线性系统理论--跟踪控制ppt课件

第六节跟踪控制,一问题提出考虑上述在参考信号和干扰的同时作用下系统，如果存在相应的控制律使得下式成立：就称该系统是无静差跟踪的。,系统的跟踪问题意味着要达到系统的渐近跟踪，又要抑制干扰，也就是说当干扰为零（不存在）时，对任意的参考信号都有：且当参考信号为零(不存在时)，对任意的扰动都有亦称为“跟踪问题中的干扰解耦”,一般情况下，无静差跟踪系统可以看作是一个具有补偿器的输出反馈系统镇定补偿器：使整个系统实现镇定伺服补偿器：实现渐近跟踪和扰动抑制,伺服补偿器通过在系统内部复制一个参考信号和扰动信号的不稳定信号模型，依靠该模型的不稳定特征根与跟踪信号和扰动信号的不稳定振型实现精确对消，从而达到完全的渐近跟踪和扰动抑制目的。通常把引入的这个不稳定信号模型称为内模，这种控制方法就称为内模原理。,内模原理的优点：控制结果对除了内模之外的受控系统和补偿器参数变化不敏感。即使控制系统或补偿器的参数出现摄动，哪怕是相当大的摄动，只要闭环系统仍然是渐近稳定的，那么此闭环系统仍具有无静差跟踪特性。但在上述跟踪控制系统中，内模的参数变化是不容许的，内模参数的任何摄动都会破坏它与参考信号和扰动信号不稳定振型的精确对消，从而破坏了渐近稳定和扰动抑制。,二不稳定信号模型的建立,通常情况下，参考信号和扰动信号可以看作是在未知初始条件下，有这样两个模型产生的：,在跟踪问题中只需考虑参考信号和扰动信号的不稳定振型，令表示这两个矩阵中不稳定特征根的根因式的最小公倍式，也就是所有不重合的根因式之积：为保证内模与参考、扰动信号不稳定振型的精确对消，可以由此导出两信号不趋近于零的那部分共同模型。,把它与受控系统串联，并把跟踪误差e作为输入信号，其模型可以写成：其中,三无静差跟踪控制,把信号模型作为内模与受控系统顺序串联，可以得到相应的闭环系统：再取状态反馈保证闭环系统是渐近稳定的，这样就实现了无静差跟踪的闭环控制。,无静差跟踪条件：,给定线性定常系统是无静差跟踪的充要条件是：输入维数m输出维数p对的每个特征根都有实际上这两个条件就等价于内模系统与受控系统相组合的串联系统是能控的,举例：给定受控系统参考信号，扰动信号为阶跃信号，求系统无静差跟踪的控制律,解：（1）建立内模：参考信号sin(2t)函数本身存在两种不稳定模态2j，扰动阶跃信号存在一种不稳定模态0，两信号不稳定模态的最小公倍式即为：于是导出参考、扰动信号的不稳定共有模型为：,（2）判断系统是否可以实现无静差跟踪条件满足，所以系统是可实现无静差跟踪的。,（3）求控制律首先写出受控系统与内模系统的串联组合系统方程：,受控系统满足无静差跟踪条件就等价于上述串联系统是能控的，只要取一反馈保证闭环系统是渐近稳定的，这样就实现了无静差跟踪的闭环控制。,根据镇定要求假使期望闭环极点为-1,-1,-2,-1+j,-1-j,则可以求出相应的反馈为：k107;kc4-30-4,四渐近跟踪问题定常参考信号的情况,考虑如下系统：其设计目标仍旧为扰动抑制的渐近跟踪，考虑参考信号y0(t)=y0为定常的情形。回忆经典控制理论中的伺服设计思想，为使系统做到零静态误差，常采用PI控制器，即对误差进行比例积分控制。由于PI控制器的积分作用，只要闭环系统稳定，且当参考信号和扰动信号为阶跃信号时，有误差e(t)0,将上述思想推广到多变量系统中，需要在误差向量的每个分量后面串联一个积分器，从而使稳态误差的每个分量均为零，因此在控制u中含有误差e(t)的积分项。记联立系统与上述方程可以得到增广系统：,对该增广系统采取状态控制律：相对于初始系统，这是一个广义的PI控制器，类似于单变量伺服控制系统。通过上述方法，将定常信号的跟踪控制问题转化为增广系统的状态反馈镇定问题，其控制方案是时变信号跟踪控制问题的特例，其中误差信号积分器记为内模系统。,上述问题是否有解？定理：假设A,B能控，则增广系统完全能控的充要条件是：通过求解增广系统的镇定问题，不仅可以实现原系统的输出对阶跃给定信号的跟踪，还可以同时实现系统的输出关于定常扰动信号的静态解藕，即当时间充分长后，系统的定常扰动信号对于系统输出无影响。