第14章结构动力学.ppt

第十四章结构动力学,14-1概述,14-2结构振动的自由度,14-3单自由度结构的自由振动,14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,14-6多自由度结构的自由振动,14-8振型分解法,14-9无限自由度结构的振动,14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,14-10计算频率的近似法,14-1概述,动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化，要考虑惯性力的影响。,动力荷载的种类,(1)周期荷载：随时间按一定规律变化的周期性荷载，如按正弦(或余弦)规律变化的称为简谐周期荷载，也称为振动荷载。,(2)冲击荷载：很快地把全部量值加于结构而作用时间很短即行消失的荷载。,(3)突加荷载：在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载。,14-1概述,(4)快速移动的荷载。高速移动的列车、汽车等。,(5)随机荷载：变化规律不能用确定的函数关系表示的荷载。如风的脉动作用、地震等。,结构振动的形式,(1)自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在振动过程中不再受外部干扰力作用。,(2)强迫振动：在振动过程中不断受外部干扰力作用。,14-2结构振动的自由度,结构振动的自由度：结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立参数的数目。,图a所示简支梁跨中固定一个重量较大的物体，如果梁本身的自重较小可略去，把重物简化为一个集中质点，得到图b所示的计算简图。,梁在振动中的自由度=1,单自由度结构具有一个自由度的结构。多自由度结构自由度大于1的结构。,14-2结构振动的自由度,图a所示结构有三个集中质点。,自由度=1,图b所示简支梁上有三个集中质量。,自由度=3,图c所示刚架有一个集中质点。,自由度=2,自由度的数目不完全取决于质点的数目,14-2结构振动的自由度,图d所示刚架上有四个集中质点，但只需要加三根链杆便可限制全部质点的位置。如图e。,自由度=3,图f所示梁，其分布质量集度为m，可看作有无穷多个mdx的集中质量，是无限自由度结构。,自由度的数目与结构是否静定或超静定无关,图a所示机器的块式基础，当机器运转时，若只考虑基础的垂直振动，可用弹簧表示地基的弹性，用一个集中质量代表基础的质量。使结构转化为图示的单自由度结构。,14-2结构振动的自由度,图b所示的水塔，顶部水池较重，塔身重量较轻，略去次要因素后，可简化为图示的直立悬臂梁在顶端支承集中质量的单自由度结构。,实际结构针对具体问题可以进行简化,14-3单自由度结构的自由振动,如图所示在跨中支承集中质量的简支梁，把质点m拉离原有的弹性平衡位置，然后突然放松，则质点将在原有平衡位置附近往复振动。在振动过程中不受外来干扰，这时的振动即是自由振动。,14-3单自由度结构的自由振动,图a所示为一个简单的质点弹簧模型。取重物的静力平衡位置为计算位移y的原点，规定位移y和质点所受的力都已向下为正。,(1)列动力平衡方程。取振动任一时刻的质点为隔离体如图b。,弹簧拉力(恢复力)Fe=k11y惯性力,质点处于动力平衡状态,命,可得,单自由度结构自由振动微分方程,1、不考虑阻尼时的自由振动,14-3单自由度结构的自由振动,(2)列位移方程。如图c。,质点m振动时，把惯性力FI看作是静力荷载作用在体系上，则质点处的位移为,对单自由度结构有,式(a)为一常系数线性齐次微分方程，其通解为,可得与(1)相同的结果,振动的初始条件为,则有,可得,(b),14-3单自由度结构的自由振动,式中y0初位移，初速度。,结构的自由振动由两部分组成：一部分是初位移y0引起的，为余弦规律；一部分是初速度引起的，为正弦规律。如图a、b。,14-3单自由度结构的自由振动,令,则有,式(b)可写为,(c),简谐振动如图c,a为振幅，表示质点的最大位移；为初相角。,周期,工程频率,角频率或频率,14-3单自由度结构的自由振动,g重力加速度；st重量mg所产生静力位移。,式(d)表明：随st的增大而减小，即把质点放在结构最大位移处，则可得到最低的自振频率和最大的振动周期。,例14-1当不考虑梁的自重时，比较图中所示三种支承情况的梁的自振周期。,14-3单自由度结构的自由振动,解：由式(d)可知，应先求结构在重量作用下的静力位移，有,代入式(d)可得,据此有,说明：随着结构刚度的增大，其自振频率也相应地增高。