随机积分与Ito定理

第8章伊藤积分，第1节介绍，第2节伊藤积分理论，第3节伊藤积分的特点，第4节伊藤定理及其应用，第5节更复杂条件下的伊藤公式，介绍第一节伊藤积分的推导，用微分方程来描述其在物理现象中的模型，并从导数的定义出发建立微分方程。根据微分与积分的关系，可以建立相应的积分方程。然而，在随机环境中，由于不可预测的“信息”不断出现，并且表示现象动力学的方程是这些噪声的函数，因此不可能定义有效导数并建立微分方程。然而，在某些条件下，可以定义积分-伊藤积分来建立积分方程。对于上面讨论的随机微分方程，这些项只是近似的讨论，没有给出精确的解释。但是，如果定义了Ito积分，就可以更精确地依次讨论。如果我们用微分方程来表示资产价格的动态行为，我们可以取两边的积分吗，也就是说，方程右边第二项的积分是否有意义？为了解释这个积分的含义，必须介绍Ito积分，第一页，也就是说，一旦定义了Ito积分，上面的积分方程就是有意义的，也就是说，这里h是某个时间间隔。如果，那么上面的等式被重写为，也就是说，或者，这就是固定间隔的随机微分方程表达式，首页，这个表达式是一个近似表达式，它的精确公式是，2。Ito积分的重要性。首先，随机微分方程只能根据Ito积分方程来定义。要理解随机微分方程的真正含义，首先必须理解Ito积分。其次，在实际应用中，随机微分方程的近似值通常是在固定的时间间隔内得到的，然后通过Ito积分可以给出近似值的精确形式。Ito积分用于定义随机增量的总和，这些随机增量无法计算，也无法随时间预测。布朗运动，如果，标准布朗运动，Ito积分的定义，第一页，定义1，满足，和，如果均方极限存在，它被称为，第一页，注意，在定义中，和不能像通常的黎曼积分那样做，因为，也就是说，这里，取一个固定的左端点。定理1，第一页，定理2，然后，证明，顺序，然后，第一页，因为，0，第一页，例子1，解决方案，试图找到，因此，第一页，注意，伊藤随机积分不同于黎曼积分，第二，伊藤积分性质，性质1，然后，(1)，(2)，证明，类似于黎曼积分(略)，第一页，性质2，然后，证明，略，第一页，性质3，然后，关于t的存在性和连续性，证明第二积分作为伊藤积分存在。 和(1)此时，由公式(1)定义的随机过程被称为Ito随机微分，并被记录为，主页， 例2，寻找随机微分和解，这从例1中是已知的，也就是说，通过定义随机微分，主页，定理3，Ito公式，二次微分函数，然后，和，主页，例3，对于随机微分，解，集，因为，因此，第一页，从伊藤公式得到的定理4都是连续函数。如果随机过程有随机微分，那么，第一页，注，是复合函数的链微分规则在随机微分中的表达，即所谓的伊藤公式，第一页，第四，建立在伊藤积分和微分基础上的伊藤随机微分方程，称为伊藤随机微分方程。伊藤随机积分方程等价于伊藤随机微分方程，其中右边的第一个积分是均值积分，第二个积分是伊藤积分，主页，例4，考虑伊藤方程，取自伊藤公式，即因此，即注意，将被视为一个公共函数，那么解是，返回，主页，第三节伊藤积分是资产价格理论意义上的伊藤积分的特征，其中伊藤积分在信息集下是不可预测的，伊藤积分是鞅，区间内影响资产价格的不可预测干扰总量可以表示为鞅。对于在给定时间t设置的信息，如果每个增量都是不可预测的，那么这些增量之和I首先，假设伊藤积分在此时等价于黎曼积分，也就是说，有，那么积分就是鞅，首先，因为维纳过程的增量有0个均值并且是不相关的，因此积分是鞅，注意，当它是常数时，黎曼积分和伊藤积分是相同的并且是鞅，第一，第二，如果伊藤积分在此时不同于黎曼积分。伊藤积分将保持鞅性质，而黎曼将不再具有鞅性质。例如，如果衍生产品的基础资产具有几何分布及其方差，则可以证明伊藤积分不同于黎曼积分。用黎曼求和来粗略估计伊藤积分会导致自相矛盾，方法，具体过程如下：主页，3。一个例子，其中偏移率和方差率分别是，假设资产价格满足随机微分方程，即两个参数都与资产价格成比例，考虑一个小的时间间隔，积分随机微分方程，现在用黎曼求和来讨论上述公式右边的第二个积分的近似计算，看看会得到什么结果？黎曼求和的近似计算基于子区间中点处的维纳过程测量。首先计算，然后乘以矩形的底部，所以有，两个相关的项，考虑到下面上层随机微分方程的简单形式，其新的项形式是，主页，使用黎曼求和来粗略估计这样一个积分，它可以根据底部和高度是矩形的区域来获得。由于预期，这意味着上述公式右侧的条件预期不是0，即可预测的、主页、用黎曼求和来估计伊藤积分，意味着附加扰动项具有非零期望值，即由于伊藤积分的存在条件，即存在，那么伊藤积分的近似计算必然是，矛盾的，首页，注意，如果被积函数不是意外的，则不能保证用于构造Ito积分的部分和的均方值会收敛到一个有效的随机变量，即Ito积分根本不存在。(2)路径积分，看时期的资产价格0，t，区间长度是，split:还有，首页，假设一个金融分析师想要计算积分，而它的有限求和形式是采用一条特殊的路径，那么显然，路径积分不一定会在随机过程中收敛。