与无穷远点一一对应几个结论：1.每一普通直线上有且仅有唯一无穷远点；2.平行直线有同一无穷远点；3.不平行直线有不同无穷远点；4.两点确定唯一直线符号约定：齐次坐标为(x1,x2,x3)的点记为x；点x的任一组确定的齐次坐标记为(x)(x1,x2,x3),1.扩大仿射平面,例1三点a、b、c共线它们的齐次坐标满足,证明：若有至少二点相同，则显然成立不同三点共线存在直线A1x1A2x2A3x30，使三点坐标均满足此方程，即关于A1、A2、A3的齐次线性方程组,注：在代数观点下，可说三点共线此三点的坐标三数组线性相关例2求点a(2,3,1)、b(1,4,0)确定的直线解：设a、b确定的直线上的动点为x(x1,x2,x3)，则有,1.扩大仿射平面,故所求直线方程为：4x1x25x30,1.扩大仿射平面,一般地，记a、b所连直线为ab，其坐标方程为,或(x)(a)(b)，、R且220,其参数方程为：,2.射影平面,1.射影平面及其性质将无穷远元素与普通元素平等对待的扩大仿射平面称为射影平面射影平面上的点称为射影点，简称点，射影平面上的直线称为射影直线，简称直线对以下几者在几何和代数上的理解：1.非全零有序三数组(x1,x2,x3)；2.给定非全零有序三数组(x1,x2,x3)，作集合(x1,x2,x3)|0；3.对二确定的非全零有序三数组(x)、(y)，作集合(x)(y)|220,2.射影平面,射影平面上直线的特殊性质：1.直线是“封闭”的；2.任二不同直线有且仅有一个交点3.对射影平面的区域划分(如图),2.射影平面,2*.射影平面P2的定义及模型射影平面P2的定义射影平面P2是由点与直线两类元素组成的集合它与向量空间V3有下面的关系：1P2的点一一对应于V3的一维子空间；2P2的直线一一对应于V3的二维子空间；3在P2中，若点对应的一维子空间包含在直线对应的二维子空间中，则称点与直线结合在射影平面P2中，点用小写英文字母a、b、x、y、表示；直线用小写希腊字母、表示,2.射影平面,射影平面P2的几何模型扩大仿射平面模型若扩大仿射平面上点x齐次坐标为(x1,x2,x3)，则1.点x对应于V3中非零向量(x1,x2,x3)生成的一维子空间；2.过点a和点b的直线ab对应于由非零向量(a)和(b)生成的二维子空间；3.点c与直线ab的结合对应于由(c)生成的一维子空间包含在由(a)和(b)生成的二维子空间,2.射影平面,丛模型,2.丛的平面对应于V3中的二维子空间丛是射影平面的一个模型：丛的直线射影平面的点；丛的平面射影平面的直线,所谓丛，指三维欧氏空间中过原点o的全体直线和平面的集合，o称为丛的中心1.丛的直线对应于V3中的一维子空间；,2.射影平面,半球面模型规定：对径点合为一点1.点看作射影点；2.大圆及截口都看作射影直线,以球心为中心，可建立半球面模型与扩大仿射平面模型的一一对应关系,2.射影平面,3.射影坐标与射影坐标变换射影平面上，所有点、所有直线地位应平等，但无穷远直线仍有特殊性：其方程为x30下面引入射影坐标为此进行下述分析：射影平面上的点x，在代数上其坐标可分解为：(x1,x2,x3)x1(1,0,0)x2(0,1,0)x3(0,0,1),(2.1)其中，(1,0,0)、(0,1,0)分别是x轴、y轴上的无穷远点o(1)、o(2)在坐标，(0,0,1)是仿射坐标系的原点o(3)的坐标因o(1)、o(2)、o(3)的齐次坐标也可写为：(1,0,0)、(0,2,0)、(0,0,3),2.