2020届安徽省安庆市高三第二次模拟考试数学(理)试题 PDF版

第页 1 绝密启封并使用完毕前 2020 年安庆市高三模拟考试（二模） 数学试题（理科） 第 I 卷 一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知集合01xxA，065 2 xxxB，则AB=I A. 1 1 ， B. 1 2 ， C. 1 3 ， D. 1 6 ， 2. 已知i为虚数单位，复数z满足 3 1 i2z，则下列判断正确的是 A. z的虚部为i B. 2z C. 2z z D. 2 2z 3. 设p： 2 0log1x，q：21 x ，则p是q成立的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4. 函数 1 sin )( 2 x xx xf的大致图象是 5. 等比数列 n a的前n项和为 n S.若 2 563 2aaa， 2 15 4 S，则 42 aa A. 2 3 B. 2 5 C. 32 D.40 6. 改革开放 40 多年来，城乡居民生活从解决温饱的物质需求为主逐渐转变到更多元化的精神追求，消费 结构明显优化.下图给出了 19832017 年部分年份我国农村居民人均生活消费支出与恩格尔系数 （恩格 第页 2 尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重）统计图. 对所列年份进行分析，则下列结论错误 的 是 A. 农村居民人均生活消费支出呈增长趋势 B. 农村居民人均食品支出总额呈增长趋势 C. 2011 年至 2015 年农村居民人均生活消费支出增长最快 D. 2015 年至 2017 年农村居民人均生活消费支出总额增长比率大于人均食品支出总额增长比率 7. 已知矩形ABCD，24ABAD，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起, 使 120AEB，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为 A. 5 2 B. 5 C. 10 D. 20 8. 已知函数xxf 2 sin2)(（0）的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移m（0m）个 单位，所得图象关于 3 x 对称，则实数m的最小值为 A 4 B 3 C 3 4 D 9. 今年（2020 年）是闰年. 如图所示是判断 20003000（包括 2000，但不包括 3000）年中哪些年份是闰 年的程序框图，那么由框图可知，在 20003000 年 中年份是闰年的个数是 A.241 B.242 C.243 D.244 10. 已知抛物线 2 :2C ypx（0p ）的焦点为F， 准线与x轴交于点K，过点K作圆 第页 3 2 2 2 24 pp xy 的切线，切点分别为A，B. 若3AB ，则p的值为 A. 1 B. 3 C. 2 D. 3 11. 棱长为 1 的正方体 1111 DCBAABCD中，QP，分别为BCDC, 11 的中点，现有下列结论： 1 /BDPQ；/PQ平面DDBB 11 ；PQ平面CAB1；四面 体PQBD 1 的体积等于 24 1 .其中正确的是 A. B. C. D. 12. 函数axxxf ln)(恰有两个零点 1 x， 2 x，且 1 x 2 x. 则 1 x所在区 间为 A. 3 e 1 , 0 B. 23 e 1 , e 1 C. e 1 , e 1 2 D. 1 , e 1 第卷第卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知向量(13)a = r ，1ba，a与ba的夹角为 60，则ba . 14. 等差数列 n a中， 111162 32aaaa， n S是其前 n 项和，则使 n S取最大值的n的值 为 . 15. 鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质. 如图，若点 C 为 线段 AB 的三等分点且2ACCB，分别以线段 AB，AC，BC 为直径且在 AB 同侧作半圆，则这三个半 圆周所围成的图形称为鞋匠刀形（即图中阴影部分）.现等可能地从以 AB 为直径的半圆内任取一点， 则该点落在鞋匠刀形内的概率为 . 16. 已知双曲线 22 22 :100 xy Cab ab ，的左、右焦点分别为 1 F， 2 F， 一条渐近线方程记为0(tanxy) 2 ， 直线l:tan 2 yx 与 双曲线C在第一象限内交于点P，若 2 OPPF，则双曲线C的离心率 为 . 三、 解答题： 共 70 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 第 1721 第页 4 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分. 17.（本小题满分 12 分） 在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 sin sinsin bcA acBC . （）求角B的大小； （）若ABC的周长等于15，面积等于15 3 4 ，求a，b，c的值 18.