数值分析7-4,5(牛顿法,弦截法)

7.4-7.5牛顿法及其推广、/*NewtonMethod*/、一、牛顿迭代法公式、二、牛顿迭代法的改进与推广、原理：推广非线性方程线性化泰勒/* Taylors expansion * /、x0x*、f(x* )为x0进行一次泰勒推广从(x*x0)2的高阶少量来看，一般有牛顿迭代法的方程式，线性/*linear*/、x0、每一步的迭代有f(xk ) 0，且x*为f的根。 牛顿迭代法的基本思想是将非线性方程式f(x)=0的求根问题归结为计算一系列线性方程式的求根问题。 牛顿迭代法的计算顺序是： (1)给出初始近似根x0和精度，(3)如果不是转向(4)，则输出满足转向(2)、(4)精度的根x1，并结束。 (2)用计算，例如牛顿反复法求方程式，x=0.5附近的根。 取解后，牛顿的重复方程式取初始值x0=0.5，重复结果如下表所示，因此，k 0123 xk0. 880000.8846880.8846750.884675，例2中计算的近似值，=10-6x0=0.88，解： x=，问题点为f(x )=x2-0.78265=0，变换为正根，根据牛顿反复式求出xk1=xk-(xk )/(xk )=xk/2.78265/2xk，反复结果满足精度要求，因此，设为“8784675”、fC2a，b，将x*设为f(x )为a， 若为b以上的根，且为f(x*)0，则存在x*的附近，Newtonsmethod发生的序列xk收敛于x*，并且满足，取任意的初始值，如果有Newtonsmethod，则有p2。 重根呈线性收敛。 Newtonsmethod实际上是一种特殊的不动点迭代，收敛后由泰勒展开：证明在单根/*simpleroot*/附近收敛较快。 注意： Newtonsmethod收敛性取决于x0的选择。x*、x0、注(1)牛顿方法要求初始值能够接近根，以确保局部收敛性。 (2)牛顿迭代法的主要优点是收敛快，平方收敛的缺点是公式需要f(x )的导数。 如果f(x )很复杂，使用牛顿式是非常不方便的。 的双曲馀弦值。重根/*multipleroot*/加速收敛法：对于问题1:Newtonsmethod收敛了吗？ 设x*为f的n重根，则Newtonsmethod实际上是特殊的不动点迭代，因此，其中，二是牛顿迭代法的改进和推进/* improvementandgeneralization * /并且K1:具有局部收敛性，但重量n越高则收敛性越高那么，问题2:如何加速重根收敛？ K2:将f的路由转换成另一种函数。 选择什么。 下山法/* descent method */ Newtonsmethod局部微调：原理：如果由xk得到的xk 1不能减小|f|，在xk和xk 1之间找到更好的点，注意：=1的时间为Newtonsmethod方式。=1如果赋值效果不好，则计算为一半。 的双曲馀弦值。 弦截距/*SecantMethod*/，Newtonsmethod必须计算f和f，相当于两个函数值，比较花费时间。 当前f的值接近f，因此函数值可以至少是一个。 切线/切线/切线/*切线/*secantline*/，切线坡度的切线坡度需要初始值x0和x1。 比Newtonsmethod收敛慢，对初始值的要求也一样高。 此外，弦截距方法称为单点迭代方法，因为与牛顿方法相比，同样是线性化方法，但是不同之处在于牛顿方法仅是计算xk 1时的上一步的值xk。 弦截距法在求xk 1时使用最初的2阶段的值xk和xk-1，因此该方法被称为多点反复法。 关于弦切割法的收敛速度，与牛顿法相比，弦切割法的收敛速度也快。 弦截距法具有超线性收敛速度，收敛次数如用弦截距法求方程式，证明为x=0.5附近的根。 取解时，将x0=0.5、x1=0.6作为初始近似根，该弦切片法反复式的反