射影平面,结论：为得到齐次仿射坐标，须以每三点不共线的四点构成齐次仿射标架o(1),o(2),o(3);e，其中，o(1)、o(2)是无穷远点，而点e的作用则在于由表达式：(e)(o(1)(o(2)(o(3)限制点o(1)、o(2)、o(3)的坐标选取任意性,等价于要求(1,2,3)是点e(1,1,1)的齐次仿射坐标,故又可写成分解式：(x1,x2,x3)(x1/1)(1,0,0)(x2/2)(0,2,0)(x3/3)(0,0,3)，(2.2)代数形式上，(x1/1,x2/2,x3/3)与(x1,x2,x3)应表示同一点的坐标,2.射影平面,为定义射影坐标，先证明下述引理引理给定射影平面上每三点不共线的四点a(i)(i1,2,3)和e，则在齐次仿射标架下，对e的任意取定的坐标(e)，存在a(i)的唯一一组坐标，使(e)(a(1)(a(2)(a(3)证明：任取定三点a(i)的齐次仿射坐标(a(i)/因每三点不共线，故必有(e)1(a(1)/2(a(2)/3(a(3)/，其中1230令(a(i)i(a(i)/，则存在性得证设a(i)的另一组坐标(a(i)*也满足(e)(a(1)*(a(2)*(a(3)*，,2.射影平面,则有(a(1)*(a(2)*(a(3)*(a(1)(a(2)(a(3)又因(a(i)*i(a(i)，故(11)(a(1)(21)(a(2)(31)(a(3)0现因(a(1)、(a(2)、(a(3)线性无关，故1231，故唯一性得证,2.射影平面,射影坐标的定义：设o(1)、o(2)、o(3)和e是射影平面上取定的每三点不共线的四点，其取定的一组齐次仿射坐标依次为(o(1)*、(o(2)*、(o(3)*和(e)*，且满足(e)*(o(1)*(o(2)*(o(3)*若任意点x的齐次仿射坐标(x)*关于(o(1)*,(o(2)*,(o(3)*的分解式为(x)*x1(o(1)*x2(o(2)*x3(o(3)*，则称有序数组(x1,x2,x3)为点x关于射影坐标系(或射影标架)o(1),o(2),o(3);e的射影坐标o(1)，o(2)，o(3)称为基本点，e称为单位点三角形o(1)o(2)o(3)称为坐标三角(点)形,2.射影平面,1.射影标架中各点坐标(如图)；2.射影坐标是一种齐次坐标：(1)射影坐标是不全为零的有序三数组；(2)同一点的两组射影坐标成比例；,(3)成比例的有序三数组表示同一点,例1设在齐次仿射坐标系下，有点o(1)(1,1,2)、o(2)(0,1,2)、o(3)(3,1,4)、e(1,0,2)和x(1,1,0)求点x关于o(1),o(2),o(3);e的射影坐标解：因(1,0,2)(2)(1,1,2)(3)(0,1,2)(3,1,4)(2,2,4)(0,3,6)(3,1,4)，又(1,1,0)2(2,2,4)2(0,3,6)(3,1,4)，故x关于的坐标为(2,2,1),2.射影平面,仿射坐标系与射影坐标系的关系：仿射坐标系是特殊的射影坐标系，当射影坐标三点形的一边取成扩大仿射平面上的无穷远直线时，则射影坐标系就特殊化为仿射坐标系,2.射影平面,2.射影平面,下面讨论射影坐标系o(1),o(2),o(3);e到射影坐标系/o/(1),o/(2),o/(3);e/的坐标变换式设点x关于二坐标系的坐标分别为(x)(x1,x2,x3)、(x)/(x1/,x2/,x3/)再设在下，(o/(i)(a1i,a2i,a3i)(i1,2,3)，(e/)(a11a12a13,a21a22a23,a31a32a33)则/的坐标变换式为：,2.射影平面,证明：代数上，对x在下坐标进行相应运算：,其中，A(aij)为变换矩阵,x/1(o/(1)x/2(o/(2)x/3(o/(3)x/1a11(o(1)a21(o(2)a31(o(3)x/2a12(o(1)a22(o(2)a32(o(3)x/3a13(o(1)a23(o(2)a33(o(3),a11x/1a12x/2a13x/3(o(1)a21x/1a22x/2a23x/3(o(2)a31x/1a32x/2a33x/3(o(3),2.