,第七节模型参考控制系统分析,迄今为止，本书已经介绍了线性定常控制系统的设计方法。因为所有的物理对象在某种程度上均是非线性的，所以设计出的系统仅在一个有限的工作范围内才能得到满意的结果。如果取消对象方程是线性的这一假设，那么，到目前为止，不能应用本书介绍过设计方法。在这种情况下，本节讨论的对系统设计的模型参考方法可能是有用的。确定系统性能的一种有效的方法是利用一个模型，对给定的输入产生所希望的输出。模型不必是实际的硬件设备，可以是在计算机上模拟的数学模型。在模型参考控制系统中，将模型的输出和对象的输出进行比较，差值用来产生控制信号。,假设对象的状态方程为：希望控制系统紧随某一模型系统。设计的关键是综合出一个控制器，使得控制器总是产生一个信号，迫使对象的状态接近于模型的状态，系统结构如图所示。,假设模型参考系统是线性的：其中又假设A的所有特征值都有负实部，则该模型参考系统具有一个渐近稳定的平衡状态。令误差向量为在该问题中，希望通过一个合适的控制向量u，使得误差向量减小到零。即(1),现在设计一个控制器，使得在稳态时和或。因此，原点e=0是一个平衡状态。在综合控制向量u时，一个方便的出发点就是对式(1)给出的系统构造一个Lyapunov函数。假设Lyapunov函数的形式为式中的P是正定的Hermite或实对称矩阵。求V(e)对时间t的导数，可得,式中，是纯量。如果：1、是一个负定矩阵；2、控制向量u可选择得使纯量M为非正值于是，注意到当，有，要看出平衡状态e=0是大范围渐近稳定的。条件1总可通过选择适当的P而得到满足，因为A的所有特征值均假设具有负实部。因此，这里的问题就是选择一个合适的控制向量u，使得M或等于零，或为负值。举例说明如何使用该方法设计非线性控制器,例：考虑由下式描述的非线性时变系统式中a(t)是时变参数，b为正常数。设参考模型的方程为:试设计一个非线性控制器，使得系统能够稳定地工作。,解：定义误差向量为：Lyapunov函数为：式中P是正定实对称矩阵，参照上述推导，得：由参考模型方程确定矩阵A和B，并选择矩阵Q为可得：其中：,如果选择u使得：式中：(2)则采用由式(2)给出的控制函数u时，平衡状态e=0就是大范围渐近稳定的稳定的。因此，方程(2)确定了一个非线性控制律，它将保证系统渐近稳定地工作。注意，瞬态响应收敛的速度取决于矩阵P，矩阵P取决于设计开始阶段所取的矩阵Q。,第八节线性二次型最优控制问题（LQ）,本节将研究基于二次型性能指标的最优控制系统的设计。考虑如下的线性定常系统式中：在设计控制系统时，我们感兴趣的经常是选择向量u(t)，使得给定的性能指标达到极小。可以证明，当二次型性能指标的积分限由零变化到无穷大时，如,式中的L（x,u）是x和u的二次型函数或Hermite函数，将得到线性控制律，即这里，线性状态反馈矩阵。从而因此，基于二次型性能指标的最优控制系统和最优调节器系统的设计归结为确定矩阵K的各元素。采用二次型最优控制方法的一个优点是除了系统不可控的情况外，所设计的系统将是稳定的。在设计二次型性能指标为极小的控制系统时，需要解黎卡提方程。,考虑上述系统，若性能指标为式中，Q为正定（或正半定）Hermite或实对称矩阵，R为正定Hermite或实对称矩阵，u是无约束的向量。最优控制系统使性能指标达到极小，该系统是稳定的。解决此类问题有许多不同的方法，这里介绍一种基于李亚普夫诺夫第二法的解法。,优化问题的分类,从时间角度：有限时间LQ问题无限时间LQ问题工程应用角度调节问题：最优控制把系统由初态驱动到零平衡点，且性能指标为最小跟踪问题：最优控制使系统输出跟踪参考信号的同时，性能指标为最小。,基于Lyapunov第二法的控制系统最优化,从经典意义而言，首先设计出控制系统，再判断系统的稳定性；与此不同的是，该方法先用公式表示出稳定性条件，再在这些约束条件下设计系统。如果能用Lyapunov第二法作为最优控制器设计的基础，就能保证系统正常工作，也就是说，系统输出将能连续地朝所希望的状态转移。