如果你取符号函数，你就有，也就是说，路径积分不会在随机过程中收敛。注意，路径积分的含义是通过实际测量值而不是与路径积分相关的概率来计算的。另一方面，伊藤积分由均方收敛值计算，由随机方程确定。意想不到的重要性，由于可预测的符号，函数可以“看到未来”，那么求和公式的所有部分都是正的，当n增加时，它将发散。伊藤积分的存在条件是伊藤积分的均方差收敛到一个随机变量，称为伊藤积分。伊藤积分是一个随机过程，所以它有不同的量，主要量，即次要量，协方差，方差，收益率，第一页，第四节伊藤定理及其应用。在随机环境中，导数的概念并不存在。资产价格的变化被认为是不可预测的，并且连续时间的变化太不规则，导致资产价格可能是连续的但不平稳。计算时必须用随机微分代替导数。伊藤规则给出了随机微分的简化公式，并给出了详细的计算。在标准计算中，所有变量都是确定性的，并且可以有三种类型的导数：主页、典型例子：在计算套期保值参数时使用偏导数，假设市场参与者知道一种函数形式，1，然后是主页，因此，对于wiener过程来说，定义相对于时间的导数没有困难，但是需要知道的不是随时间的变化，而是它在固定时间下对微小变化的反应。完全差异化是指假设基础资产的时间和价格都发生变化而导致的变化。结果是随机分化。它代表时间间隔内衍生资产的价格变化，对市场交易者非常有用。在标准计算中，链导数通过一些链效应表示变量相对于初始变量的最终变化率。在随机计算中，链导数是指随机微分之间的关系，即全微分的随机形式。然而，总的差异与随机事件的实际发生率有关，两者是不同的。上面的公式给出了该对是非随机变量的情况。在第一页，伊藤定理的应用，伊藤公式可用于伊藤定理，或者，在第一页，显示一旦基础资产的随机微分方程已知，金融衍生产品的随机微分方程可通过使用伊藤公式获得，即衍生资产的价格变化可被知道。Ito定理可以用来得到信息集下的随机微分方程，其离差率和方差项是漂移率是常数，方差依赖于信息集。如果有，则此时得到信息集下的随机微分方程，其离差率和方差项为、主页、第一页，第一页，例5，通过Ito定理得到的积分的计算，解，定义，及其相应的积分方程，因此，第一页，注意，通过Ito定理计算Ito积分的步骤，1，2，3，对新得到的随机微分方程的两边进行积分处理，得到一个新的积分方程，并且方程中包含的积分的计算比原来的积分的计算简单。4.重新排列积分方程的项以获得最终结果。(2)伊藤定理在远期合同定价中的应用(补充内容)。现在以不分红股票为例，说明伊藤定理在远期合同领域的应用。假设每个时期的无风险利率r等于一个常数，并且远期价格用f表示，那么远期价格f和现货价格s之间的关系可以表示为，因此，如果股票价格s遵循几何布朗运动，并且预期收益和波动率分别为和，即，从Ito公式获得的远期价格f的随机过程是，则远期价格f像股票价格s一样，遵循几何布朗运动。然而，远期价格的预期增长率是，不是。主页，第三，积分形式和微分形式的伊藤定理，然后伊藤定理的另一个特点可以得到：两边取积分得到积分形式，这表明关于维纳过程和其他连续时间随机过程的积分是用时间的积分函数来表示的。伊藤公式在更复杂的条件下，首先是在某些条件下，函数可能不仅依赖于单个随机变量，因此多变量伊藤公式将被使用。有两种情况下不能直接使用Ito公式：第二种是考虑到金融市场受到小概率事件的影响，因此需要在随机微分方程中加入跳跃过程来确定资产价格，相应的Ito公式会有很大的变化。第一页、第一页、多变量情况被设置为受维纳过程影响的两个随机过程，其中，第一页、第一页是两个独立的维纳过程的增量结果，并且这个问题可以通过下面的伊藤定理的多变量形式来解决：因为，在单变量伊藤定理中，在均方意义上，相等的交叉项等于0。此外，如果在固定的区间内，在均方意义上存在a、a、a和a，则可以从中获得这些方程被代入上述公式以获得二元Ito公式a、a和a，示例1(金融导数)。收益率曲线在评估利率期权衍生产品的价值中起着非常重要的作用。利率期权模型之一是假设收益率曲线取决于两个状态变量，即短期利率和长期利率，那么利率衍生产品的价格可以表示为，假设利率遵循随机微分方程，其中长期和短期利率误差项是相关的，并且在固定的时间间隔h内，相关系数为，主页，市场参与者可以通过选择参数从这个方程中获得长期和短期利率的相关性和方差特征。在评估利率期权时，有必要知道期权价格对收益曲线的变化以及它将如何变化，即知道随机微分，即有多变量形式的Ito公式可用，假设市场有n种资产，财富是一个连续的随机过程，受相同随机变化的影响，总投资价格可用财富函数表示，财富随时间变化的增量可用Ito定理得到。伊藤公式和跳转，假设一个过程被观察到，它服从随机微分方程：其中，假设跳转有一个固定的时间间隔h:的零平均值，原因：任何可预测的跳转组件可以包括在漂移项，跳转过程假设如下：1，主页，2，跳转类型是随机和独立的。在这些条件下，漂移参数可视为两个离散漂移之和：连续运动的维纳过程部分，第二项是中间纯跳跃部分，跳跃过程具有两个随机性，跳跃的发生是一个随机事件，其