高等数学3PPT课件

Theclassisbegin!,你能画出这张美丽的图吗？,1.2拓广平面上的齐次坐标,上次课:,一、n维实向量类,二、齐次点坐标,RPn-1,(RPn-1)*,三、直线的齐次坐标方程,四、齐次线坐标,一维,二维,点坐标,线坐标,点与直线的齐次关联关系,五、非齐次线坐标,点与直线的非齐次关联关系,六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.51.9;1.51.9),(1).两点a,b重合,(1).两直线a,b重合,证：重合则a,b对应分量成比例，a,b为点，故秩为1.,证：与左边类似.,1.2拓广平面上的齐次坐标,(2).相异两点a,b连线方程为,(2).相异两直线a,b交点方程为,坐标为,1.2拓广平面上的齐次坐标,坐标为,利用齐次线性方程组的知识立刻可证.,六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.51.9;1.51.9),(3).相异三点a,b,c共线,(3).相异三直线a,b,c共点,(4).以相异两点a,b连线为底的点列中点的齐次坐标能且仅能表示为la+mb(l,m不全为零).,证：显然秩3，由相异得秩为2.,1.2拓广平面上的齐次坐标,(4).以相异两直线a,b交点为束心的线束中直线的齐次坐标能且仅能表示为la+mb(l,m不全为零).,六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.51.9;1.51.9),注,关于点列的参数表示,注,关于点列的参数表示,齐次参数表示,将(4)中的c=la+mb的形式称为以相异二点a,b为,基点的点列的齐次参数表示或双参数表示.,非齐次参数表示,令,则有,称为以a,b为基点,的非齐次参数表示或单参数表示.,拓广的实数集,并规定,对于,当,即,时，,于是，点列的非齐次参数表示给出了点列中的点(拓广直线上的点)到拓广的实数集之间的一个双射.,由于a,b都有无穷多组成比例的齐次坐标，因此对其齐次坐标的选取必须加以某种约束.由此将引出单位点概念.,1.2拓广平面上的齐次坐标,六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.51.9;1.51.9),例3,已知共线三点a=(3,1,1),b=(7,5,1),c=(6,4,1),求,使得,解,令,其中为非零比例常数.,可解得=3.于是，可适当选取a,b,c的齐次坐标，使得c=a+3b.,注,的存在是齐次性的体现.事实上，对于相异的共线三点a,b,c,必可适当选取这三点的齐次坐标，使得c=a+b.齐次参数表示中的l,m正是起这种作用的.而在非齐次参数表示下，我们不能保证a+b就是题中指定的c的特定齐次坐标，一般要差一个非零比例常数.,1.2拓广平面上的齐次坐标,六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.51.9;1.51.9),(5).相异三点a,b,c共线存在p,q,r(pqr0)使得,即可适当选取a,b,c的齐次坐标使得,注,上述共给出5对重要的基本结论.到第1.4节将会看到，这种结论成对出现的现象恰是射影几何中的一个重要规律.即对偶原则.,1.2拓广平面上的齐次坐标,六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.51.9;1.51.9),(5).相异三直线a,b,c共点存在p,q,r(pqr0)使得,即可适当选取a,b,c的齐次坐标使得,例4,关于教材P.17例1.4结论的解释.,(1).设a,b,c为平面上不共线三点.则平面上任一点d的齐次坐标可以表示为,(2).设a,b,c,d为平面上四点，其中任意三点不共线.则可适当选取这四点的齐次坐标，使得,或者,注,由此例,给定平面上不共线三点,可以表示平面上任意一点的坐标.,1.2拓广平面上的齐次坐标,六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.51.9;1.51.9),坐标三点形概念,关于坐标三点形,在拓广平面上任取定一个笛氏坐标系.记原点为A3,x轴上的无穷远点为A1,y轴上的无穷远点为A2,则A1(1,0,0),A2(0,1,0),A3(0,0,1)不共线.,1.2拓广平面上的齐次坐标,六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.51.9;1.51.9),考虑到齐次性,另取定点I(1,1,1),以规定当A1,A2,A3取不同齐次坐标时上式总表示同一点P(x1,x2,x3).