因此，设计出的系统具有固有稳定特性的结构（注意，如果系统是不可控制的，不能采用二次型最优控制）。对于一大类控制系统，在Lyapunov函数和用来综合最优控制系统的二次型性能指标之间可找到一个直接的关系式。下面我们将用Lyapunov方法来解简单情况下的最优化问题，该问题通称为参数最优化问题。,一。参数最优问题的Lyapunov第二法的解法,下面讨论Lyapunov函数和二次型性能指标之间的直接关系，并利用这种关系求解参数最优问题。考虑如下的线性系统式中，A的所有特征值均具有负实部，即原点是渐近稳定的（称矩阵A为稳定矩阵）。假设矩阵A包括一个（或几个）可调参数。要求下列性能指标达到极小，式中Q为正定（或正半定）Hermite或实对称矩阵。因而该问题变为确定几个可调参数值，使得性能指标达到极小。,在求解该问题时，利用Lyapunov函数是很有效的。假设式中，P是一个正定的Hermite或实对称矩阵，因此可得根据Lyapunov第二法可知，如果A是稳定矩阵，则对给定的Q，必存在一个P，使得因此，可由该方程确定P的各元素。,因此性能指标J可按下式计算。由于A的所有特征值均有负实部，可得。所以因而性能指标J可依据初始条件x(0)和P求得，而P与A和Q的关系取决于lyapunov方程。例如，如果欲调整系统的参数，使得性能指标J达到极小，则可对讨论中的参数，用取极小值来实现。由于是给定的初始条件，Q也是给定的，所以P是A的各元素的函数。因此求J为极小，将使得可调参数达到最优值。,例：研究如图所示的系统。确定阻尼0的值，使得系统在单位阶跃输入r(t)=1(t)作用下，性能指标达到极小。式中的e为误差信号，并且e=r-c。假设系统开始时是静止的。,应强调的是，参数最优值通常与初始条件x(0)有关。然而，如果只含一个不等于零的分量，例如x1(0)0，而其余的初始分量均等于零，那么参数最优值与x1(0)的数值无关,由图可知：根据误差e的形式可得：由于输入r(t)是单位阶跃函数，所以。因此，对于t0有定义如下变量为：误差状态方程为：,性能指标J可以写成其中由于A是稳定矩阵，所以参照上述推导过程可知，J的值为式中的P由下式确定,上述Lyapunov方程可以写为：该方程可以写出以下方程组：求解得：,于是性能指标J为将初始条件：，代入上式得：对使J为极小，可令，即因此，的最优值是。例如，若1，则的最优值为0.707。,二、二次型最优控制问题,现在我们来研究最优控制问题，系统方程为：确定最优控制向量使得性能指标达极小：式中Q是正定（或正半定）实对称矩阵，R是正定实对称矩阵。注意，性能指标右边的第二项是考虑到控制信号的能量损耗而引进的。矩阵Q和R确定了误差和能量损耗的相对重要性。在此，假设控制向量是不受约束的。,正如上面所讲的，若能确定矩阵K中的未知元素，使得性能指标达极小，则对任意初始状态x(0)而言均是最优的。该最优控制系统的结构方块图如下：将反馈控制代入系统中，得：,在以下推导过程中，假设(A-BK)是稳定矩阵。将控制律代入性能指标中有依照解参数最优化问题时的讨论，取式中的P是正定的Hermite或实对称矩阵。于是,比较上式两端，并注意到方程对任意x均应成立，这就要求(1)根据Lyapunov第二法可知，如果(A-BK)是稳定矩阵，则必存在一个满足上式的正定矩阵P。因此，该方法由上述Lyapunov方程确定P的各元素，并检验其是否为正定的（注意，这里可能不止一个矩阵P满足该方程。如果系统是稳定的，则总存在一个正定的矩阵P满足该方程。这就意味着，如果我们解此方程并能找到一个正定矩阵P，该系统就是稳定的。满足该方程的其他矩阵P不是正定的，必须丢弃）。,性能指标的计算为：由于假设A-BK的所有特征值均具有负实部，所以。因此(2)于是，性能指标J可根据初始条件x(0)和P求得。,为求二次型最优控制问题的解，可按下列步骤操作：由于所设的R是正定实对称矩阵，可将其写为式中T是非奇异矩阵。