2012年高考数学总复习课件135 数学归纳法 ppt课件

13.5数学归纳法要点梳理1.归纳法由一系列有限的特殊事例得出的推理方法叫归纳法.根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为归纳法和归纳法.,一般结论,完全,不完,全,基础知识自主学习,2.数学归纳法(1)数学归纳法：设Pn是一个与正整数相关的命题集合，如果证明起始命题P1（或P0)成立；在假设Pk成立的前提下，推出Pk+1也成立，那么可以断定Pn对一切正整数成立.(2)数学归纳法证题的步骤(归纳奠基)证明当n取第一个值时,命题成立.(归纳递推）假设(kn0,kN+)时命题成立，证明当时命题也成立.只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.,n=n0,n=k,n=k+1,基础自测1.用数学归纳法证明：“1+a+a2+an+1(a1)”在验证n=1时，左端计算所得的项为()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3,C,2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步检验第一个值n0等于()A.1B.2C.3D.0解析边数最少的凸n边形是三角形.,C,3.如果命题p(n)对n=k成立，则它对n=k+2也成立.若p(n)对n=2成立，则下列结论正确的是()A.p(n)对所有正整数n都成立B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立D.p(n)对所有自然数n都成立解析归纳奠基是：n=2成立.归纳递推是：n=k成立，则对n=k+2成立.p（n）对所有正偶数n都成立.,B,4.某个命题与自然数n有关，若n=k(kN+)时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得()A.n=6时该命题不成立B.n=6时该命题成立C.n=4时该命题不成立D.n=4时该命题成立解析方法一由n=k(kN+)成立,可推得当n=k+1时该命题也成立.因而若n=4成立，必有n=5成立.现知n=5不成立，所以n=4一定不成立.方法二其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立，则当n=k时也不成立”为真，故“n=5时不成立”“n=4时不成立”.,C,5.用数学归纳法证明1+2+3+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上()A.k2+1B.（k+1）2C.D.（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2解析当n=k时，左边=1+2+3+k2，当n=k+1时，左边=1+2+3+k2+（k2+1）+（k+1）2，当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2.,C,题型一用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明:对任意的nN+,题型分类深度剖析,证明所以等式成立.(2)假设当n=k(kN+)时等式成立,即有,所以当n=k+1时,等式也成立.由（1）（2）可知,对一切nN+等式都成立.用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n=k到n=k+1时等式的两边变化的项，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题得以证明.,知能迁移1用数学归纳法证明：证明（1）当n=1时，等式左边等式右边所以等式成立.（2）假设n=k（kN+）时等式成立，那么当n=k+1时，,即n=k+1时等式成立.由（1）（2）可知，对任意nN+等式均成立.,题型二用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明an+1+(a+1)2n-1(nN+）能被a2+a+1整除.解（1）当n=1时，a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除.（2）假设n=k(kN+)时，ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，则当n=k+1时，ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=aak+1+a(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1=aak+1+(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1,由假设可知aak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，(a2+a+1)(a+1)2k-1也能被a2+a+1整除，ak+2+（a+1）2k+1也能被a2+a+1整除，即n=k+1时命题也成立，对任意nN+原命题成立.,知能迁移2求证：（3n+1）7n-1(nN+)能被9整除.证明(1)当n=1时,(3n+1)7n-1=27能被9整除.(2)假设n=k(kN+)时命题成立，即(3k+1)7k-1能被9整除，那么n=k+1时：3(k+1)+17k+1-1=(3k+1)+3(1+6)7k-1=(3k+1)7k-1+(3k+1)67k+217k=(3k+1)7k-1+3k67k+(6+21)7k.以上三项均能被9整除.则由（1）（2）可知，命题对任意nN+都成立.,题型三用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式均成立.证明（1）当n=2时，左边左边右边，不等式成立.（2）假设n=k(k2,且kN+)时不等式成立，,则当n=k+1时，当n=k+1时，不等式也成立.由（1）（2）知，对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.,知能迁移3已知函数f(x)=x-sinx,数列an满足:00,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在0，1上连续，从而f(0)f(ak)f(1),即0ak+11-sin11.,故当n=k+1时，结论成立.由()()可知，0an1对一切正整数都成立.又因为0an1时，an+1-an=an-sinan-an=-sinan0,所以an+1an.综上所述,0an+1an1.（2）设函数g(x)=sinx-x+由（1）知，当0xa2,a2=3,a5=9.,下面用数学归纳法证明：当n=4时，已证.,=(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+12=S(k+1)+1,（1）归纳猜想证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律.（2）数列是定义在N+上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决.,知能迁移4如图所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、Pn（xn，yn）（0y1y21)不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是()A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1解析增加的项数为（2k+1-1）-(2k-1)=2k+1-2k=2k.,C,3.对于不等式(nN+)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当n=1时，不等式成立.（2）假设当n=k(kN+)时，不等式成立，即则当n=k+1时，所以当n=k+1时，不等式成立，则上述证法()A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析在n=k+1时，没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.,D,4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN+)能被9整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开()A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3解析假设当n=k时，原式能被9整除,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k+3)3展开，让其出现k3即可.,A,5.证明当n=2时，左边式子等于()A.1B.C.D.解析当n=2时，左边的式子为,D,6.用数学归纳法证明不等式(n2,nN+)的过程中，由n=k递推到n=k+1时不等式左边()A.增加了一项B.增加了两项C.增加了B中两项但减少了一项D.以上各种情况均不对,解析答案C,二、填空题7.若f(n)=12+22+32+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的递推关系式是.解析f(k)=12+22+(2k)2，f(k+1)=12+22+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2，f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.,f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2,8.用数学归纳法证明(nN,且n1),第一步要证的不等式是.解析n=2时，左边,9.已知整数对的序列如下：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4)，则第60个数对是.解析本题规律：2=1+1；3=1+2=2+1；4=1+3=2+2=3+1；5=1+4=2+3=3+2=4+1；一个整数n所拥有数对为(n-1)对.设1+2+3+(n-1)=60,n=11时还多5对数，且这5对数和都为12，12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7，第60个数对为（5，7）.,(5,7),三、解答题10.已知数列an中，(nN+).证明：0anan+11.证明(1)n=1时，0a1a21,故结论成立.(2)假设n=k（kN+）时结论成立，即0akak+11,即0ak+1ak+21,也就是说n=k+1时，结论也成立.由(1)(2)可知，对一切nN+均有0anan+11.,11.用数学归纳法证明对于任意正整数n,(n2-1)+2(n2-22)+n(n2-n2)=证明（1）当n=1时，左式=12-1=0,所以等式成立.（2）假设n=k(kN+)时等式成立,即(k2-1)+2(k2-22)+k(k2-k2)那么(k+1)2-1+2(k+1)2-22+k(k+1)2-k2+(k+1)(k+1)2-(k+1)2,=(k2-1)+2(k2-22)+k(k2-k2)+(2k+1)(1+2+k)所以当n=k+1时等式成立.由（1）（2）知对任意nN+等式成立.,12.在数列an、bn中，a1=2,b1=4,且an,bn，an+1成等差数列，bn,an+1,bn+1成等比数列（nN+），求a2,a3,a4与b2,b3,b4的值，由此猜测an,bn的通项公式，并证明你的结论.解由条件得2bn=an+an+1,=bnbn+1.又a1=2,b1=4,由此可得a2=