（本小题满分 12 分） 如图，在四面体ABCD中， E是线段AD的中点， o 90ABDBCD ， ABBD，BCDCEC （）证明：BDEC； （）求平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值 19.（本小题满分 12 分） 某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有 力措施保障居民正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的甲类物资的供应， 超市对社区居民户每天对甲 类物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图（如图）. （I）从小区超市某天购买甲类物资的居民户中任意选取 5 户. 若将频率视为概率，求至少有两户购买量在3，4） （单位：kg)的概率是多少？ 若抽取的 5 户中购买量在3，6（单位：kg)的户数为 2 户，从 5 户中选出 3 户进行生活情况调查， 记 3 户中需求量在3，6（单位：kg)的户数为，求的分布列和期望； （II）将某户某天购买甲类物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于 0.5kg 时，则将该居民户 称为“迫切需求户” ，若从小区某天购买甲类物资的居民户中随机抽取 10 户，且抽到 k 户为“迫切 需求户”的可能性最大，试求 k 的值. 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy E ab （0ab）的离心率为 1 2 ，F是E的右焦点，过点F的直线交E于点 11 ()A xy，和点 22 ()B xy，（ 12 0y y ） 当直线AB与x轴垂直时，3AB 第页 5 （）求椭圆E的方程； （）设直线:2l xa交x轴于点G，过点B作x轴的平行线交直线l于点C求证：直线AC过线 段FG的中点 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 2 1 ( )ln11 2 f xaxax（Ra）. （）讨论( )f x的单调性； （）当1a 时，对任意的 1 x， 2 0 x ，且 21 xx ，都有 21 21 1221 )()( xmx xx xfxxfx ，求 实数m的取值范围 （二）选考题：共 10分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修 44：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长 度单位.已知曲线C的极坐标方程为0sin4，直线l的参数方程为 1 2 3 1 2 xt yt （t为参数）. （）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （）若直线l与曲线C交于A，B两点，(0 1)M，且MBMA ，求 MBMA 11 的值 23. 选修 45：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知0a ，0b ，且. 1 22 ba ()若对于任意的正数a,b,不等式12 x 22 11 ba 恒成立，求实数x的取值范围； ()证明：1)( 11 ( 55 ba ba . ， 第页 6 20202020 年安庆市高三模拟考试（二模）年安庆市高三模拟考试（二模） 数学试题（理科）参考答案数学试题（理科）参考答案 第第 I 卷卷 二、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C A A B D D B C C C D 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分. 13.3. 14.16. 15. 4 9 . 16.51. 三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答. 第 22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17.（本小题满分 12 分） 解析： （）由 sin sinsin bcA acBC ，根据正弦定理得 222222 bca bcaacacbac acbc ， 根据余弦定理得 222 1 cos 22 acb B ac ，由0 B，所以 2 3 B . 5 分 （）由 1315 3 sin 244 ABC SacBac ，得15ac . 又15abc， 由（）知 22222 ()15(15)15bacacacb，所以7b ， 化简得8ac.得35ac，或者53ac，. 所以37,5abc，或者57,3abc，. 12 分 【考查目标】考查正弦定理、余弦定理和考生对面积公式的合理选用情况，考查考生的运算求解能力【考查目标】考查正弦定理、余弦定理和考生对面积公式的合理选用情况，考查考生的运算求解能力. 18.（本小题满分 12 分） 解析： （）取线段BD的中点F，连接EF，CF. 