第7章 弯曲变形.ppt

第7章弯曲变形,7-1梁的挠度与横截面转角,7-2梁的挠曲线近似微分方程,7-3用积分法计算梁的变形,7-5梁的刚度条件,7-4用叠加法计算梁的变形,7-6简单静不定梁,7-1,7-1梁的挠度与横截面转角,一、工程实例在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。,桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。,7-1梁的挠度与横截面转角,二、基本概念,挠曲线方程：,由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计,挠度转角关系为：,挠度y：截面形心在轴线方向的线位移。,向上为正,转角：横截面绕原位置转过的角位移。,逆针向为正,7-2,7-1梁的挠度与横截面转角,一、挠曲线的近似微分方程,推导弯曲正应力时，得到：,忽略剪力对变形的影响,7-2梁的挠曲线近似微分方程,力学公式,数学公式,以上两式消去，得：,小挠度情形下：,y,符号规定：,7-2梁的挠曲线近似微分方程,由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：,由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。,7-2梁的挠曲线近似微分方程,由挠曲线的近似微分方程,积分一次：,（转角方程）,积分二次：,（挠度方程）,式中C、D为积分常数，由梁的约束条件(边界和光滑连续条件）决定。,7-3用积分法计算梁的变形,悬臂梁：,梁的约束条件,简支梁：,7-3用积分法计算梁的变形,若B支座改为弹性支撑，则：,若B支座改为拉杆支撑，则：,7-3用积分法计算梁的变形,例7-1悬臂梁受力如图所示。求和。,取参考坐标系Axy。,解：,1、列出梁的弯矩方程,2、,积分一次：,积分二次：,（1）,（2）,7-3用积分法计算梁的变形,3、确定常数C、D.,由边界条件：,代入（1）得：,代入（2）得：,代入（1）（2）得：,7-3用积分法计算梁的变形,（与C比较知：）,（与D比较知：）,常数C表示起始截面的转角刚度(EI),因此,常数D表示起始截面的挠度刚度(EI),7-3用积分法计算梁的变形,7-3用积分法计算梁的变形,解:由对称性可知，梁的两个支反力为,此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为,梁的转角方程和挠曲线方程分别为,边界条件,时,在x=0和x=l处转角的绝对值相等且都是最大值，,最大转角和最大挠度分别为,在梁跨中点处有最大挠度值,7-3用积分法计算梁的变形,时,例7-3一简支梁受力如图所示。试求和。,解：,1、求支座反力,2、分段列出梁的弯矩方程,BC段,AC段,7-3用积分法计算梁的变形,BC段,AC段,3、确定常数,由边界条件：,（1）,（2）,由光滑连续条件：,（3）,（4）,可解得：,7-3用积分法计算梁的变形,则简支梁的转角方程和挠度方程为,BC段,AC段,4、求转角,代入得：,代入得：,7-3用积分法计算梁的变形,5、求。,求得的位置值x。,则由,解得：,7-3用积分法计算梁的变形,代入得：,若则：,在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外），可用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%。,7-3用积分法计算梁的变形,叠加法前提：,2、小变形,1、力与位移之间的线性关系,3、轴向位移忽略不计。,7-4用叠加法计算梁的变形,梁的变形微小,且梁在线弹性范围内工作时,梁在几项荷载(可以是集中力,集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。当每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿y轴方向),其转角是在同一平面内(如均在xy平面内)时,则叠加就是代数和。这就是叠加原理。,一、叠加原理,二、叠加法分类,1、载荷叠加,2、结构形式的叠加（逐段刚化法）,1、第一类叠加法,例7-4已知：q、l、EI，求：yC,B,多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。,7-4用叠加法计算梁的变形,7-4用叠加法计算梁的变形,7-4用叠加法计算梁的变形,7-4用叠加法计算梁的变形,例7-5怎样用叠加法确定C和yC?,7-4用叠加法计算梁的变形,7-4用叠加法计算梁的变形,7-4用叠加法计算梁的变形,7-4用叠加法计算梁的变形,2、第二类叠加法逐段刚化法,将梁的挠曲线分成几段，首先分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位移（挠度和转角），然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。,例7-6：,怎样用叠加法确定yC?,7-4用叠加法计算梁的变形,F,+,1）考虑AB段(BC段看作刚体),F作用在支座上，不产生变形。,Fa使AB梁产生向上凸的变形。,查表得：,则,7-4用叠加法计算梁的变形,2）考虑BC段(AB段看作刚体),所以,7-4用叠加法计算梁的变形,一、刚度条件,y许用挠度，许用转角,工程中，y常用梁的计算跨度l的若干分之一表示，例如：,对于桥式起重机梁：,对于一般用途的轴：,在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：,7-5梁的刚度条件,1、数学表达式,2、刚度条件的应用,(1)校核刚度,(2)设计截面尺寸,(3)求许可载荷,二、提高梁弯曲刚度的措施,梁的变形除了与载荷与梁的约束有关外，还取决于以下因素：,材料梁的变形与弹性模量E成反比；,截面梁的变形与截面的惯性矩成反比；,跨长梁的变形与跨长l的n次幂成正比。,7-5梁的刚度条件,(1)减小跨度，增加支座，或加固支座。,例如受q作用的简支梁：,方法：,增加支座：,7-5梁的刚度条件,加固支座：,(2)选用合理截面，。,常采用工字形、箱形截面，以提高惯性矩。与强度不同的是要提高全梁或大部分梁的惯性矩，才能使梁的变形有明显改善。,7-5梁的刚度条件,(3)合理安排载荷作用点，以降低。,方法：,使载荷尽量靠近支座，载荷大多数由支座承担。例如：,(4)其它：因钢的E基本相同，所以材料的杨氏模量对变形影响不大。,7-5梁的刚度条件,一、基本概念,1.超静定梁,单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁,称为超静定梁,7-6简单超静定梁,2.“多余”约束,多于维持其静力平衡所需的约束,3.“多余”反力,与“多余”约束相对应的支座反力,4.超静定次数,超静定梁的“多余”约束的数目就等于其超静定次数。,n=未知力的个数-独立平衡方程的数目,二、求解超静定梁的步骤,2、画静定基建立相当系统将可动绞链支座作看多余约束,解除多余约束代之以约束反力RB。得到原超静定梁的基本静定系。,3、列几何方程变形协调方程,超静定梁在多余约束处的约束条件，梁的变形协调条件,根据变形协调条件得变形几何方程：,变形几何方程为,7-6简单超静定梁,1、判断静不定梁的次数,3、列物理方程变形与力的关系,查表得,将力与变形的关系代入变形几何方程得补充方程,4、建立补充方程,7-6简单超静定梁,由该式解得,5、求解其它问题（反力、应力、变形等）,求出该梁固定端的两个支反力,7-6简单超静定梁,代以与其相应的多余反力偶mA得基本静定系。,变形相容条件为,请同学们自行完成！,方法二:,取支座A处阻止梁转动的约束为多余约束。,例题7-7梁AC如图所示，梁的A端用一钢杆AD与梁AC铰接，在梁受荷载作用前，杆AD内没有内力，已知梁和杆用同样的钢材制成，材料的弹性模量为E，钢梁横截面的惯性矩为I，拉杆横截面的面积为A，其余尺寸见图，试求钢杆AD内的拉力FN。,a,2a,A,B,C,q,2q,D,l,7-6简单超静定梁,A点的变形相