2011届高考数学二轮复习课件4.7 正弦定理、余弦定理应用举例

4.7正弦定理、余弦定理应用举例要点梳理1.解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个（除三角外）才能求解，常见类型及其解法如表所示.,基础知识自主学习,2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.3.实际问题中的常用角（1）仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线叫仰角,目标视线在水平视线叫俯角（如图）.,上方,下方,(2)方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为（如图）.（3）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.,正北,基础自测1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60,C点的俯角是70，则BAC等于（）A.10B.50C.120D.130解析由已知BAD=60,CAD=70,BAC=60+70=130.,D,2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40,灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的（）A.北偏东10B.北偏西10C.南偏东10D.南偏西10解析灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得ACB=80，CAB=CBA=50，则=60-50=10.,B,3.在ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为（）A.B.C.D.解析由余弦定理可得：,B,4.ABC中,若A=60,b=16,此三角形面积则a的值为（）A.20B.25C.55D.49解析由S=bcsinA=220,得c=55.由余弦定理得a2=162+552-21655cos60=2401,a=49.,D,5.(2009湖南文,14)在锐角ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于,AC的取值范围为.解析,2,题型一与距离有关的问题要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距km的C、D两点,并测得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45,求A、B之间的距离.分析题意，作出草图，综合运用正、余弦定理求解.,题型分类深度剖析,解如图所示在ACD中，ACD=120，CAD=ADC=30，AC=CD=km.在BCD中，BCD=45，BDC=75，CBD=60.在ABC中，由余弦定理，得,B,求距离问题要注意：（1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.,知能迁移1（2009海南,宁夏理，17）为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内（如示意图）.飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出)；用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤.,解方案一：需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角1、1；B点到M、N点的俯角2、2；A、B的距离d(如图所示).第一步：计算AM.由正弦定理第二步：计算AN.由正弦定理第三步：计算MN.由余弦定理,方案二：需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角1、1；B点到M、N点的俯角2、2;A、B的距离d（如图所示）.第一步：计算BM.由正弦定理第二步：计算BN.由正弦定理第三步：计算MN.由余弦定理,题型二与高度有关的问题某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.依题意画图，某人在C处,AB为塔高,他沿CD前进，CD=40米，此时DBF=45,从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tanAEB=AB为定值，BE最小时，仰角最大.要求出塔高AB,必须先求BE，而要求BE，需先求BD（或BC）.,解如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD=40，此时DBF=45，过点B作BECD于E，则AEB=30，,在BCD中,CD=40,BCD=30,DBC=135,BDE=180-135-30=15.在RtBED中，BE=DBsin15在RtABE中，AEB=30，AB=BEtan30=故所求的塔高为,解斜三角形应用题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求；（2）依题意画出示意图；（3）分析与问题有关的三角形；（4）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案；（5）注意方程思想的运用；（6）要综合运用立体几何知识与平面几何知识.,知能迁移2如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD=，BDC=，CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.解在BCD中，CBD=-,题型三正、余弦定理在平面几何中的综合应用(12分)如图所示,在梯形ABCD中，ADBC，AB=5，AC=9，BCA=30,ADB=45，求BD的长.由于AB=5，ADB=45，因此要求BD，可在ABD中，由正弦定理求解,关键是确定BAD的正弦值.在ABC中,AB=5,AC=9，ACB=30,因此可用正弦定理求出sinABC,再依据ABC与BAD互补确定sinBAD即可.,解在ABC中，AB=5，AC=9，BCA=30.ADBC，BAD=180-ABC,于是sinBAD=sinABC=.8分同理，在ABD中，AB=5，sinBAD=，ADB=45，解得BD=.故BD的长为.要利用正、余弦定理解决问题,需将多边形分割成若干个三角形.在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理.,6分,12分,知能迁移3如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.,解设POB=，四边形面积为y，则在POC中，由余弦定理得PC2=OP2+OC2-2OPOCcos=5-4cos.,方法与技巧1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型.2.把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值.3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.,思想方法感悟提高,失误与防范在解实际问题时，应正确理解如下角的含义.1.方向角从指定方向线到目标方向线的水平角.2.方位角从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角.3.坡度坡面与水平面的二面角的度数.4.仰角与俯角与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时称为俯角.,一、选择题1.在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30，60,则塔高为（）解析作出示意图如图，由已知：在RtOAC中，OA=200，OAC=30，则OC=OAtanOAC=200tan30=在RtABD中，AD=，BAD=30，则BD=ADtanBAD=,A,定时检测,2.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时（）A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里解析如图所示，依题意有BAC=60，BAD=75，所以CAD=CDA=15，从而CD=CA=10，在RtABC中，得AB=5，于是这艘船的速度是（海里/小时）.,C,3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A.akmB.akmC.akmD.2akm解析利用余弦定理解ABC.易知ACB=120,在ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos120=2a2-2a2,B,4.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为（）A.海里/小时B.海里/小时C.海里/小时D.海里/小时,解析如图所示，在PMN中，,答案A,5.如图，一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为（）A.20海里/小时B.20海里/小时C.20海里/小时D.20海里/小时,解析由题意知SM=20,SNM=105,NMS=45,答案B,6.线段AB外有一点C,ABC=60,AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶,则运动开始h后，两车的距离最小.A.B.1C.D.2,解析如图所示，设th后,汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t.因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就是求DE最小时t的值.由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BDBEcos60=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)50t=12900t2-42000t+40000.,答案C,7.在ABC中,BC=1,B=，当ABC的面积等于时，tanC=.解析SABC=acsinB=,c=4.由余弦定理：b2=a2+c2-2accosB=13,二、填空题,8.在ABC中,AC=，BC=2，B=60,则A的大小是，AB=.解析,45,9.甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60的方向,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向才能追上乙船；追上时甲船行驶了海里.解析如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船的速度为v,则BC=tv，AC=tv，B=120，BC=AB=a，AC2=AB2+BC2-2ABBCcos120,北偏东30,三、解答题10.如图所示,扇形AOB,圆心角AOB等于60,半径为2,在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设AOP=，求POC面积的最大值及此时的值.解CPOB，CPO=POB=60-，OCP=120.在POC中，由正弦定理得,11.在ABC中，已知(1)sin2cos(B+C)的值;(2)若ABC的面积为4,AB=2,求BC的长.解,12.在海岸A处,发现北偏东45方向,距离A(-1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向,距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解