江苏省丹阳市2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.3 空间角的计算（1）学案（无答案）苏教版选修2-1

3.2.3空间角的计算【学习目标】能用向量方法解决线线，线面，面面的夹角的计算问题【学习重点】空间线线，线面，面面的夹角的计算用【学习难点】将几何中相关的量转化为坐标形式【学习过程】一知识要点立体几何中角的计算是建立在弄清概念，恰当作图，严格论证的基础上的空间的角有三种：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角在学习了空间向量之后，我们可以用一种统一的模式来求以上各角1异面直线所成的角设 l1 与 l2 为异面直线， 与 分别为 l1 与 l2的方向向量，设l1 与 l2所成的角为，则有 2直线和平面所成的角设 为直线 l 的方向向量， 为平面的法向量，为 l 与平面 所成的角，则有，即3平面与平面所成的角设二面角 l 的两个半平面，的法向量分别是 ，二面角 l 的大小为 ，则有由于平面的法向量的选取的不同，有 = ，或 = 若可以确定二面角是锐角或钝角，则此二面角的大小可以唯一确定综上，空间角的问题最终都转化为求直线夹角的问题，这样可以避免一些复杂的作图和证明过程，但在应用时要注意对结果的处理二例题讲解DCBAD1C1B1A1PO3O2O1例1棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O1，O2，O3分别是面A1B1C1D1，面BB1C1C ，面ABCD的中心求异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值DCBAD1C1B1A1例2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，F是BC的中点，点E1在D1C1上，且D1E1= D1C1，试求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值变题:若将题中的条件“F是BC的中点”改为“CF = CB”呢?例3已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求：DCBAD1FEA1C1B1A1D与EF所成角的大小；A1F与平面B1EB所成角的大小；二面角C-D1B1-B的大小三课堂练习1设，分别是两条异面直线l1，l2 的方向向量，且cos = ，则异面直线l1，l2所成的角的大小为 2已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB的中点，则对角线DB1与CM所成的角的余弦值 3已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角为45，平面内一条直线和这条斜线在平面内的射影的夹角为45，则斜线和平面内的这条直线所成的角的大小为 四课堂小结1两条异面直线的所成的角等于两条直线的方向向量的夹角(或其补角)要注意两条异面直线所成角的范围是锐角或直角，而两条直线的方向向量所成的角的范围是0，求解过程中要注意结果的处理；2直线与平面所成的角等于直线与平面的法向量所成角的余角；3二面角的平面角的大小为等于两平面的法向量所成的角(或其补角)若以二面角内的一点为起点向两个平面引射线(平面的法向量)，则两法向量所成的角与二面角的平面角互补；若以二面角外的一点为起点向两个平面引射线，则两法向量所成的角与二面角的平面角相等五课后作业1：1已知二面角l为60，异面直线a，b分别垂直于平面 ，则a，b所成的角的大小是 2在边长为a的正三角形ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面角B-AD-C后，BC=a，这时二面角B-AD-C的大小为 3正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，则EF与面A1C1所成的角是 4已知锐二面角l的平面角是，m是平面内异于l的一条直线，则m与所成的角的范围是 5在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与A1B1CD平面所成角的大小求二面角B-PA-C的大小ABCDV6