因为E是线段AD的中点，所以/ /EFAB又ABBD，所以EFBD 因为BCDC，F是BD的中点，所以CFBD 因为EF 平面ECF，CF 平面ECF，EFCFFI，所以BD 平面ECF，而CE 平面ECF， 所以BDEC 5 分 第页 7 （）令BCDCECa，则2ABBDa，那么 12 22 EFABa， 12 22 CFBDa，所以 2222 EFCFaEC，所以EFCF 又EFBD，CFBD， 故可以点F为原点， 射线FC、FD、 FE分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示则 2 00 2 Ba ， 2 00 2 Ca ， 2 00 2 Da ， 2 0 0 2 Ea ， 所以 22 0 22 BCaa uuu r ， 22 0 22 DCaa uuu r ， 22 0 22 ECaa uuu r ， 设平面BEC、平面DEC的法向量分别为 111 mxyz u r ， ， 222 nxyz r ， ， 由 0 0 m BC m EC u r uuu r u r uuu r ，得 11 11 22 0 22 22 0 22 axay axaz ，取 1 1 1 1 1 1 x y z ，则11 1m u r ， ，. 由 0 0 ECn DCn ，得 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 22 22 azax ayax ，取 1 1 1 1 1 1 x y z ，则1 1 1n r ，. 所以 222 1 1 1 1 1 11 cos 1113 m n m n m n u r r u r r u rr，. 故平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值为 1 3 . 12 分 解法二：令BCDCECa，由已知及（）得aEDBE ，所以 BCE，CDE均为棱长为a 的正三角形. 取CE中点G，则CEBG ,CEDG ，故BGD为二面角 DCEB的平面角，在BDG中，aDGBG 2 3 ， aBD2，由余弦定理可得： 第页 8 3 1 2 cos 222 DGBG BDDGBG BGD, 故平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值为 1 3 . 12 分 【考查目标】本题综合考查立体几何的基本知识、基本思想和基本方法，通过空间的直线与直线、直线与【考查目标】本题综合考查立体几何的基本知识、基本思想和基本方法，通过空间的直线与直线、直线与 平面、平面与平面的位置关系考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，通过二面角的概念及计算考查考平面、平面与平面的位置关系考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，通过二面角的概念及计算考查考 生的运算求解能力生的运算求解能力. 19.（本小题满分 12 分） 解析： （I）由题意，事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取 1 户，购买量在)43 ，”发生的概率 为 4 1 p. 1 分 记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取 5 户，则至少有两户购买量在)43 ，”为A，则 128 47 ) 4 1 1 () 4 1 1 ( 4 1 1 541 5 CAP）（ . 3 分 随机变量所有可能的取值为 0，1，2.则 2 3 3 5 3 0 10 C P C （）, 11 32 3 5 3 1 5 C C P C （）, 2 2 3 5 1 2 10 C P C （）, 0 1 2 ）（P 10 3 5 3 10 1 所以 5 4 10 1 2 5 3 1)(E 7 分 （II）每天对甲类物资的购买量平均值为5 . 315. 05 . 520. 05 . 425. 05 . 330. 05 . 210. 05 . 1 （kg） 8 分 则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为4，6，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户” 的概率为35. 0p，若从小区随机抽取 10 户，且抽到X户为“迫切需求户”，则)35. 0 ,10( BX，故 10, 1 , 0,)1 ()( 10 10 kppCkXP kkk ，若 k 户的可能性最大，则 ) 1()( ) 1()( kXPkXP kXPkXP ，得 kkkkkk kkkkkk CC CC 911 10 10 10 1111 10 10 10 )65. 0()35. 0()65. 0()35. 0( )65. 0()35. 0()65. 0()35. 0( ， 解得85. 385. 2k，由于 * Nk,故3k. 12 分 【考查目标】【考查目标】本题考查统计与概率的基础知识和基本思想方法、二项分布的知识和应用、样本估计总体的本题考查统计与概率的基础知识和基本思想方法、二项分布的知识和应用、样本估计总体的 第页 9 思想与方法、随机事件概率的计算以及随机变量期望的概率的计算与应用，考查考生应用所学的统计与概思想与方法、随机事件概率的计算以及随机变量期望的概率的计算与应用，考查考生应用所学的统计与概 率知识分析问题、解决问题的能力率知识分析问题、解决问题的能力. 