于是，Lyapunov方程可写为：求J对K的极小值，即求下式对K的极小值由于上面的表达式不为负值，所以只有当其为零，即当下式成立时才存在极小值。,上式给出了最优矩阵K。所以此时最优控制律是线性的，并由下式给出（3）上式中的矩阵P必需满足Lyapunov方程，即满足下述退化方程：（4）具体设计步骤如下：1、求解退化矩阵黎卡提式(4），以求出矩阵P。如果存在正定矩阵P（某些系统可能没有正定矩阵P），那么系统是稳定的，即矩阵是稳定矩阵。2、将矩阵P代入式(3），求得的矩阵K就是最优矩阵。,确定最优反馈增益矩阵K还有另一种方法，其设计步骤如下：1、由作为K的函数的式(1）中确定矩阵P。2、将矩阵P代入式(2）,于是性能指标成为K的一个函数。3、确定K的各元素，使得性能指标为极小。这可通过令等于零，并解出的最优值来实现J对K各元素为极小。,例：研究如下图所示系统，假设控制信号为：选择适当的反馈增益矩阵K，使得下列性能指标达到极小：,K,x1,x2,u,由结构图可以看出系统的方程为：应用退化矩阵黎卡提方程用于最佳控制系统设计，其中,化简得到以下三个方程：联立方程求解，并要求P为正定，则有：计算最佳反馈增益矩阵K在该反馈控制下，在给定性能指标下对任意初试状态都能得出最佳的结果。,三最优跟踪控制问题,考虑线性定常系统：系统完全能控能观测。假定跟踪信号为以下系统（完全能观）的输出：寻找最优，使得y跟踪，同时极小化：,方法：将跟踪问题转换为等价的调节问题定义增广状态和增广矩阵：即可转化为等价的调节问题：,利用已知结论：最优控制律：其中矩阵黎卡提方程为：最优性能值为：将分解为其中P在维数上与A相同。,则可以导出相对于P的黎卡提方程：最优控制为：最优性能值为：,矩阵黎卡提方程的求解,LQ控制问题的最关键为求解矩阵黎卡提方程一般情况，不可能找到由系数矩阵和加权矩阵直接表示的解阵解析表达式采用数值方法，利用计算机解黎卡提方程算法研究：直接数值解法，增量迭代法，舒尔向量法，特征向量法，符号函数法等等,第九节状态重构问题与Luenberger状态观测器,观测器分类全维观测器：观测器与系统维数相同降维观测器：观测器维数小于系统维数状态观测器：观测器输出渐近跟踪状态函数观测器：观测器输出渐近跟踪状态函数,一全维状态观测器的设计,考虑如下线性定常系统在下面有关状态观测器的讨论中，我们用表示被观测的状态向量。,利用系数矩阵(A,B,C)来对被估计系统进行直接复制，即可达到状态重构的目的。如果保证观测器的初始状态和输入与给定系统的完全相同，那么就可以实现在整个时间区域上的状态复制。这是一种完全的状态重构。一般来讲，这种开环型的观测器本身没有任何的实际价值。,上述开环型的观测器很难应用，主要缺点有：一要使用此观测器必须计算出系统的初始状态，并设置观测器的初始状态与给定系统相同；二是如果系数矩阵A中包含了不稳定特征根的话，那么即使观测器和给定系统的初始状态存在微小的差异，也会随着时间的增加而无限放大（误差方程为）。,引入一个修正项，这时就利用给定系统的输入和输出构成了反馈型观测器：观测器增益矩阵起到加权矩阵的作用。修正项监控状态变量。当此模型的初始状态与实际系统的初始状态之间存在差异时，该附加修正项将减小这些影响。,1.观测器的误差方程,将给定系统和观测器系统的状态方程进行相减得误差向量的动态特性由矩阵A-KeC的特征值决定。如果所选特征值使得误差向量的动态特性渐近稳定且足够快，则任意误差向量e(t)都将以足够快的速度趋近于零(原点)，此时称为x(t)的渐近估计或重构。,2.可观测条件,全维状态观测器的设计问题，是确定观测器增益矩阵Ke，使得误差动态方程以足够快的响应速度渐近稳定（渐近稳定性和误差动态方程的响应速度由矩阵A-KeC的特征值决定）。因此，全维观测器的设计就归结为如何确定适当的Ke，使得A-KeC具有期望的特征值。此时，全维状态观测器的设计问题实际上就变成了与极点配置相同的问题。