,14-3单自由度结构的自由振动,2、考虑阻尼作用时的自由振动,阻尼力的产生：外部介质的阻力，支承的摩擦等；物体内部的作用，材料分子之间的摩擦等。,粘滞阻尼力：阻尼力与其振动的速度成正比，与速度的方向相反。,称为阻尼系数,考虑阻尼力时，质点m的受力图如图所示,由动力平衡得,即,令,14-3单自由度结构的自由振动,线性常系数齐次微分方程,设其解为,代入式(f)得特征方程,两个根为,讨论,(1)k大阻尼情况：r1、r2是两个负实数，式(f)的通解为,是非周期函数，不会产生振动，结构偏离平衡位置后将缓慢回复到原有位置。,(3)k=临界阻尼情况：r1=r2=-k，式(f)的通解为,非周期函数，不发生振动。,此时阻尼比=1，k=m，可得临界阻尼系数,故有,阻尼比为阻尼系数与临界阻尼系数之比。,14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,强迫振动结构在外来干扰力作用下产生的振动。,如图所示，干扰力F(t)直接作用在质点m上，可得,即,微分方程(h)的解有两部分：一是相应齐次方程的通解y0，,二是与干扰力F(t)相应的特解,当干扰力为简谐荷载时：,为干扰力的频率F为干扰力的最大值,14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,振动方程(h)成为,(i),设式(i)的一个特解为,代入式(i)解出,将y0与特解合并，由初始条件,可得,(j),14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,由式(j)可知，振动由三部分组成：(1)由初始条件决定的自由振动；(2)伴随干扰力的作用发生的振动频率为，称为伴生自由振动；(3)按干扰力频率振动，称为纯强迫振动或稳态强迫振动如图。,前两部分振动很快衰减掉，最后只剩下纯强迫振动。,过渡阶段振动开始的一段时间内几种振动同时存在的阶段；平稳阶段纯强迫振动阶段。,14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,1、不考虑阻尼的纯强迫振动,此时=0，由式(j)的第三项可知纯强迫振动方程为,最大动力位移即振幅为,因,yst=F11：F作为静力荷载引起的静力位移,位移动力系数，最大动力位移与静力位移之比值。,14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,当时：为负，动力位移与动力荷载反向。,对单自由度结构，当干扰力与惯性力的作用点重合时，位移动力系数与内力动力系数是相同的，统称为动力系数。,随/而变化，当干扰力频率接近于结构的自振频率时，动力系数迅速增大；=时，理论上无穷大，此时内力和位移都将无限大共振。,14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,2、考虑阻尼的纯强迫振动,将式(j)的第三项写为,振幅,相位差,振幅A可写为,动力系数,14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,动力系数与/及的关系如图所示。,14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,讨论,(1)时，很小，质量近似于不动或作振幅很微小的颤动。结构的Fe、FR可以忽略，位移与荷载的相位差为180。,(3)时，增加很快，受阻尼的影响很大。当阻尼较小时，值很大，共振现象仍很危险。,工程设计中一般常取,14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,例14-2如图发电机的重量G=35kN，梁的I=8.810-5m4，E=210GPa，发电机转动时离心力的垂直分力幅值F=10kN。不考虑阻尼，试求当发电机转数为n=500r/min时，量的最大弯矩和挠度（不计梁的自重）。,解：在G作用下，梁中点的最大静位移为,自振频率为,干扰力频率为,求得动力系数,梁中点的最大弯矩,梁中点最大挠度,14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,图a所示简支梁，干扰力不作用在质点上。建立质点m的振动方程。,F=1作用在点1时使点1产生的位移为11，如图b。,F=1作用在点2时使点1产生的位移为12，如图c。