射影平面,(a11x/1a12x/2a13x/3,a21x/1a22x/2a23x/3,a31x/1a32x/2a33x/3)，,即x在下的一组坐标为：,而(x1,x2,x3)也为x在下的一组坐标，故,于是得定理1射影坐标系o(1),o(2),o(3);e到射影坐标系/o/(1),o/(2),o/(3);e/的坐标变换是满秩线性变换(2.3)，且其变换矩阵A的第一、二、三列分别是/的第一、二、三个基点在下满足关系(o/(1)(o/(2)(o/(3)(e/)的射影坐标,2.射影平面,例2设在射影坐标系o(1),o(2),o(3);e里，有点o/(1)(1,2,4)，o/(2)(2,1,0)，o/(3)(3,0,1)，e/(9,5,5)求从到/o/(1),o/(2),o/(3);e/的坐标变换式解：因(9,5,5)2(1,2,4)(2,1,0)3(3,0,1)(2,4,8)(2,1,0)(9,0,3)，故所求坐标变换为：,2.射影平面,4.直线与点列一维射影坐标定理2射影坐标系下，直线方程是三元齐一次方程；反之，三元齐一次方程的图形是直线证明：齐次仿射坐标系*下，直线的齐次坐标方程为：A1x*1A2x*2A3x*30(A12A22A320)(1)又齐次仿射坐标系*到射影坐标系的坐标变换式为：,因(bij)为满秩矩阵而A1、A2、A3不全为零，故B1、B2、B3也不全为零，即直线在射影坐标系下的方程(2)为齐一次方程反之，对于下的三元齐一次方程(2)，经坐标变换后，必可得*下的直线方程(1),2.射影平面,代入(1)整理得：B1x1B2x2B3x30(2),2.射影平面,类似于齐次仿射坐标系下三点共线的条件，在射影坐标系下，点x与二不同点a、b共线,这也是直线ab的方程其参数方程为：(x)(a)(b)，,R且220(2.4),2.射影平面,一条定直线上全体点的集合称为点列，此直线称为点列的底点列与底相互确定称以为底的点列为点列式(2.4)也称为点列的坐标式，定点a、b称为点列的基点(,)是齐次参数(2.4)可改写为：(x)(a)(b)，其中/，且约定当时表示点b为非齐次参数点列是一种一维基本形在点列上任取三不同定点a、b、e，选定其二维射影坐标(a)、(b)、(e)，使(e)(a)(b)，则得点列上的一个射影坐标系a,b;e，称为一维射影坐标系a、b称为基点，e称为单位点,2.射影平面,任意点x的二维射影坐标(x)可分解为：(x)1(a)2(b)，(2.5)有序系数组(1,2)称为点x关于a,b;e的齐次射影坐标下，a(1,0)、b(0,1)、e(1,1)若将(2.5)改写为：(x)(a)(b)，(2.6)其中1/2，且约定当时表示点a，则称为此点列的点x在a,b;e下的非齐次射影坐标下，a、b、e的非齐次射影坐标依次为,0,1,2.射影平面,注意(2.4)和(2.5)的区别一维射影坐标与一维仿射坐标的联系：特别，若将a,b;e的第一个基点a取成上唯一的无穷远点，则一维射影坐标特殊化成一维仿射坐标此时，扩大直线上的唯一无穷远点a的齐次仿射坐标为(1,0)，非齐次仿射坐标为5.Desargues定理平面内不共线三点及每两点连线构成的图形称为三点形；平面内不共点三直线及每两线交点构成的图形称为三线形其中的点称为顶点，直线称为边,2.射影平面,直线ab与cd的交点记为(ab)(cd)定理3若二三点形对应顶点连线共点，则其对应边交点共线,证法一：若二三点形有对应顶点(边)重合，或者对应顶点连线所共点正好是某顶点，则命题显然成立以下仅讨论一般情况,各点如图建立射影坐标系a,b,c;s，则a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，s(1,1,1)进而可设(a/)(1,1,1)(1,0,0)(1,1,1)同理可设(b/)(1,1,1)，(c/)(1,1,1),2.