第五章 导数和微分§1 导数的概念

,第五章导数和微分,1导数的概念,一、导数的概念,首页,二、导函数,三、导数的几何意义,首页,问题1切线的斜率,如图5-1所示,曲线y=f(x)在其上一点P(x0,y0)处的切线PT是割线PQ当动点Q沿此曲线无限接近于点P时的极限位置，,由于割线PQ的斜率为,（1）,因此当xx0时如果的极限存在，则极限,即为切线PT的斜率.,1.引言,一、导数的概念,为质点在时刻t0的瞬时速度.,首页,问题2瞬时速度,设一质点和直线运动,其运动规律为s=s(t),若t0为某一确定的时刻,t为邻近于t0的时刻,则,是质点在时间段t0,t(或t,t0)上的平均速度,若tt0时平均速度v的极限存在,则称极限,首页,以后我们将会发现,在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中,尽管它们的物理背景各不相同,但最终都归结于讨论形如(2)式的极限.,上述两个问题中，前一个是几何学已知曲线求它的切线的问题，后一个是运动学已知运动规律求速度的问题，,这两个问题与导数概念直接相联系的，,它们是由德国数学家莱布尼茨(Leibniz)和英国数学家牛顿(Newton)分别在研究几何学和物理学过程中建立起来的，,但是都可以归结为形如（1）、（2）这种类型的极限.,若极限（3）,函数f在点x0处的导数，记作.,首页,存在，则称函数f在点x0处可导，并称该限为,定义1设函数y=f(x)在点的某邻域内有定义，,2.定义,导数为在x0处关于x的变化率.,比值的极限，,则（3）式可改写为,我们称为函数关于自变量的,所以，导数表示的是函数增量,若（3）（或（4）式极限不存在，则称在点x0处不可导.,首页,若令,与自变量增量,平均变化率（又称差商），,（4）,试问与,而是常数的导数.,若函数在点可导，,首页,有何区别？,解答,是函数在点的导数值，,问题,由此知道抛物线在点（1，1）的切线斜率为，,例1求函数在点x=1处的导数，并求曲线在点（1，1）处的切线方程.,所以切线方程为,首页,3.导数应用例题,分析根据前面讨论可知，我们可以通过导数的意义先求出切线斜率，,解由定义求得,再利用点斜式直线方程给出切线方程.,例2证明函数在点处不可导.,首页,分析要求证函数在一点处不可导，根据定义只要能够说明,不存在即可.,证因为,当时极限不存在，,所以f在点处不可导.,或,此公式对仍旧成立.,我们称（5）式为在点的有限增量公式,即(5),则，,于是当时，是无穷小量，,由在点可导，,可知，即，,设在点可导，令，,首页,4.可导与连续的关系,首先，我们介绍有限增量公式.,由公式（5）立即推得如下定理.,注1可导仅是函数在该点连续的充分条件，而不是必要条件，,如例2中的函数在点处连续，但不可导.,定理5.1若函数f在点x0可导，,此命题可作为判断一个函数不可导的依据.,首页,则在点x0连续.,注2其逆否命题为：,若函数f在点x0不连续，,则在点x0不可导.,证当时，由归结原理可得在处不连续，,所以由定理5.1注2，在处不可导.,例4证明函数仅在点处可导，其中为狄利克雷函数.,综上可知，仅在可导.,首页,当时，由于为有限函数，,由定义可得到,记作，,若只讨论函数在点的右邻域（左邻域）的上变化率，我们需引进单侧导数的概念.,类似地，我们可以定义左导数,首页,定义2设函数在点的某右邻域是有定义，若右极限,存在，则称该极限值为f在点x0的右导数，,右导数和左导数统称为单侧导数.,5.单侧导数,定理5.2若函数在点x0的某邻域内有定义，,则存在的充要条件是,如同左、右极限与极限之间的关系，我们有,都存在，且.,首页,与,因为,例5设讨论在处的左、右导数与导数.,所以f在处不可导.,首页,解由于,因此,试问函数在点处不可导通常有几种情形？,首页,解答（1）函数在该点不连续；,（2）函数在该点的左右导数中至少有一个不存在；,（3）函数在该点的左右导数都存在，但是不相等.,问题,而是导函数的右极限.,在学习之前，先给出这样一个问题，供大家思考：,问题符号与是否有区别？,符号表示函数在点x0处的右导数,首页,二、导函数,解答有区别.,此时对每一个都有f的一个导数（或单侧导数）与之对应.,这样就定义了一个在I上的函数，称为f在I上的导函数，也简称为导数，,记作，或，即,首页,若函数f在区间I上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），,则f称为I上的可导函数，,目前我们把看作为一个整体，也可把它理解为施加于的求导运算，,在物理学中导数也常用牛顿记号表示，而记号是莱布尼茨首先引用的.,首页,待到学过“微分”之后，我们将说明这个记号实际上是一个“商”.,相应上述和种表示导数的形式，有地也写作相应上述和种表示导数的形式，,有地也写作,例6证明,首页,（i）为正整数；,（ii）,（iii）,特别.,（）对于，由于,首页,因此,证,以及是上的连续函数，因此得到,（）下面证第一个等式，类似地可证第二个等式，,首页,由于,若，且以e为底的自然对数常写作，,首页,（iii）由于,所以,则由上式有,函数在某一点不可导，它的导数可能是无限大，,三、导数的几何意义,即曲线在该点可能存在与x轴垂直的切线.,首页,1.几何意义,问题若函数在某一点不可导，则曲线在该点不存在切线这种说法对不对？,解答不对.,的切线方程是（7）,所以曲线在点,由导数的定义，,我们已经知在点的切线斜率k，正是割线斜率在时的极限，即,函数f在点x0的导数是曲线在点处的切线斜率.,首页,这就是说：,从而意味着切线与x轴正向的夹角为锐角；,首页,若表示这条切线与x轴正向的夹角，,意味着切线与x轴正向的夹角为钝角；,表示切线与x轴平行（图52）.,例7求曲线在点处的切线方程与法线方程,首页,解由于,所以根据(7)式,曲线在点P的切线方程为,由解析几何知道,若切线斜率为k,则法线斜率为，,从而过点的法线方程为,若,则法线方程为.,x0是函数f的极大（小）值点.,定义3若函数f在点x0的某邻域内对一切有,2.极值（点）定义,首页,(9),则称函数f在点x0取得极大（小）值.,极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.,它在点处取极大值，在点处取极小值.,首页,设函数f如图5-4所示，,存在正数，对一切有，,从而不难推得，当时，（10）式成立.,若，则存在对任何，有（10）,首页,例8证明：,证因为,所以由保号性可知，,例如，若，,则存在，,对任何有.,用类似的方法可讨论，和的情况.,则x0不是的极点.,首页,注,例8告诉我们：若存在且不为零，,若x0点为f的极值点，则必有,对于函数是稳定点，但却不是极值点.,设函数f在点x0的某邻域内有定义，且在点x0可导.,3.费马定理,首页,定理5.3（费马定理）,注,几何意义：若函数在极值点可导，,那么在该点的切线平行于x轴.,我们称满足方程的点为稳定点.,则至少存在一点，,k为介于之间任一实数,使得.,4.导函数介值性定理,首页,定理