,作用在质点m上的惯性力为,在惯性力FI和干扰力F(t)共同作用下，任一时刻质点m处的位移为,即,14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,瞬时冲量：荷载F(t)在极短的时间t0内给与振动物体的冲量,瞬时冲量作用下的振动问题,图a所示荷载大小为F，作用时间为t，其冲量I=Ft，即图中阴影部分的面积。,瞬时冲量作用下质点的动量增值为,由,可得,当质点获得初速度后冲量即时消失，质点在这种冲击下将产生自由振动。将初始条件代入式(g)可得瞬时冲量I作用下质点m的位移方程为,14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,若瞬时冲量不是在t=0而是在t=时加于质点上，其位移方程为,图b所示一般形式的干扰力F(t)可认为是一系列微小冲量F()d连续作用的结果，应此有,(k),不考虑阻尼=0，=则有,(m),式(k)及式(m)称为杜哈梅积分,14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,若在t=0质点原来还具有初始位移和初始速度，则质点位移为,若不考虑阻尼则有,(n),14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,（1）突加荷载。变化规律如图a所示。,设：加载前结构处于静止状态，将F()=F代入式(k)求得,其振动曲线如图b。,时最大动位移yd为,动力系数为,不考虑阻尼,14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,（2）短期荷载。变化规律如图所示。,当t=0时，有突加荷载加入并一直作用在结构上；当t=t0时，有一个大小相等方向相反的突加荷载加入。,利用（1）得到的突加荷载作用下的计算公式按叠加法求解：,自由振动,当t0T/2时，最大位移发生在前一阶段。,短期荷载的最大动力效应与突加荷载相同。,14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,14-6多自由度结构的自由振动,1、振动微分方程的建立,刚度法,图a所示无重量简支梁，略去梁的轴向变形和质点的转动，为n个自由度的结构。,加入附加链杆阻止所有质点的位移，如图b。,各质点的惯性力为,各链杆的反力为,14-6多自由度结构的自由振动,令各链杆发生与各质点实际位置相同的位移，如图c。,各链杆上所需施加的力为,不计阻尼，各链杆上的总反力应等于零。,以质点mi为例有,kii、kij为刚度系数其物理意义见图d、e。,可得i质点的动力平衡方程为,14-6多自由度结构的自由振动,对每个质点都列出一个动力平衡方程，于是可得,写成矩阵形式为,多自由度结构无阻尼自由振动微分方程,14-6多自由度结构的自由振动,简写为,式中：M为质量矩阵，在集中质点的结构中是对角矩阵；K为刚度矩阵，是对称矩阵；为加速度列向量；Y为位移列向量。,柔度法,将各质点的惯性力看作是静荷载如图a。,结构上任一质点mi处的位移应为,14-6多自由度结构的自由振动,ii、ij为柔度系数其物理意义见图b、c。,由此，可以建立n个位移方程,多自由度结构无阻尼自由振动微分方程,14-6多自由度结构的自由振动,写成矩阵形式为,简写为,为结构的柔度矩阵，是对称矩阵。,可推得,柔度矩阵与刚度矩阵是互为逆阵。,2、按柔度法求解,14-6多自由度结构的自由振动,设位移方程的特解为,代入位移方程可得,振幅方程,14-6多自由度结构的自由振动,写成矩阵形式,式中,振幅列向量,单位矩阵,要得到振幅不全为零的解答，振幅方程组的系数行列式为零。,频率方程,或写为,14-6多自由度结构的自由振动,将行列式展开含的n次代数方程，从而可得到n个自振频率1，2，n，将频率从小到大排列，分别称为第一，第二，第n频率。,将任一k代入特解得,此时各质点按同一频率k作同步简谐振动，各质点位移的比值为,任何时刻结构的振动都保持同一形状。,主振动多自由度结构按任一自振频率k进行的简谐振动。主振型相应的特定振动形式，简称振型。,14-6多自由度结构的自由振动,将k代回振幅方程得,可写为,系数行列式为零，n个方程中只有(n-1)个是独立的，不能确定各质点的幅值，但可确定其比值即振型。,14-6多自由度结构的自由振动,振型向量,设，即可求出其余各元素的值，此时振型称为标准化振型。,主振动的线性组合构成振动微分方程的一般解：,自振频率、振型：与结构的质量分布和柔度系数有关；反映了结构本身固有的动力特性。