数值计算chapter2 非线性方程求根

。1.第二章：非线性方程的求根、排序和逼近。需要解决的问题：(1)根的存在方程是否有根，几个；从1到1000的1000个自然数中，谁能根据“大”、“小”和“对”的提示先猜出这个数呢？你能在10倍内猜出吗？二分法的广泛应用，3，综述：零点定理(根的存在定理)。如果函数y=f(x)在区间a，b上的像是一条连续曲线，并且f(a)f(b)0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)上有零点，即有c(a，b ),使得f(c)=0，这个c也是方程f(x)=0的根。嘿。4，1二分法，将函数设置为区间连续，也可以，否则，如果，如果，顺序，那么，顺序，对于根区间，取中点并将其分成两部分，首先，然后，其次，否则，一组连续收缩的根区间。其中每个根区间的长度是先前根区间的一半，并且在那时，上限为零，也就是说，这些区间最终必须收缩到一个点，这是期望的根。区间的中点形成一个序列，显然，在实际计算中，对于给定的根允许误差，只要能够确定满足精度要求的近似根，上述逼近非线性方程的实根的方法就叫做二分法。同时，我们也得到所需的二进制数k。嘿。6，解，这里，所以yes有一个根区间。下表显示了二分法的计算结果。(根的精确值可由下式获得)。如图所示，解是可以确定的，因此方程只有一个非零实根，用二分法计算的结果如下表所示：8，因此需要注意。9，例如，不是所有的根都可以找到，(即根泄漏是可能的)。例如，如图所示，不能用于查找具有多个根和复杂根的夫妇。它不能推广到求解多元方程。缺点：等比级数的收敛速度相同。1。收敛速度不是很快，只是与普通的比率，即线性收敛。迭代法、简单迭代法、迭代计算、一般形式(具体方法):数列的极限是方程的根。寻找方程近似根的方法叫做简单迭代法(逐次迭代法)。称为迭代公式或迭代过程，称为根的初始近似，称为根的K近似；称为迭代函数；称为迭代序列，其中：12，解将该方程转换成等价方程，并得到相应的迭代公式。如果取初始值，计算结果如下表所示。从表中可以看出，迭代序列是收敛的，13。如果取初始值，计算结果图像(MATLAB)。注意：方程的3个根，1.893289919630450，-0.94664459815225 0.82970355286240 I(复数)，-0.94664459815225-0.8297035286240 I(复数)。14、注意，显然，把方程改写成等价方程并不是唯一的，例如，在上面的例子中，原来的方程也可以改写成，这时，就可以看到相应的迭代公式。所获得的迭代序列趋于无穷大，即发散。2，迭代法的几何意义，15，16，2，简单迭代法收敛的充分条件，定理1，然后，17，证明，顺序，在上表面上也是连续的，并且如果方程在上表面上有两个实根，那么迭代方法的收敛性最后由拉格朗日定理证明，即，(在中间)，由条件(2)可知，这时，第一个证明方程有实根，18，(之间)，重复递归，有，2，2证明，3，然后从公式2，有，3证明，1证明，然后从拉格朗日定理，有，19，注，20，解，集合，显然，是可导的，并且有，是，并且因为，因此，它被加在上面的列表中，因此，定理条件在上面被满足，并且有，因此，有必要迭代7次。21，迭代点图，函数图，方程的解，1.32471795724475-0.66235897862237 0.56227951026230 I-0.66235897862237-0.56227951026230 I，22，定理2(迭代法的局部收敛定理)，证明，因为它是连续的，而且，取，显然，23，并且在那个时间，介于之间，这表明定理1的条件(2)在上面得到满足。Th，24，迭代点图，函数图，25，解，(1)构造一个迭代公式，方程的等价形式是，相应的迭代公式是，(2)判断迭代方法的收敛性，并且其中有实根，所以从定理2，迭代方法收敛。(3)列表的计算方法如下：26，那么，27，3牛顿迭代法，28，29，2，牛顿法的几何意义，30岁。31，这个定理没有被证明，它的几何意义是显而易见的，如图所示。32，33，解，相应的牛顿迭代过程是(k=0，1，2.)收敛，计算结果如下表所示：34的正根，解，阶，是，所以相应的牛顿迭代公式是，(k=0，1，2.)，这时，从定理4可知，初始近似值，即上述公式，就是需求。证明收敛性：取区间，是的，由迭代公式生成的序列必须收敛到平方根，35，解，因此，(k=0，1，2.)，36，例3用牛顿法求方程的实根，精确到解有唯一的实根。例如4，弦切法用于寻找根。区间方程的解。因此，相应的弦切法的迭代过程是为了获得的收敛阶和加速收敛法。40岁。41，4迭代方法。首先，收敛阶的概念、阶、定义，如果序列收敛到，那么该序列就称为p阶收敛。当称为线性收敛时；当时，它被称为超线性收敛。特别是，它当时被称为二次收敛或二次收敛。显然，收敛阶越高(即p越大)，收敛速度越快。因此，收敛性和阶数是衡量迭代法优劣的重要指标。定理5，证明，根据泰勒公式，有，(在和之间)，(在x和之间)，因此，从定理2可知，当初始近似足够接近时，就有。44，例1，简单迭代法和牛顿迭代法的收敛速度分析。解，(1)，简单迭代法，通过拉格朗日中值定理，有，(和之间)，(2)，牛顿迭代法，即有，通过牛顿迭代法的迭代函数，有，45，这再次表明牛顿迭代法在求解单根方程时至少是二阶收敛的。那么。46，这表明牛顿迭代法在直接求解多根方程时只有线性收敛速度。如果将方程改写成单根多根方程，可以证明弦截法的收敛速度为1.618。然而，单点弦截法的收敛速度是线性收敛的。48，设定为方程根的某种近似值，那么，从迭代公式来看，两个相邻迭代的迭代值是，从中值定理来看，存在，(在和之间，在和之间)，假设当x变化时几乎没有变化，那么，49，就有可能产生具有更快收敛速度的新序列。这种加速方法叫做艾特肯加速法。迭代方法采用Etken加速法，计算公式如下：(迭代)、(迭代)、(加速)。上述公式称为Etken算法。方程的等价形式是，相应的迭代公式是，下面是用Etken算法计算的：Etken算法是，计算结果列表如下：53，012，所以，54，解，下面我们分别使用：简单迭代