课题学习-最短路径问题

13.4课题学习最短路径问题,R八年级上册,新课导入,导入课题,前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.同学们通过讨论下面两个问题，可以体会如何运用所学知识选择最短路径.,学习目标,学习重点,学习难点,（1）能利用轴对称变换解决实际问题.,路径极值问题的转换方法.,路径极值问题的说理证明.,（2）能利用作图解决生活中的轴对称问题.（作图建模）,推进新课,知识点1,将军饮马问题,问题1从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？,将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线,设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）,联想,如图所示，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？,两点之间，线段最短.,连接AB，与直线l相交于一点，这个交点即为所求.,如果我们能把点B移到l的另一侧B处，同时对直线l上的任意一点C，都保持CB与CB的长度相等，就可以把问题转化为上面的情况.,B,作出点B关于l的对称点B，利用轴对称的性质可以得到CB=CB.,连接AB，与直线l相交于点C则点C即为所求,B,C,证明：如图，在直线l上任取一点C（与点C不重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BCAC+BC=AC+BC=AB，AC+BC=AC+BC,在ABC中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即AC+BC最短,巩固练习,练习1如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.,解：如图，P点即为该点.,知识点2,造桥选址问题,如图所示，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）,当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？,由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.,将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移到点N，点A移到点A，则AA=MN，AM+NB=AN+NB.这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？,连接AB与b相交于N，N点即为所求.,巩固练习,练习2牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.,A,B,P,Q,.,.,.,.,随堂演练,基础巩固,1.作图在直线l上找一点C，使AC+BC最小.,.,.,A,B,(1),.,.,2.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.,解：如图AP+AB即为最短的放牧路线.,综合应用,3.如图，M、N分别是ABC的边AB、AC上的点，在边BC上求作一点P，使PMN的周长最小.,解：如图，作点M关于BC的对称点M，连接MN，交BC于点P，则PMN的周长最小.,拓展延伸,4.如图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PA-PB最大，请说明理由.,解：如图，作B点关于MN的对称点B，连接AB并延长，交MN于点P，点P即为所求.理由：点A，B，P在同一条直线上时，PA-PB最大，即PA-PB最大.,课堂小结,归纳,在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.,课后作业,1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。,教学反思,本课时教