,14-6多自由度结构的自由振动,两个自由度结构的振幅方程为,频率方程为,令,解得,14-6多自由度结构的自由振动,可得两个自振频率,求第一阵型,将=1代入振幅方程可得,求第二阵型,将=2代入振幅方程可得,14-6多自由度结构的自由振动,例14-3试求图a所示等截面简支梁的自振频率并确定主振型。,解：自由度=2，由图b、c可得,求得,得到,14-6多自由度结构的自由振动,第一阵型,第二阵型,如图d，振型是正对称的。,如图e，振型是反对称的。,结构的刚度和质量分布是对称的，则其主振型是正对称的或反对称的。,取一半结构计算。,14-6多自由度结构的自由振动,例14-4图a所示刚架各杆EI都为常数，假设其质量集中于各结点处，m2=1.5m1。试确定其自振频率和相应的振型。,解：结构是对称的，其振型为正、反对称两种。由受弯直杆的假定，判定不可能发生正对称形式的振动，其振型只能是反对称的。可取图b所示一半结构计算。,超静定结构,14-6多自由度结构的自由振动,作超静定结构在F1=1和F2=1作用下的弯矩图，如图a、b。,取静定的基本结构作图，如图c、d。,计算得,14-6多自由度结构的自由振动,有,可得,第一阵型,第二阵型,反对称振动，质点同向振动,反对称振动，质点反向振动,14-6多自由度结构的自由振动,3、按刚度法求解,利用柔度矩阵与刚度矩阵互为逆阵的关系，通过变换可得,振幅方程,频率方程,由频率方程可解出n个自振频率，代回振幅方程得,确定相应的n个主振型,14-6多自由度结构的自由振动,两个自由度的结构频率方程为,展开,解得,两个主振型为,例14-5图a所示三层刚架横梁的刚度可视为无穷大，设刚架的质量集中在各层的横梁上。试确定其自振频率和主振型。,14-6多自由度结构的自由振动,解：刚架振动时各横梁只能水平移动，自由度=3，结构的刚度系数如图b、c、d。,14-6多自由度结构的自由振动,建立刚度矩阵为,质量矩阵为,14-6多自由度结构的自由振动,有,由频率方程得,展开,解得,自振频率,14-6多自由度结构的自由振动,确定主振型,将k=1即k=1=0.392代入振幅方程有,同理可求得,14-6多自由度结构的自由振动,第一、二、三振型分别如图a、b、c。,14-6多自由度结构的自由振动,4、主振型的正交性,n个自由度的结构有n个自振频率及n个主振型，每一频率及相应的主振型均满足振幅方程即：,分别设k=i，k=j，可得,两边左乘以,两边左乘以,则有,(1),(2),K、M均为对称矩阵，将式(2)两边转置有,(3),14-6多自由度结构的自由振动,将式(1)减去式(3)得,当ij时，ij，应有,对于质量矩阵M，不同频率的两个主振型是彼此正交的。,将此关系代入式(1)得,对于刚度矩阵K，不同频率的两个主振型是彼此正交的。,主振型的正交性是结构本身固有的特性，可以用来简化结构的动力计算，可用以检验所得主振型是否正确。,14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,平稳阶段的纯强迫振动,图(a)所示无重量简支梁，用柔度法建立振动微分方程。任一质点mi的位移yi为,式中,各动力荷载幅值在质点mi处引起的静力位移,对n个质点有,14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,写成矩阵形式,式中,荷载幅值引起的静力位移向量,纯强迫振动的解答为,为质点mi的振幅。,代入位移方程可得,振幅方程,14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,或写为,式中I是单位矩阵，Y0是振幅向量。求解此方程即得各质点在纯强迫振动中的振幅，从而得各质点的惯性力为,惯性力的最大值,结论：位移、惯性力、干扰力将同时达到最大值。,计算最大动力位移和内力时，可将惯性力、干扰力的幅值作为静力荷载加于结构上计算，如图b。,14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,将振幅方程改写为,可写为,最大惯性力向量,当=k(k=1,2,n)，振幅、惯性力、内力值均为无限大共振,14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,例14-6图a为一等截面刚架，已知m1=1kN，m2=0.5kN，F=5kN，每分钟振动300次，l=4m，EI=5103kNm2。试作刚架的最大动力弯矩图。,解：此对称刚架承受反对称荷载，可取图b所示半刚架计算。