射影平面,由以上点的坐标可求得相关直线的方程：bc：x10，b/c/：()x1x2x30，故(p)(0,)同理，(q)(,0,)，(r)(,0),故p、q、r三点共线,2.射影平面,证法二：任意选定s的射影坐标(s)，则可调整两个三点形各顶点坐标，使(s)(a)(a/)(b)(b/)(c)(c/)，进行代数变形，得(b)(c)(b/)(c/)(p)，(c)(a)(c/)(a/)(q)，(a)(b)(a/)(b/)(r)，故(p)(q)(r)0，所以，p、q、r三点共线,2.射影平面,Desargues定理的逆定理：定理4若二三线形对应边交点共线，则其对应点连线共点此定理将在4看到其必然成立将Desargues定理及其逆定理中对应顶点连线交点称为此二三角形的透视中心，对应边交点所在直线称为此二三角形的透视轴，并说这两个三角形是透视的,例3已知三角形三高线ad，be，cf，求证：(bc)(ef)，(ca)(fd)，(ab)(de)共线,证明：因三高线ad，be，cf共点于o，故三点形abc与def的对应顶点连线共点于o所以，它们的对应边交点(bc)(ef)，(ca)(fd)，(ab)(de)共线例4证明：任意四边形各对对边中点的连线及两对角线中点连线相交于一点,2.射影平面,证明：如图，因a，b是四边形邻边中点，故ab|hf同理a/b/|hf从而ab|a/b/即(ab)(a/b/)为无穷远点同理，(bc)(b/c/)为无穷远点，(ca)(c/a/)为无穷远点,所以，三点形abc与三点形a/b/c/对应边交点共线于无穷远直线因此，其对应顶点连线共点得证,例5P44习题13,2.射影平面,证明：设/o，任取定过z的直线分别交、/于y、y/因三点形axy与三点形a/x/y/对应顶点连线共点，故其对应边交点o、p、q共线即动点p在直线oq上反之，可证oq上任一点必在该轨迹上,例6二维射影几何可以用非齐次坐标研究吗？为什么？答：不能，因为射影平面是由仿射平面添加了无穷多个点（无穷远点）而得的，这些新点无非齐次坐标,2.射影平面,3.交比与调和共轭,1.扩大欧氏平面上的交比距离是保距变换下的不变量；简单比是仿射变换的基本不变量中心射影会改变简单比,对共线四点a、b、c、d，定义交比：,可以证明：交比在中心射影下不变(如图),3.交比与调和共轭,证明：如图，在以o为中心的中心射影下，上的a、b、c、d依次变为a/、b/、c/、d/以h记o到直线的距离，则hac2oac的面积oaocsincoa，所以acoaocsincoa/h同理bcobocsincob/h，adoaodsindoa/h，bdobodsindob/h,3.交比与调和共轭,从而(ab;cd)acbd/bcadsincoasindob/sindoasincobsinc/oa/sind/ob/sind/oa/sinc/ob/a/c/b/d/b/c/a/d/(a/b/;c/d/)为将交比推广到射影平面，注意到齐次仿射坐标与射影坐标在代数上的相似性，下面在齐次坐标下，对交比进行分析我们有,3.交比与调和共轭,引理若共线四点a、b、c、d的各自一组齐次仿射坐标满足：(c)*1(a)*2(b)*，(d)*1(a)*2(b)*，,则(ab;cd)21/12,证明：设直角坐标系下，点a(a1,a2)与点b(b1,b2)所在直线上有另外二点c(c1,c2)、d(d1,d2)，则存在实数、(0,1)，使,不妨a1b1，则,若任意选定四点的齐次坐标(a)*、(b)*、(c)*、(d)*，且设(c)*1(a)*2(b)*，(d)*1(a)*2(b)*因存在非零实数u、v，使(a)*u(a1,a2,1)，(b)*v(b1,b2,1)，故,3.