,在设计全维状态观测器时，求解如下对偶系统的极点配置问题：如果对偶系统是状态完全能控的，则可确定状态反馈增益矩阵K，使得反馈闭环系统的系统矩阵得到一组期望的特征值：,注意到与观测器系统矩阵的特征多项式相比较，可找出Ke和K的关系为因此，观测器问题与极点配置问题具有对偶关系，即,观测条件：系统的状态观测器存在的充要条件是对偶系统完全能控或给定系统是完全能观测的。,3.全维状态观测器的B-G算法,能观标准型是将状态空间表达形式与系统特征根联系的最简形式，而任意给定的系统通常不具有能观标准型的形式，所以首先采用非奇异变换,把系统转化成标准型：,要想将此标准型对偶系统的极点配置到期望值所采用的增益矩阵为，即,因为上述观测器增益是针对初始状态空间x，而不是变换后的，所以需对上述增益矩阵要经过一次变换才可，即观测器的方程为,Luenberger曾经指出，当观测器期望极点的实部太负，使衰减太快，将导致观测器的作用接近于一个微分器，从而使频带加宽，不能避免地将高频噪声分量放大，而且也存在观测器的可实现性问题(因为衰减速度太快，则矩阵较大)，因此进行观测器本身的极点配置时，只需使观测器的期望极点比由此组成的闭环反馈系统的特征值稍大一些即可。一般地，选择的期望特征值，应使状态观测器的响应速度至少比所考虑的闭环系统快25倍。,注意，迄今为止，我们假设观测器中的矩阵A和B与实际系统中的严格相同。实际上，这做不到。因此，误差动态方程不可能由给出，这意味着误差不可能趋于零。因此，应尽量建立观测器的准确数学模型，以使相应的误差小到令人满意的程度。,4.求观测器增益矩阵Ke的直接代入法,与极点配置算法的情况类似，如果系统是低阶的(n=3)，可将矩阵Ke直接代入期望的特征多项式进行计算。例如，若x是一个3维向量，则观测器增益矩阵Ke可写为,将该Ke代入期望的特征多项式通过使上式两端s的同次幂系数相等，即可确定出Ke1、Ke2和Ke3的值。如果n=1,2或3，其中n是状态向量x的维数，则该方法十分简便（虽然该方法可应用于n=4,5,6,的情况，但计算有可能非常繁琐）。,5.最优Ke选择的注释,应当指出，作为对观测器动态方程修正的观测器增益矩阵Ke，通过反馈信号来考虑系统中的未知因素。如果含有明显的未知因素，那么利用矩阵Ke的反馈信号也应该比较大。然而另一方面，如果由于干扰和测量噪声使输出信号受到严重干扰，则输出y是不可靠的。因此，由矩阵Ke引起的反馈信号应该比较小。在决定矩阵时，应该仔细检查包含在输出y中的干扰和噪声的影响。,应强调的是观测器增益矩阵Ke依赖于期望的特征方程在许多情况中，1,2,n的选取不是唯一的。在设计状态观测器时，最好在几个不同的期望特征方程的基础上决定Ke。对不同的矩阵Ke必须进行仿真验证，以评估系统的最终性能。应从系统总体性能的观点来选取最好的。在许多实际问题中，最优矩阵的选取，归结为对快速响应及对干扰和噪声灵敏性之间的一种折衷。,例1考虑如下的线性定常系统,式中设计一个全维状态观测器，期望特征值为,由于状态观测器的设计实际上归结为确定一个合适的观测器增益矩阵Ke，为此先检验能观测性矩阵，即的秩为2。因此，该系统是完全能观测的，并且可确定期望的观测器增益矩阵。我们将用2种方法来求解该问题。,解方法1：,由于该状态空间表达式已是能观测标准形，因此变换矩阵Q=I。由于给定系统的特征方程为观测器的期望特征方程为,故观测器增益矩阵可求得如下则观测器方程为,方法2：直接代入法,定义则此时特征方程为,期望的特征方程为二者比较可得即无论采用什么方法，所得的都是相同的。,二降阶观测器的设计,全维观测器是重构所有的系统状态变量。实际上，有一些状态变量是可以准确量测的。对此类状态变量就不必估计了。假设状态向量x为n维向量，输出向量y为可量测的p维向量。如果rankCp，p个输出变量是状态变量的线性组合，所以p个状态变量就不必进行估计，只需估计n-p个状态变量即可，因此，该降维观测器为n-p维观测器，又称为最小阶观测器。