数字信号处理 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

.,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点7.2利用窗函数法设计FIR滤波器7.3利用频率采样法设计FIR滤波器7.4利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器7.5IIR和FIR数字滤波器的比较,.,7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条件及幅度特性以及零点、网络结构的特点。1.线性相位条件对于长度为N的h(n)，传输函数为,(7.1.1),(7.1.2),.,式中，Hg()称为幅度特性，()称为相位特性。注意，这里Hg()不同于|H(ej)|,Hg()为的实函数，可能取负值，而|H(ej)|总是正值。H(ej)线性相位是指()是的线性函数，即()=,为常数(7.1.3)如果()满足下式：()=0-,0是起始相位(7.1.4)严格地说，此时()不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即,.,也称这种情况为线性相位。一般称满足(7.1.3)式是第一类线性相位；满足(7.1.4)式为第二类线性相位。下面推导与证明满足第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即h(n)=h(N-n-1)(7.1.5)满足第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即h(n)=-h(N-n-1)(7.1.6),.,(1)第一类线性相位条件证明：,将(7.1.5)式代入上式得,令m=N-n-1,则有,(7.1.7),.,按照上式可以将H(z)表示为,将z=ej代入上式，得到：,按照(7.1.2)式，幅度函数Hg()和相位函数分别为,(7.1.8),(7.1.9),.,(2)第二类线性相位条件证明：,(7.1.10),令m=N-n-1,则有,同样可以表示为,.,因此，幅度函数和相位函数分别为,(7.1.11),(7.1.12),.,.,.,2.线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点1)h(n)=h(N-n-1),N=奇数按照(7.1.8)式，幅度函数Hg()为,式中，h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2。这样幅度函数表示为,.,令m=(N-1)/2-n,则有,(7.1.13),(7.1.14),式中,.,按照(7.1.13)式，由于式中cosn项对=0,2皆为偶对称，因此幅度特性的特点是对=0,2是偶对称的。2)h(n)=h(N-n-1),N=偶数推导情况和前面N=奇数相似，不同点是由于N=偶数，Hg()中没有单独项，相等的项合并成N/2项。,.,3)h(n)=-h(N-n-1),N=奇数将(7.1.11)式重写如下：,令m=N/2-n,则有,(7.1.15),(7.1.16),.,4)h(n)=-h(N-n-1),N=偶数类似上面3)情况，推导如下：,令m=(N-1)/2-n，则有,(7.1.17),(7.1.18),令m=N/2-n,则有,.,(7.1.19),(7.1.20),.,3.线性相位FIR滤波器零点分布特点第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足(7.1.7)式和(7.1.10)式，综合起来用下式表示：,(7.1.21),图7.1.1线性相位FIR滤波器零点分布,.,4.线性相位FIR滤波器网络结构设N为偶数，则有,令m=N-n-1,则有,.,(7.1.22),如果N为奇数，则将中间项h(N-1)/2单独列出，,(7.1.23),.,图7.1.2第一类线性相位网络结构,.,图7.1.3第二类线性相位网络结构,.,7.2利用窗函数法设计FIR滤波器,设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ej),hd(n)是与其对应的单位脉冲响应，因此,.,相应的单位取样响应h-d(n)为,(7.2.1),(7.2.2),为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将h-d(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。设截取的一段用h(n)表示，即h(n)=hd(n)RN(n)(7.2.3),.,我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n),长度为N，其系统函数为H(z)，,图7.2.1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗,.,以上就是用窗函数法设计FIR滤波器的思路。另外，我们知道Hd(ej)是一个以2为周期的函数，可以展为傅氏级数，即,对(7.2.3)式进行傅里叶变换，根据复卷积定理，得到：,(7.2.4),式中，Hd(ej)和RN(ej)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，即,(7.2.5),.,RN()称为矩形窗的幅度函数；将Ha(ej)写成下式：,按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd()为,将Hd(ej)和RN(ej)代入(7.2.4)式，得到：,.,将H(ej)写成下式：,(7.2.6),.,图7.2.2矩形窗对理想低通幅度特性的影响,.,通过以上分析可知，对hd(n)加矩形窗处理后，H()和原理想低通Hd()差别有以下两点：(1)在理想特性不连续点=c附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于RN()主瓣宽度，即4/N。(2)通带内增加了波动，最大的峰值在c-2/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在c+2/N处。在主瓣附近，按照(7.2.5)式，RN()可近似为,.,下面介绍几种常用的窗函数。设h(n)=hd(n)w(n)式中w(n)表示窗函数。1.矩形窗(RectangleWindow)wR(n)=RN(n)前面已分析过，按照(7.2.5)式，其频率响应为,.,2.三角形窗(BartlettWindow),(7.2.8),其频率响应为,(7.2.9),.,3.汉宁(Hanning)窗升余弦窗,当N1时，N-1N，,.,图7.2.3汉宁窗的幅度特性,.,4.哈明(Hamming)窗改进的升余弦窗,(7.2.11),其频域函数WHm(ej)为,其幅度函数WHm()为,当N1时，可近似表示为,.,5.布莱克曼(Blackman)窗,(7.2.13),其频域函数为,其幅度函数为,(7.2.14),.,图7.2.4常用的窗函数,.,图7.2.5常用窗函数的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗,.,图7.2.6理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5)(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗,.,6.凯塞贝塞尔窗(Kaiser-BaselWindow),式中,I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算：,.,一般I0(x)取1525项，便可以满足精度要求。参数可以控制窗的形状。一般加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为4|的点作为新的局部极值点，从而又得到一组新的交错点组。,.,图7.4.2雷米兹算法流程图,.,3.线性相位FIR滤波器的四种类型统一表示式在7.1节，我们已推导出线性相位的四种情况，它们的幅度特性H-g()分别如下式：,奇数,奇数,偶数,偶数,.,经过推导可把H-g()统一表示为Hg()=Q()P()(7.4.13)式中，P()是系数不同的余弦组合式，Q()是不同的常数，四种情况的Q()和P()如表7.4.1所示。,.,表7.4.1线性相位FIR滤波器四种情况,.,表中、和与原系数b(n)，c(n)和d(n)之间关系如下：,(7.4.14),.,(7.4.15),(7.4.16),.,将(7.4.13)式代入(7.4.3)式，得到:,(7.4.17),(7.4.18),.,图7.4.3利用切比雪夫逼近法设计线性相位FIR滤波器程序框图,.,图7.4.4利用切比雪夫逼近法设计的低通滤波器幅度特性,.,7.5IIR和FIR数字滤波器的比较,首先，从性能上来说，IIR滤波器传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方，因此