交比与调和共轭,(c)*(1ua12vb1,1ua22vb2,1u2v)，(d)*(1ua12vb1,1ua22vb2,1u2v)由(3.1)，c、d的另一组齐次坐标为：(c)(a1(1)b1,a2(1)b2,1)，(d)(a1(1)b1,a2(1)b2,1)分别比较c、d的两组齐次坐标，得,3.交比与调和共轭,故由(2)，得(ab;cd)21/12,3.交比与调和共轭,2.射影平面上交比的定义利用上面的引理，可将交比推广到射影平面上设a、b、c、d是射影平面上，一点列的四不同点，则有,定义共线四点a、b、c、d的交比(ab;cd)为(ab;cd)(2/1)/(2/1)21/12其中，a、b称为基础点，c、d称为分点可以证明：交比与坐标系的选取及坐标三数组的选取无关因而是有意义的,3.交比与调和共轭,证明：若在射影标架下，对共线四点有(c)1(a)2(b)，(1)(d)1(a)2(b)(2)设射影标架*到射影标架的坐标变换为：(x)*TA(x)T，detA0，则在*下，则各点坐标为：(a)*TaA(a)T，(b)*TbA(b)T，(c)*TcA(c)T，(d)*TdA(d)T而由(1)、(2)，有A(c)T1A(a)T2A(b)T，A(d)T1A(a)T2A(b)T故在射影标架*下，有,(c)*1(c/a)(a)*2(c/b)(b)*，(3)(d)*1(d/a)(a)*2(d/b)(b)*(4)将(3)、(4)与(1)、(2)比较可知，射影平面上，交比定义与坐标系以及同一坐标系下坐标的选取无关,3.交比与调和共轭,定理1射影平面上，由二维射影坐标给出的共线四不同点a、b、c、d的交比为,其中kl，并取1、2、3中适当二值,3.交比与调和共轭,证明：任意取定四点坐标，则可设(c)1(a)2(b)，(d)1(a)2(b)考虑其第一式，即相容方程组：ci1ai2bi，(i1,2,3)因a、b为不同二点，,3.交比与调和共轭,利用交比定义即得证,3.交比与调和共轭,例1已知四点a(1,2,0)、b(3,1,1)、c(1,5,1)、d(7,7,3)，求交比(ab;cd)解法1：(定义法)因(1,5,1)2(1,2,0)(3,1,1)，(7,7,3)2(1,2,0)3(3,1,1)，故(ab;cd)(1)(2)/(23)1/3解法2：(定理法)取k1，l2，则,3.交比与调和共轭,推论1已知一点列不同四点的一维齐次射影坐标：p(i)(i,i)(i1,2,3,4)，则,证明：设此点列的基点a、b的二维射影坐标分别为(a)、(b)，则(p(i)i(a)i(b)(ia1ib1,ia2ib2,ia3ib3)，,由定理1即得,3.交比与调和共轭,推论2若共线四点p(i)(i1,2,3,4)的一维非齐次射影坐标为p(i)(i)(i1,2,3,4)，则,例2已知一点列四点a(3)、b()、c(1)、d(0)，求交比(ab;cd)解法1：四点齐次坐标分别为：a(3,1)、b(1,0)、c(1,1)、d(0,1)，故,(ab;cd),解法2：(ab;cd)(31)(0)/(30)(1)4/3,3.交比与调和共轭,对的处理：将看作无穷大量例3试证：在仿射平面上，共线四点p(i)(i1,2,3,4)的交比就是两个简单比之比，即(p(1)p(2);p(3)p(4)(p(1)p(2)p(3)/(p(1)p(2)p(4)证明：设p(i)的仿射坐标为(xi,yi)，则齐次坐标为(xi,yi,1)不妨四点所在直线不平行于y轴，则,(x1x3)(x2x4)/(x1x4)(x2x3)(p(1)p(2)p(3)/(p(1)p(2)p(4),特别地，在欧氏平面上，有(p(1)p(2);p(3)p(4)p(1)p(3)p(2)p(4)/p(1)p(4)p(2)p(3),3.