2011年高考数学一轮精品复习课件第9章《算法推理与证明复数》复数

学案4复数,返回目录,一.复数的有关概念1.（1）若i为虚数单位，规定i2=;实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算律仍然成立.（2）形如a+bi(a,bR)的数叫做复数，a,b分别叫做复数的.若b=0,则复数a+bi为；若b0，则复数a+bi为；,-1,实部、虚部,实数,虚数,考点分析,返回目录,（3）若a,b,c,dR，则a+bi=c+di的充要条件是.（4）若a,b,c,dR，则a+bi与c+di为共轭复数的充要条件是.2.（1）建立直角坐标系来表示复数的平面叫，叫做实轴，叫做虚轴.（2）复数z=a+bi(a,bR)与复平面内的点建立了关系.,一一对应,a=c且b=d,a=c且b=-d,复平面,x轴,y轴,若b0，且a=0时，则复数a+bi为.,纯虚数,返回目录,二.复数的运算：1.运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).（1）z1z2=(a+bi)(c+di)=.（2）z1z2=(a+bi)(c+di)=.（3）=.,(ac)+(bd)i,(ac-bd)+(ad+bc)i,（4）zmzn=,(zm)n=,(z1z2)n=（其中m,nZ）;,zmn,返回目录,（5）=(a+bi)n=;（6）求a+bi的平方根.x2-y2=a,2.常见的运算规律（1）i的周期性：i4n+1=,i4n+2=,i4n+3=,i4n=(nZ);（2）(a+bi)(a-bi)=;（3）（1i）2=；,求出x,y.,设(x+yi)2=a+bi，由,2xy=b,i,-1,-i,1,a2+b2,2i,（4）=,=;（5）=;（6）b-ai=(a+bi)(-i),-b+ai=(a+bi)i.,返回目录,i,i,-i,返回目录,复数z=+(m2-2m-15)i，求实数m，使得（1）z是实数；（2）z是纯虚数；（3）z所对应的点在复平面的第二象限；（4）z是复数.,考点一复数的基本概念,【分析】根据复数的有关概念的定义，把此复数的实部与虚部分离开，转化为实部与虚部分别满足定义的条件这一实数问题去求解.,题型分析,返回目录,【解析】实部为=,虚部为m2-2m-15=(m+3)(m-5).(m+3)(m-5)=0m+30，m=-3或m=5m-3.当m=5时，z是实数.,(1)要使z为实数，则,即,返回目录,=0(m+3)(m-5)0,m=-2或m=3m-3且m5,当m=-2或m=3时，z是纯虚数.,（2）要使z为纯虚数，则,即,（3）由复数z所对应的点在复平面上第二象限的充要条件知0,m5或m-3.当m-3时，z所对应的点在第二象限.R(m+3)(m-5)R,当m-3时，z为复数.,返回目录,即,m0m2-2m-80得-2m1或20,m=.),返回目录,考点四复数代数形式的运算,计算：（1）（2）1+in+i2n+i2000n(nN).,【分析】（1）利用(1i)2=2i这一特点进行运算;（2）利用in的周期性计算.,返回目录,【解析】（1）原式=（2）当n=4k(kN)时，原式=1+1+1=2001；当n4k(kN)时，原式=,2001个,【评析】（1）在计算过程中常出现一些比较有特点的式子.如（1i）2=2i,等，要抓住这一特点快速运算.(2)in的运算具有周期性.,返回目录,已知z=1+i.（1）设=z2+3z-4,求；（2）如果，求实数a，b的值.,返回目录,对应演练,（1）z=1+i,=z2+3z-4=(1+i)2+3(1+i)-4=-1-i.（2）由，把z=1+i代入得(a+b)+(a+2)i=(1-i)i=1+i.a+2=1a=-1a+b=1b=2.,返回目录,得,考点五复数代数形式的综合运用,设z是虚数，=z+是实数，且-12.(1)求z的实部的取值范围；(2)设u=，求证：u是纯虚数；(3)求-u2的最小值.,【分析】本题涉及复数的概念、复数与不等式的综合应用，考查学生解综合题的能力.,返回目录,【解析】(1)设z=a+bi(a,bR，且b0),则=z+=a+bi+=（a+）+（b-）i.R,b-=0.b0,a2+b2=1.此时=2a,又-12,-12a2-a1.z的实部的取值范围是（-,1）.,返回目录,(2)证明：u=a（-,1）,b0,a,bR,u为纯虚数.(3)-u2=2a+=2a+=2a-=2a-1+=2(a+1)+-3.-a1,a+10.2(a+1)+-32-3=1.当且仅当a+1=，即a=0时取“=”号，故-u2的最小值为1.,返回目录,【评析】本题表面上是考查复数的有关概念，但实质上是借复数的知识考查学生的化归能力，考查均值不等式的应用，综合考查学生运用所学知识解决问题的能力,是高考改革的方向.,返回目录,设等比数列z1,z2,z3,zn,.其中z1=1,z2=a+bi,z3=b+ai(a,bR且a0).（1）求a,b的值；（2）试求使z1+z2+zn=0的最小自然数n;（3）对（2）中的自然数n,求z1z2z12的值.,返回目录,对应演练,（1）z1,z2,z3成等比数列，=z1z3,即(a+bi)2=b+ai,a2-b2+2abi=b+ai,a2-b2=b,2ab=a.解得a=,b=.,(a0),返回目录,（2）z1=1,z2=+i,公比q=+i.于是zn=（+i）n-1.z1+z2+zn=1+q+q2+qn-1=0.qn=（+i）n=(-i)n（-+i）n=1.即n既是3的倍数又是4的倍数.故n的最小值为12.,返回目录,（3）z1z2z12=1（+i）（+i）2（+i）11=（+i）1+2+11=(-i)（-+i）66=(-i)66（-+i）66=-1.,返回目录,考点六简单的复数方程,设关于x的方程是x2-(tan+i)x-(2+i)=0,若方程有实数根,求锐角和实数根.,【分析】以方程为载体,利用复数相等的条件建立方程,再求解.,返回目录,【解析】设实数根为x0,则-(tan+i)x0-(2+i)=0,-x0tan-2-(x0+1)i=0.x0,tanR,-x0tan-2=0 x0+1=0.x0=-1且tan=1,又0,=.,【评析】利用复数相等实现复数问题向实数问题的转化,体现了转化思想.,返回目录,z=a+bi,则z=a-bi(a,bR).(1+2i)(a-bi)=4+3i,(a+2b)+(2a-b)i=4+3i.a+2b=42a-b=3,a=2,b=1,z=2+i.,已知(1+2i)z=4+3i,求z及.,返回目录,对应演练,返回目录,1.认清复数的表示形式z=a+bi(a,bR)，分清实部、虚部是认清复数的关键.2.复数问题实数化是解决复数问题的最基