即I规定了当A1,A2,A3取不同齐次坐标时必须满足下式,坐标三点形：A1A2A3；单位点：I；笛氏齐次坐标系：(A1A2A3|I).,平面上任一点P(x1,x2,x3)可表为,1.3射影平面,一、实射影平面(二维实射影空间),无定义基本元素：点，直线,约定1.2点与直线的关联关系,定义1.9设,P的元素称为点.,L的元素称为直线.,P与L的元素之间有一个关系称为关联关系,满足下列公理,公理P存在一对双射,对于任意的点PP和任意的直线lL,若,则P与l相关联u1x1+u2x2+u3x3=0.,则称为一个以P为点集,L为直线集的实射影平面(二维实射影空间),记作=(P,L).上述一对双射(,)称为上的一个射影坐标映射,分别称为点坐标映射;为线坐标映射.,1.3射影平面,一、实射影平面(二维实射影空间),注2定义1.9在叙述上不同于Hilbert公理系统,实际上隐含了承认实数公理等,我们仅尝试用代数的方法定义射影平面.,定理1.10在实射影平面上,方程,表示直线或点.当xi为流动变量而ui为常数时表示直线u1,u2,u3；反之表示点(x1,x2,x3).,注1上述集合P,L是一般的.其中元素称为点、直线,但是按照Hilbert的说法,完全可以是桌子、椅子、啤酒杯或其他的东西.而定义1.9则对=(P,L)给予了实射影空间结构.,由定理1.10,公理P中的线坐标映射可以由点坐标映射诱导.,1.3射影平面,二、实射影平面的模型,所谓模型(实现)是对一般集合P,L的元素赋予具体意义,使之满足定义1.9.教材上给出了一些模型.我们可以在任何模型上展开射影几何研究.,几何的模型：拓广平面用综合的方法研究射影几何.,代数的模型：算术平面：R=(RP2,(RP2)*)用代数法研究.,拓广平面,算术平面,坐标映射,实射影平面,对偶平面*,对偶映射,注：关于对偶映射,今后将会不断地阐述.,拓扑模型：实射影平面是亏格为0的不可定向的闭曲面,完全不同于欧氏平面(可定向的开曲面),是学习射影几何的实质性困难之根本来源之一，另一个困难就是用商空间给出坐标.,1.3射影平面,三、射影坐标变换,定义1.10在射影平面上取定四点A1(1,0,0),A2(0,1,0),A3(0,0,1),I(1,1,1),规定无论如何选取A1,A2,A3,I的齐次坐标,总成立下列关系式,(1.7),则称这四点为平面上的一个原始的射影坐标系,记作(A1A2A3|I).称A1A2A3为坐标三点形，I为单位点.点与直线在这坐标系下的坐标称为原始坐标.,注2:拓广平面上的笛氏齐次坐标系即为一个原始的射影坐标系.,注1:(1.7)式实际隐含着选取A1,A2,A3,I的齐次坐标时,满足,1.3射影平面,证明:只要证对平面上任意一点X,(PQR|E)可惟一确定其点坐标映射.设X的原始坐标为(x1*,x2*,x3*),则由线性代数知识以及式(1.8),存在惟一向量类(x1,x2,x3)RP2,满足,(1.9),于是(1.9)惟一确定了点X在射影坐标系(P,Q,R|E)下的一个齐次射影坐标(x1,x2,x3).,三、射影坐标变换,定理1.11在射影平面上任意取定四点P,Q,R,E,满足(1)P,Q,R,E中任何三点不共线;(2)选取这四点的原始坐标P(pi),Q(qi),R(ri),E(ei)使得,(1.8),则这四点构成一个射影坐标系(PQR|E).称PQR为坐标三点形,E为单位点.,注1,在(PQR|E)下,P,Q,R,E各有一组齐次坐标为P(1,0,0),Q(0,1,0),R(0,0,1),E(1,1,1).因此(PQR|E)也可作为原始坐标系.,注2,因为P,Q,R不共线，所以|piqiri|0,即(1.9)式为非奇异线性变换,称为两种射影坐标之间的射影坐标变换.,注3,在拓广平面上,笛氏齐次坐标是射影坐标的特例.从而在坐标变换意义下,1.2讨论的结论全部在射影坐标下成立,今后可不区分地使用笛氏齐次坐标或齐次射影坐标.,注4,(1.10),按坐标变换新、老坐标的书写习惯，(1.9)式改写为,这是传统的坐标变换的逆式，今后可直接使用.,1.3射影平面,三、射影坐标变换,1.3射影平面,四、实射影直线(一维实射影空间),仿定义1.9,定义实射影直线(一维实射影空间),并讨论其模型.,思考,定义1.11在射影直线上取定相异三点P,Q,E,选取其笛氏齐次坐标P(pi),Q(qi),E(ei)使得,则在射影直线上定义了以P,Q为基点,E为单位点的一个一维射影坐标系,记作(PQ|E).射影直线上任意一点X(x1,x2,x