交比与调和共轭,3.交比与射影坐标的关系定理2若在一点列上建立了射影坐标系=a,b;e，则其上任意点x在下的非齐次坐标为(ab;ex)证明：因(e)(a)(b)，而(x)1(a)2(b)，故(ab;ex)1/2=,定理3在射影坐标系o(1),o(2),o(3);e下，点x的坐标(x1,x2,x3)与交比有以下关系：,3.交比与调和共轭,(o(1)o(3);e(2)x(2)x1/x3；(o(2)o(3);e(1)x(1)x2/x3；(o(1)o(2);e(3)x(3)x1/x2,证明：如图，可计算得x(2)(x1,0,x3)，e(2)(1,0,1)，故(e(2)(o(1)(o(3)，(x(2)x1(o(1)x3(o(3)，所以，(o(1)o(3);e(2)x(2)x1/x3其余同理可证,3.交比与调和共轭,4.交比的性质及分组对于共线四点1、2、3、4，可证明下述性质：性质1.(34;12)(12;34)；性质2.(21;43)(12;34)；性质3.(21;34)1/(12;34)(12;43)；性质4.(13;24)1(12;34)证明：只证性质4，其余类似因四点不同，可设(3)(1)(2)，(4)(1)(2)，则(2)(1)(3)，(4)()(1)(3)，故(13;24)()/()1/，而(12;34)/，所以性质4成立,3.交比与调和共轭,其他性质：设1、2、3、4、5、6为六不同共线点，则有1.(12;34)(12;45)(12;35)；2.(12;34)(12;56)(12;36)(12;54)共线四点1、2、3、4产生的24个交比可分为六组：,1(12;34)(21;43)(34;12)(43;21)；2(12;43)(21;34)(43;12)(34;21)1/；3(13;24)(31;42)(24;13)(42;31)1；4(13;42)(31;24)(42;13)(24;31)1/(1)；5(14;23)(41;32)(23;14)(32;41)(1)/；6(14;32)(41;23)(32;14)(23;41)/(1),3.交比与调和共轭,例4设(ab;cd)3(ac;bd)，求(ab;cd)解：因(ac;bd)1(ab;cd)，故由所设得(ab;cd)33(ab;cd)，所以，(ac;bd)3/2,3.交比与调和共轭,5调和共轭上述六组交比值若还有相等，则可能情形如下：,就本质而言，上面仅两种情形定理4共线四点交比取0、1、的充要条件是四点有两点重合对于1的情形，定义：当(ab;cd)1时，称a、b、c、d构成调和比，并称点对a、b与点对c、d成调和共轭,3.交比与调和共轭,定理5共线不同四点所成六组交比中，有相同值此四点能配成调和共轭例5求证以非齐次仿射坐标给出的四点a(3,1)、b(7,5)、c(6,4)、d(9,7)共线，且构成调和共轭证明：因各点齐次坐标分别为：a(3,1,1)、b(7,5,1)、c(6,4,1)、d(9,7,1)，由此得4(c)(a)3(b)，2(d)(a)3(b)，故四点共线，且(ab;cd)1例6扩大仿射平面上，若共线四点a、b与c、d成调和共轭，则c、d被a、b分隔且第四调和点d是无穷远点c是线段ab的中点,3.交比与调和共轭,证明：因(ab;cd)1，故acbd/adbc1，因而ac/bc与bd/ad异号这表明：当c是线段ab内分点时，d是线段ab外分点；而当c是线段ab外分点时，d是线段ab内分点故c、d被a、b分隔(称为a、b调和分隔c、d，或c、d调和分隔a、b)若d是无穷远点，则bd/ad1，故ac/bc1，即c是线段ab中点；反之，若c是线段ab中点，则ac/bc1，从而bd/ad1，因此d只能是无穷远点,6.