数值积分方法

.第五章数值积分方法，计算，但在很多实际问题上，(1)原始函数存在，但不能用基本函数表示；(2)原始函数可以用基本函数表示，但结构复杂。(3)乘积函数没有表达式，只是函数表。问题是解决这种情况下积分问题的最有效的方法是数值积分法。方法采用一些离散点上积分函数的函数值，求出满足特定代数精度要求的有限积分近似。左端点矩形近似，数值积分的思考：分割，近似，求和，右端点矩形近似，有限整数几何意义：曲线梯形的面积，数值积分公式的一般形式：其中求积节点、求积系数、仅与求积节点相关、求积公式中的截断错误或剩馀项：5.1插值求积公式，想法，n次la grange插值多项式：设置节点已知函数的函数值，其馀，是插值数值积分公式，是使用插值函数(而不是乘积函数)导出的有限整数近似公式。如果n=1，则参数公式，第一，梯形公式，这是由线性插值函数而不是乘积函数导出的固定积分近似公式，称为梯形数值积分公式。几何意义，截断误差：已知线性插值的截断误差为积分平均值定理：连续，不变数值，n=2的求积公式，2，Simpson公式，a，b为二等分，等分节点x0=a，x1=(a b)/2，x2=b作为积分节点，以二次la grange插值多项式L2，是由称为辛普森数值积分公式的二次插值函数导出的有限积分近似计算公式。几何意义：Simpson积分公式的截断误差(清理):积分平均值清理：连续，不变数值，复合求积法一般将积分区间划分为多个子区间，并在每个子区间使用梯形积分公式Simpson积分公式等低阶求积公式，对所有子区间求和，得出整个区间a，b的积分公式。这种方法称为复合求法。5.2复合求积公式，5.2.1复合梯形积分将a，b除以各地块xi，xi 1的梯形积分公式，然后加上这些区域之间的数值积分，得出区间a，b的数值积分。这种方法称为复杂梯形积分。计算公式a，bn等分，h=Xi 1-Xi=(b-a)/n，Xi=a ih，I=0，1，2，n、记为T(h)或Tn(f):复合梯形公式的几何意义，小梯形区域的总和近似，复合梯形公式，复合梯形公式的剩馀，设定，中间值定理，剩馀估计式，计算公式a，b2m等分，M是积分子间距数，n=2m，n 1是节点总数，h=Xi 1-Xi=(b-a)/n，Xi=a ih，i=.n，5.2.2复合Simpson公式：复合Simpson公式，复合Simpson公式的几何意义，小抛物线积的总和，系数端点1，奇数点4，偶数点2，复杂Simpson公式的其馀部分，设置，中间值定理，剩馀估计，例如，复杂梯形公式，要使用复杂Simpson公式计算积分的近似值，复杂Simpson公式的计算必须不超过误差。解决方案：首先确定步骤，复合Simpson公式的剩馀项：这个问题的方法：可以通过归纳方法知道，求解不等式，将区间分为8等份，复合Simpson，梯形公式，复合梯形公式(n=8)，复合Simpson公式(n=4)，代数精度判别方法，求积公式对不大于m阶的所有多项式都是常数，对m一次多项式不正确成立，求积公式称为m阶，定理求积公式具有二次m代数精度的必要条件是时间求积公式正确成立，而时间求积公式不能是等式。，5.3数值积分公式的代数精度和高斯求积公式，范例2是p73的范例5.5，参见高斯求积公式，一，高斯积分问题的公式。在前面的求积公式中，求积节点是等距离节点，求积系数易于计算，但必须限制代数精度。为了提高代数精度，应适当选择求积节点：确定求积节点数后，无论这些求积节点的选择如何，求积公式的代数精度最多为多少？具有最大代数精度的求积公式中求积节点的选择方法？积分公式的一般格式：等插值求积式的代数精度最多不超过2n 1次。整理，通过这种方法，我们可以找