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文档简介
3.2.3空间角的计算【学习目标】能用向量方法解决线线,线面,面面的夹角的计算问题【学习重点】空间线线,线面,面面的夹角的计算用【学习难点】将几何中相关的量转化为坐标形式【学习过程】一知识要点立体几何中角的计算是建立在弄清概念,恰当作图,严格论证的基础上的空间的角有三种:异面直线所成的角;直线和平面所成的角;二面角在学习了空间向量之后,我们可以用一种统一的模式来求以上各角1异面直线所成的角设 l1 与 l2 为异面直线, 与 分别为 l1 与 l2的方向向量,设l1 与 l2所成的角为,则有 2直线和平面所成的角设 为直线 l 的方向向量, 为平面的法向量,为 l 与平面 所成的角,则有,即3平面与平面所成的角设二面角 l 的两个半平面,的法向量分别是 ,二面角 l 的大小为 ,则有由于平面的法向量的选取的不同,有 = ,或 = 若可以确定二面角是锐角或钝角,则此二面角的大小可以唯一确定综上,空间角的问题最终都转化为求直线夹角的问题,这样可以避免一些复杂的作图和证明过程,但在应用时要注意对结果的处理二例题讲解DCBAD1C1B1A1PO3O2O1例1棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1的中点,O1,O2,O3分别是面A1B1C1D1,面BB1C1C ,面ABCD的中心求异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值DCBAD1C1B1A1例2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F是BC的中点,点E1在D1C1上,且D1E1= D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值变题:若将题中的条件“F是BC的中点”改为“CF = CB”呢?例3已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点,求:DCBAD1FEA1C1B1A1D与EF所成角的大小;A1F与平面B1EB所成角的大小;二面角C-D1B1-B的大小三课堂练习1设,分别是两条异面直线l1,l2 的方向向量,且cos = ,则异面直线l1,l2所成的角的大小为 2已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成的角的余弦值 3已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角为45,平面内一条直线和这条斜线在平面内的射影的夹角为45,则斜线和平面内的这条直线所成的角的大小为 四课堂小结1两条异面直线的所成的角等于两条直线的方向向量的夹角(或其补角)要注意两条异面直线所成角的范围是锐角或直角,而两条直线的方向向量所成的角的范围是0,求解过程中要注意结果的处理;2直线与平面所成的角等于直线与平面的法向量所成角的余角;3二面角的平面角的大小为等于两平面的法向量所成的角(或其补角)若以二面角内的一点为起点向两个平面引射线(平面的法向量),则两法向量所成的角与二面角的平面角互补;若以二面角外的一点为起点向两个平面引射线,则两法向量所成的角与二面角的平面角相等五课后作业1:1已知二面角l为60,异面直线a,b分别垂直于平面 ,则a,b所成的角的大小是 2在边长为a的正三角形ABC中,ADBC于D,沿AD折成二面角B-AD-C后,BC=a,这时二面角B-AD-C的大小为 3正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,A1D1的中点,则EF与面A1C1所成的角是 4已知锐二面角l的平面角是,m是平面内异于l的一条直线,则m与所成的角的范围是 5在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求A1B与A1B1CD平面所成角的大小求二面角B-PA-C的大小ABCDV6
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