20.（本小题满分 12 分） 解析： （）由 1 2 c e a ，得 1 2 ca，所以 22 3 2 baca 因为直线AB经过点F，且 12 0y y ， 当直线AB与x轴垂直时， 12 1 2 xxca，则ayy 4 3 21 ，且 21 yy， 所以ayAB 2 3 2 1 ，故3 2 3 a，得2a ，所以3b，1c 所以椭圆E的方程为 22 1 43 xy 4 分 （）由（）有直线4:xl，故)0 , 4(G，因为1 0F，则线段FG的中点为 5 0 2 ，. 当直线AB与x轴垂直时，1 21 xx，0 21 yy，且 2 3 21 yy， 故)1 ( 1 yA ，)1 ( 1 yB， 1 4yC， 这时直线AC的方程为1 14 11 1 x yy yy，即) 1( 3 2 11 xyyy 令0y ，得 5 2 x ，所以直线AC过线段FG的中点 当直线AB不与x轴垂直时，可设其方程为1yk x，代入 22 1 43 xy ， 整理得 2222 348430kxk xk 所以 2 12 2 8 34 k xx k ， 2 12 2 43 34 k x x k 因为 11 A xy， 22 B xy， 2 4Cy，所以直线AC的方程为 21 11 1 4 yy yxxy x 因为 11 1yk x， 22 1yk x， 所以 21 21 1111 11 55 1 4242 k xxyy xyxk x xx 第页 10 21 11 1 5 1 42 xx kxx x 21111 1 5 41 2 4 xxxxx k x 1212 1 5 4 2 4 xxx x k x 2 2 22 1 43 58 4 2 3434 4 k k kk k x 0 434 4343420 2 1 222 kx kkk k，这说明直线AC过点 5 0 2 ， 综上，可知直线AC过线段FG的中点 12 分【考查目标】本【考查目标】本 题主要考查椭圆的方程、离心率以及题主要考查椭圆的方程、离心率以及直线与椭圆的位置关系，考查数形结合的数学思想和考生的逻辑直线与椭圆的位置关系，考查数形结合的数学思想和考生的逻辑 思维能力与运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何问题的能力思维能力与运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何问题的能力. 21.（本小题满分 12 分） 解析：解析： （） 2 1 ( )1 axaa fxax xx （0 x ） （1）当1a时，( )0fx，( )f x在0 ，上单调递增； （2）当01a时， 1 11 ( ) aa axx aa fx x ， 所以当 1 a x a 时，( )0fx，当0 1 a x a 时，( )0fx， 所以( )f x在0 1 a a ，上单调递增，在 1 a a ，上单调递减； （3）当0a时，( )0fx，( )f x在0 ，上单调递减. 5 分 （）当1a 时，1ln)( 2 xxxf,不妨设 21 0 xx ，则 21 21 1221 )()( xmx xx xfxxfx 等价于 )( )()( 12 1 1 2 2 xxm x xf x xf ， 考察函数 x xf xg )( )(， 得 2 2 2ln )( x xx xg ， 令 2 2 2ln )( x xx xh ， 3 ln25 )( x x xh ， 则)e0( 2 5 ，x时，0)( xh，)e ( 2 5 ，x时，0)( xh， 所以)(xh在区间)e0( 2 5 ， 上是单调递增函数，在区间)e ( 2 5 ，上是单调递减函数.故01 e2 1 )e ( )( 5 2 5 gxg，所以)(xg在 第页 11 ), 0( 上单调递减. 从而)()( 21 xgxg，即 1 1 2 2 )()( x xf x xf ，故)( )()( 12 2 2 1 1 xxm x xf x xf ， 所以 2 2 2 1 1 1 )()( mx x xf mx x xf ，即 2211 )()(mxxgmxxg恒成立， 设mxxgx)()(，则)(x在), 0( 上恒为单调递减函数， 从而mxgx)( )( 0 恒成立！故mxgx)( )( m e 1 2 1 5 0， 故m 5 e2 1 1. 12 分 【考查目标】 本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想， 考查考生灵活运用导数工具分析问题、【考查目标】 本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想， 考查考生灵活运用导数工具分析问题、 解决问题的能力，综合考查考生的分类讨论思想以及逻辑推理能力、运算求解能力和推理论证能力解决问题的能力，综合考查考生的分类讨论思想以及逻辑推理能力、运算求解能力和推理论证能力. （二）选考题：共 10分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.解析：（）由直线l的参数方程消去参数t，得直线l的普通方程为13 xy， 2 分 将xcos，ysin代入0sin4得， 曲线C的直角坐标方程为04 2