苏科版八年级数学上册勾股定理教案(2)

勾股定理 （2）教案1一、教学目的 1使学生掌握勾股定理及其证明。2通过讲解我国古代学者发现及应用勾股定理的成就，对学生进行受国主义教育、学习目的教育。 二、教学重点、难点 重点；勾股定理的证明和应用。 难点：勾股定理的证明。三、教学过程 引言:直角三角形三边之间有一种特别重要的关系，早在我国古代就引起人们的兴趣。我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。介绍商高答周公的勾三股四弦必五的故事。 人们还发现，在直角三角形中勾为6，股为8，弦必为10；勾为5，股为12，弦必为13，。而32+42=52，62+82=102，52+122=132，即勾2+股2=弦2。是否所有直角三角形都有这种性质呢？ 事实上，可以证明，对于所有的直角三角形的三边都有这种关系，此关系我国把它称为“勾股定理”，现在我们就来学习这个定理。新课勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。即a2+b2=c2。对于这个定理的证明可按教科书中所给的方法。根据教科书中的方法事先用硬纸片拼好图形1-104。 a b b a a a c a a b a c c b b c b b b c c a a b a b 图 1-104 （1）先让学生观察，拼成的两个正方形边长都是a+b，则面积相等。再看这两个正方形又由哪些三角形和正方形拼成的。（2）分别写出左、右两个正方形的面积：在边正方形是四个全等直角三角形与两个正方形组成，其面积为。右边的正方形是四个全等直角三角形与一个正方形组成，其面积为。（3）左、右两个正方形面积相等，即 ， 。（4）勾股定理的变形。今后在运用勾股定理时，根据需要可将其变形为：或，从而可知，在Rt中已知两边可求出第三边。向学生说明，这种证法是采用割补拼接（称拼图）的方法。在拼补过程中只要没有重叠、没有空隙，而面积不会改变，利用计算也可以证明几何命题，而且是一种常用的证明方法。勾股定理的证明方法很多，以后还会用其它方法来证明。我国发现勾股定理的时间比较早，在公元前一世纪周髀算经里记载着夏禹（公元前21世纪）和商高（公元前1120年）发现了这个定理。春秋时代（公元前6、7世纪）陈子也对这个定理作出了很大贡献，所以也叫陈子定理。又由于古书中记有“勾广三，股修四，径隅五”，因此这个定理就称为勾股定理。在西方最早发现这个定理的相传是公元五百多年古希腊数学家毕达哥拉斯，所以西方多称“毕达哥拉斯定理”，他们的发现比我国晚了好几百年。我们的祖先是勤劳智慧的！勾股定理是平面几何中一个十分重要的定理，它反映了直角三角形中三条边之间 的数量关系，在理论和实践中应用很广。课堂提问在RtABC中，C=Rt，（1）已知a=6，b=8，求c；（2）已知a=40，c=41，求b；（3）已知A=30，a=2，求b、c；（4）A=45，c=4，求a、b。讲解教科书P99例1。解题时注意书写格式。小结勾股定理是Rt的一个重要性质，利用它计算线段长度就非常方便。它不仅在数学上用处很广，所以务必掌握勾股定理。练习：教材P100中1，2。作业：教材P106中2，3，4。思考题：教材P109勾股定理的证明。四、教学注意问题1使学生理解利用拼图拼接（掌握原则不重不漏）也是证明几何命题的一种方法。2灵活运用勾股定理，掌握在Rt中已知两边求第三边的方法。教案2教学目标 1了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关的计算、作图和证明 2通过勾股定理的应用，培养方程的思想和逻辑推理能力3对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育教学重点与难点重点是勾股定理的应用；难点是勾股定理的证明及应用教学过程设计 一、激发兴趣引入课题 通过介绍我国数学家华罗庚的建议向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系，并说明勾股定理是我国古代数学家于2000年前就发现了的，激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感，引入课题 二、勾股定理的探索，证明过程及命名 1猜想结论 勾股定理叙述的内容是什么呢？请同学们也体验一下数学家发现新知识的乐趣. 教师用计算机演示： （1）在ABC中，A，B，C所对边分别为a，b和 c， ACB 90，使ABC运动起来，但始终保持ACB90，如拖动 A点或B点改变a ,b的长度来拖动AB边绕任一点旋转ACB等 （2）在以上过程中，始终测算a2，b2，c2，各取以上典型运动的某一两个状态的测算值（约78个）列成表格，让学生观察三个数之间有何数量关系，得出猜想（3）对比显示锐角三角形、钝角三角形的三边的平方不存在这种关系，因此它是直角三角形所特有的性质让学生用语言来叙述他的猜想，画图及写出已知、求证 2证明猜想目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有几百种，连美国第20届总统加菲尔德于1881年也提供了一面积证法（见课本第109页图（4），而我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很多种证明方法，下面咱们采纳其中一种（教师制作教具演示，见如图3151）来进行证明3勾股定理的命名 我国称这个结论为“勾股定理”，西方称它为“毕达哥拉斯定理”，为什么呢？ （1）介绍周髀算经中对勾股定理的记载； （2）介绍西方毕达哥拉斯于公元前582493时期发现了勾股定理； （3）对比以上事实对学生进行爱国主义教育，激励他们奋发向上 三、勾股定理的应用 1已知直角三角形任两边求第三边 例 1在 RtABC中，C 90，A，B，C所对边分别为a，b，c （1）a 6，b8求c及斜边上的高；（2）a40，c41,求 b；（3）b15 ，25求 a；(4)a:b3:4,c15,求b 说明：对于（1），让学生总结基本图形（图3153）中利用面积求斜边上高的基本方法；对于（4），引导学生利用方程的思想来解决问题 教师板书（1），（4）的规范过程，让学生练习（2），（3） 例2求图3152所示（单位mm）矩形零件上两孔中心A和B的距离（精确到0lmm） 教师就如何根据图纸上尺寸寻找直角三角形ABC中的已知条件，出示投影 练习 1投影显示： （1）在等腰 RtABC中， C90， AC:BC:AB_； （2）如图 3 153 ACB 90，A= 30，则BC:AC:AB_；若AB8,则AC_；又若CDAB，则CD=_. （3）等边出ABC的边长为 a，则高AD_，S ABC_ 说明： （1）学会利用方程的思想来解决问题 （2）通过此题让学生总结并熟悉几个基本图形中的常用结论： 等腰直角三角形三边比为1:1:； 含30角的直角三角形三边之比为1:2；边长为a的等边三角形的高为a，面积为 （板书）例 3如图 3154， ABAC20， BC32，DAC 90求 BD的长 分析： （1）分解基本图形，图中有等腰ABC和RtADC； （2）添辅助线等腰ABC底边上的高AE，同时它也是RtADC斜边上的高； （3）设BD为X利用图3153中的基本关系，通过列方程来解决教师板书详细过程解 作AEBC于E设BD为x,则DE=16-x,AE2=AC2-EC2.又AD2=DE2+AE2=DC2-AC2，将上式代入，得DE2+AC2-EC2=DC2-AC2，即2AC2=DC2+EC2-DE22202=（32-x）2+162-(16-x)2,解得x=7.2利用勾股定理作图例4 作长为的线段说明：按课本第101页分析作图即可，强调构造直角三角形的方法以及自己规定单位长3利用勾股定理证明例5 如图3-155，ABC中，CDAB于D，ACBC.求证：AC2-BC2=AD2-BD2=AB（AD-BD）分析：（1） 分解出直角三角形使用勾股定理RtACD中，AC2=AD2+CD2；RtBCD中，BC2=CD2+BD2（2） 利用代数中的恒等变形技巧进行整理：AC2-BC2=（AD2+CD2）-（CD2+BD2）=AD2-BD2（AD+BD）（AD-BD）AB（AD-BD）例6 已知：如图3-156，RtABC,ACB=90,D为BC中点，DEAB于E，求证：AC2=AE2-BE2分析：添加辅助线连结AD，构造出两个新直角三角形，选择与结论有关的勾股定理和表达式进行证明4供选用例题（1） 如图3-157，在RtABC中 ,C=90，A=15，BC=1求ABC的面积提示：添加辅助线BA的中垂线DE交BA于D，交AC于E，连结BE，构造出含30角的直角三角形BCE，同时利用勾股定理解决，或直接在ABC内作ABE=15，交CA边于E（2） 如图3-158，ABC中，A=45，B=30，BC=8求AC边的长分析：添加辅助线作CDAB于D，构造含45，30角的直角三角形列方程解决问题（3）如图3-159（a），在四边形ABCD中，B=D=90，C=60，AD=1，BC=2，求AB，CD提示：添加辅助线延长BA，CD交于E，构造30角的RtEAD,RtEBC.利用它们的性质来解决问题（见图3-159（b）.或将四边形ABCD分割成含30的直角三解形及矩形来解决问题（见图3-159（c）答案：AB=23-2，CD=4-3（4）已知：3-160（a）,矩形ABCD（四个角是直角）为矩形内一点，求证PA PC2 PB2 PD2 探索P运动到AD边上（图3160（b）、矩形ABCD外(图3160（C）时，结论是否仍然成立 分析： （1）添加辅助线过P作EFBC交AD干E，交BC于F在四个直角三角形中分别使用勾股定理 （2）可将三个题归纳成一个命题如下： 矩形所在平面上任一点到不相邻顶点的距离的平方和相等 四、师生共同回忆小结 1勾股定理的内容及证明方法 2勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征（一角为90）转化为数量关系，即三边满足a2+b2=c2. 3利用勾股定理进行有关计算和证明时，要注意利用方程的思想求直角三角形有关线段长；利用添加辅助线的方法构造直角三角形使用勾股定理 五、作业1 课本第106页第28题2阅读课本第109页的读一读：勾股定理的证明 课堂教学设计说明 本教学设计需2课时完成 1勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形的一个重要性质本教学设计利用计算机（几何画板软件动态显示）的优越条件，提供足够充分的典型材料形状大小、位置发生变化的各种直角三角形，让学生观察分析，归纳概括，探索出直角三角形三边之间的关系式，并通过与锐角、钝角三角形的对比，强调直角三角形的这个特有性质，体现了启发学生独立分析问题、发现问题