完全四点形的调和性质平面上每三点不共线的四点及连接其中任二点的六条直线构成的图形称为完全四点形此四点称为顶点；六条直线称为边无公共顶点的两边称为对边；共三组对边对边的交点称为对角点，二对角点的连线称为对角线定理6完全四点形的三个对角点不共线证明：各点如图因a、b、c、d每三点不共线，故可建立射影坐标系a,b,c;d，取,3.交比与调和共轭,故p、q、r不共线,(a)(1,0,0)，(b)(0,1,0)，(c)(0,0,1)，(d)(1,1,1)，则(a)(b)(c)(d)(p)，(a)(c)(b)(d)(q)，(a)(d)(b)(c)(r)，故(p)(1,1,0)，(q)(1,0,1)，(r)(0,1,1),3.交比与调和共轭,由定理6可见，完全四点形的对角点构成一个三点形，称为对角三点形关于对角三点形，有定理7在完全四点形的对角三点形的一边上，三点形的二顶点，四点形的其余两边与三点形的该边的二交点，构成调和点组,3.交比与调和共轭,证明：取定a、b、c、d的坐标，使(a)(b)(c)(d)，则(a)(c)(b)(d)(q)，(a)(d)(b)(c)(r)，则(q)(r)(a)(b)(m)，而(q)(r)(c)(d)(n)，所以，(qr;mn)1，即q、r与m、n调和共轭,3.交比与调和共轭,定理7的应用：已知共线三点，求作第四调和点,作法：已知共线三点q、r、n,m,1.任取不在所共直线上的二点c、d，使c、d、n共线；,2.作点a(dr)(cq)、b(cr)(dq)；,3.作点m(ab)(qr)，,则m为第四调和点,3.交比与调和共轭,例7设xyz是完全四点形abcd的对角三点形，其中x(ad)(cb),y(ac)(bd),z(ab)(cd)，且xz分别交ac、bd于p、q，证明：yz,bp,cq共点,证法1：因三点形bcz与三点形pqy的对应边交点x(bc)(pq)、d(cz)(qy)、a(zb)(yp)三点共线，,故其对应顶点连线yz、bp、cq共点,3.交比与调和共轭,证法2：建立如定理6的坐标系有(z)(1,1,0)，(y)(1,0,1)，(x)(0,1,1)从而，yz：x1x2x30，xz：x1x2x30又ac：x20，bd：x1x30故(p)(1,0,1)，(q)(1,2,1),由此得bp：x1+x30，cq：2x1x20，从而由三直线yz、bp、cq方程可验证此三线共点,证法3：如图，设m(yz)(bp)、c/(mq)(ap)，分别考虑完全四点形zxdb与bqzm，有(yp;ac)1(yp;ac/)，故cc/，即yz、bp、cq共点,3.交比与调和共轭,4.对偶原理,1.点坐标与线坐标以点为基本元素的几何学称为点几何学；以直线为基本元素的几何学称为线几何学,直线的点坐标方程为:1x12x23x30，(4.1)等价于方程：1x12x23x30，(0)因此定义：直线的齐次点坐标方程(4.1)的有序系数组()(1,2,3)(0,0,0)称为直线的直线坐标（简称线坐标）,4.对偶原理,注意：与点坐标一样，线坐标也是齐次坐标坐标三点形的三边：,记x1x12x23x3，,边方程坐标(1)o(2)o(3)x10(1,0,0)(2)o(3)o(1)x20(0,1,0)(3)o(1)o(2)x30(0,0,1),则(4.1)成为：x0(4.1)/对(4.1)或(4.1)/的三种看法：1.若()与(x)均为定数组；2.将()看成定数组，(x)看成变数组；3.将(x)看成定数组，()看成变数组,4.