,具有降阶观测器的观测-状态反馈控制系统,最小阶状态观测器的设计步骤：,Step1因为rankCp，说明可以用输出表征状态中的p个，通过坐标变换，使得新坐标下x1py1p，此时系统为n-p维系统（因为前p个状态可以用输出来表征）Step2在新坐标空间下，对n-p维系统进行全维观测器设计Step3最终写出观测器的状态和输出方程（注意，返回原来的坐标空间）,1.(n-p)维子系统动态方程的建立,设可观测被控系统动态方程为将状态x分解成两部分，其中是p个直接由输出测得的状态变量，为此引入非奇异变换,变换后系统动态方程为因此有,将变换后系统展开得：令则v可以看作是n-p维子系统的输入向量，z可以看作是n-p维子系统的输出向量，于是n-p维子系统（可观测)的状态方程为:,2.(n-p)维状态观测器的构成,与全维状态观测器的构成方法相同，首先构造(n-p)维子系统的观测系统，利用子系统与状态观测器输出之差，通过反馈增益矩阵Ke来任意配置降维观测器极点，使得观测器输出尽快逼近子系统的部分状态。结构图如下：,降维状态观测器方程为其中降维状态观测器的极点由下述特征方程决定,显而易见，在上述观测器方程中包含输出的导数项，从抗扰动性上是不希望的，为此引入中间变量从而达到消去输出导数的目的。为此可以得出观测器方程,可以看出，这是一个以u和y为输入的(n-p)维动态系统，其中的特征值是可以任意配置的。且的重构状态为,对于变换状态的重构状态为考虑到，所以相应的有进而可以确定出系统状态x的重构状态为,全维状态观测器与降维状态观测器的比较,结构：降维观测器只需(n-q)个积分器，远少于全维观测器抗扰动性：降维观测器中输出y直接通过增益矩阵Q1直接传递，若y中包含干扰，则全部出现在观测状态中，而全维观测器中，y经过积分滤波器后才传递，在观测状态中包含的干扰影响已经大为减小结论：工程应用中，采用何种观测器应视具体情况。,例2考虑如下的线性定常系统,式中试设计一个最小阶观测器（显然该最小阶观测器是二阶的），期望特征值为,解：从状态方程可以看出，此系统输出就等于第一个状态，即变换矩阵P为单位阵。1.构造2维子系统动态方程：令输入、输出变量为,于是可以导出2维子系统方程：2.构造2维观测器,期望特征方程为二者比较，可得观测器增益：,观测器方程为为消除观测器方程中的输出导数，定义,推出观测器状态方程：观测器输出方程：,对于题中给定的系统，可利用如下MATLABProgram5.2来确定最小阶状态观测器增益矩阵Ke，并用simulink来完成对整个带观测器系统的仿真。,仿真1：初值相同实际状态运动轨迹(x0=0):,仿真1：初值相同观测状态运动轨迹():,仿真1：初值相同实际输出运动轨迹:,仿真2：初值不同实际状态运动轨迹(x0=0):,仿真2：初值不同观测状态运动轨迹():,仿真2：初值不同实际输出运动轨迹:,三函数观测器,进行状态重构的目的是为了实现状态反馈，而状态观测器的最小维数是n-p为了进一步降低观测器维数，可以直接对状态函数Kx进行重构，称为函数观测器较之状态观测器，函数观测器在理论和计算上都较为复杂，只作概要性介绍,定义：,考虑如下线性定常系统以Kx为重构目标的函数观测器可取为：其中z为l维，矩阵维数该观测器输出w(t)渐进趋近于Kx(t)，即,函数观测器存在的充分必要条件：,F的全部特征根均具有负实部,说明：,由条件1，2成立可知：即：由条件3可知，从而有,再由条件4成立，则有由此可以看出当条件14满足时，函数观测器的输出w渐进趋近于观测函数Kx,问题1：,如何确定函数观测器的维数l如果所设计的Kx，（K1n）函数观测器，那么可以取l1，是能观测性指数当系统输出p维数较大时，一般1远小于n-p，即函数观测器的维数远小于最小阶状态观测器的维数。,问题2：,对于函数Kx，(Kmn)，函数观测器的最小维数常因具体问题不同而不同，情况较为复杂若rankK1，则引入LK，(1m)，对Lx，可以采用1维函数观测器来重构，而w(t)即为Kx(t)的渐进重构函数,四系统设计的分离性原理：观测器的引入对闭环系统的影响,在极点配置的设计过程中，假设真实状态x(t)可用于反馈。然而实际上，真实状态x(t)可能无法量测，所以必须设计一个观测器，并且将观测到的状态