,三个自由度：m1的水平位移m2的水平位移m3的竖向位移,14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,m1的最大惯性力,m2沿水平、竖向最大惯性力,则有,(1),14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,求系数和自由项，作相应弯矩图如图cf。,由图乘法得,14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,集中质量的数值为,振动荷载的频率为,代入式(1)得,解得,由叠加法,最大动力弯矩图如图g。,14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,图a所示n个自由度的结构，当干扰力均作用在质点处时，可得动力平衡方程为,写成矩阵形式,若干扰力为同步简谐荷载,式中F=(F1F2Fn)T，为荷载幅值列向量。,14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,在平稳阶段各质点均按频率作同步简谐振动。,代入动力平衡方程整理得,求得各质点振幅值,各质点的惯性力为,可得,求得惯性力幅值,位移、惯性力、干扰力同时达到最大值，将FI、F(t)最大值作为静力荷载作用于结构，计算最大动力位移和内力。,14-8振型分解法,多自由度结构无阻尼强迫振动微分方程为,只有集中质量的结构，M为对角阵，K不是对角阵方程藕联,各质点的位移向量,几何坐标,坐标变换,结构标准化的主振型向量表示为,设,位移向量按主振型分解,展开,14-8振型分解法,简写为,把几何坐标Y变换成数目相同的另一组新坐标,正则坐标,主振型矩阵，几何坐标与正则坐标之间的转换矩阵,令,第i个主振型的广义质量,广义质量矩阵，对角矩阵,14-8振型分解法,广义刚度矩阵，对角矩阵,主对角线上的任一元素,利用振型正交性可得,令i=j，可得,或,与单自由度结构的频率公式相似,14-8振型分解法,设,有,广义荷载向量,相应第i个主振型的广义荷载,振动方程变换为,解除藕联，各自独立,14-8振型分解法,整理得,与单自由度结构无阻尼强迫振动方程形式相同。,初位移、初速度为零时，由杜哈梅积分求得,n个自由度结构的计算简化为n个单自由度计算问题,振型分解法（振型叠加法）：将位移Y分解为各主振型的叠加,14-8振型分解法,振型分解法计算步骤,(1)求自振频率和振型,(2)计算广义质量和广义荷载,(3)求解正则坐标的振动微分方程,(4)计算几何坐标,求出各质点位移计算其他动力反应。,与单自由度问题一样求解。,14-8振型分解法,例14-7图a所示结构在结点2处受有突加荷载作用，试求两结点的位移和梁的弯矩。,解：(1)结构的自振频率和振型(图b、c),(2)广义质量,14-8振型分解法,广义荷载,(3)求正则坐标,(4)求位移,14-8振型分解法,两质点位移图形状如图d。,14-8振型分解法,(5)求弯矩,两质点的惯性力为,由图e可求梁的动弯矩，如,14-9无限自由度结构的振动,图a所示具有均布质量的单跨梁，其振动时弹性曲线上任一点的位移y是横坐标x和时间t的函数：,设：梁的均布自重为q，单位长度的质量m=q/g，惯性力的集度为,取微段隔离体如图b。,由材料力学可得,14-9无限自由度结构的振动,如梁上承受均布简谐荷载psint，则梁的振动微分方程为,或,微分方程的解有两部分：相应齐次方程的一般解-梁的自由振动特解-梁的强迫振动,(1)梁的自由振动,微分方程为,设位移y为坐标位置函数F(x)和时间函数T(t)之积，即,代入微分方程有,14-9无限自由度结构的振动,上式可写为,左边为变量t的函数右边为变量x的函数,可设,得,方程(1)的解为,令,或,频率特征值,式(2)可写为,14-9无限自由度结构的振动,上式通解为,位移为,振幅曲线为,A、B、C、D待定任意常数,引入新的常量,代入yx式中有,克雷洛夫函数,14-9无限自由度结构的振动,克雷洛夫函数有如下关系,由这些关系可写出梁的挠度yx、角位移、弯矩和剪力的公式,(3),14-9无限自由度结构的振动,当x=0时，设,有,可得,全解为各特解的线性组合,(4),14-9无限自由度结构的振动,例14-8试求图a所示等截面梁的自振频率和振型。,解：由梁的边界条件，,由式(4)可得,系数行列式为零,展开,化简为,14-9无限自由度结构的振动,由双曲函数和三角函数的图形可估计出,试算法可求得前四个值为,相应的自振频率为,可求得,由式(4)可得,任意常数,14-9无限自由度结构的振动,M0为待定值,将k=k1，k2，分别代入yx可得出第一、第二、主振型曲线，其形状如图be。,14-9无限自