对偶原理,在第三种看法下，将(4.1)称为点x的方程，也可看作以x为心的线束的方程点方程的几何意义：它是过点的动直线的坐标满足的代数条件注意：此时，(x)固定，而()变动另外，表示点方程时，变元须用希腊字母，以便区别如：2x13x24x30为直线(2,3,4)的方程；2132430为点(2,3,4)的方程,x,4.对偶原理,2.对偶原理,在线几何学中，点被看作一束直线的心，因此，点x的方程是过定点x的动直线的坐标满足的充要条件x0,在点几何学中，直线被看作一系列点的轨迹，因此，直线的方程是在定直线上动点x的坐标满足的充要条件x0,线几何学1/直线有坐标(1,2,3)0，且0时，(1,2,3)与(1,2,3)表示同一直线；,点几何学1点有坐标(x1,x2,x3)0，且0时，(x1,x2,x3)与(x1,x2,x3)表示同一点；,4.对偶原理,可以对结论4和4/同时证明,2/点x的方程为x0，其中()是变数组；,2直线的方程为x0，其中(x)是变数组；,3/直线通过点x的充要条件为x0；,3点x在直线上的充要条件为x0；,(A,B,C)(0,0,0)，,成立，即此线性方程组有非零解(A,B,C)，故等价于,4.对偶原理,4.对偶原理,u/(u/1,u/2,u/3)和u/(u/1,u/2,u/3),u/(u/1,u/2,u/3)和u/(u/1,u/2,u/3),4.对偶原理,由此可见连线、交点记号的含义：(ab)(a)(b)，()()(),对偶原理可概括为以下五点：1对偶元素在射影平面上，点与直线称为对偶元素2对偶关系“在上”与“通过”是对偶关系；“连结”与“相交”是对偶关系,7/不共点三直线与每两直线交点构成的图形称为三线形,7不共线三点与每两点连线构成的图形称为三点形,4.对偶原理,3对偶命题在一个命题中，将对偶元素互换，对偶关系也同时互换而得的新命题称为原命题的对偶命题若一命题与其对偶命题本质上相同，则称为自对偶命题4对偶图形将一图形的元素换成其对偶元素，关系换成对偶关系，而作出的新图形称为原图形的对偶图形若一图形与其对偶图形相同，则称之为自对偶图形5对偶原理在射影几何里，若一命题成立，则其对偶命题一定成立,4.对偶原理,如，三点形与三线形是自对偶图形Desargues定理与其逆定理是对偶命题，故因Desargues定理成立，其逆定理自然成立例1作出下列图形的对偶图形,(2),4.对偶原理,例2写出下列命题的对偶命题：(1)设一变动三点形，它的两边各通过一定点，而三顶点在共点的三条定直线上，则第三边也通过一定点；(2)设在两直线，/上各取三点a，b，c和a/，b/，c/，且都不是点/，则三交点(bc/)(b/c)，(ca/)(c/a)，(ab/)(a/b)共线解：(1)设一变动三线形，它的两顶点各在一定直线上，而三边通过共线的三个定点，则第三顶点也在一定直线上；(2)设过两点a，a/各取三直线，和/，/，/，且都不是直线aa/，则三连线(/)(/)，(/)(/)，(/)(/)共点,4.对偶原理,注意：1对偶原理是射影几何特有的，只适用于有关点与直线结合关系的命题；在度量几何和仿射几何中对偶原理不成立2我们的讨论仅限于二维射影平面，其理论虽可推广到三维射影空间，但有所不同：三维射影空间中，点与平面是对偶元素，直线是自对偶元素,4.对偶原理,3.重要对偶图形与命题一、一维基本形,线束定义过一定点的全体直线的集合称为线束，定点叫做线束的心,点列定义在一定直线上的全体点的集合称为点列，定直线叫做点列的底,4.对偶原理,因点列与线束均只依赖于一个独立参数，故是一维的，统称为一维基本形由点列的交比及调和共轭定义，可对偶地得到有关线束的相关定义，并可从点列的相关结论对偶地得到线束的相应结论,坐标式以定直线、为基线的线束的任意直线的坐标为()()()，、是齐次参数若采用非齐次参数，则为()()()，其中时表示直线,坐标式以定点a、b为基点的点列的任意点x的坐标为(x)