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5、三角函数的值域与最值,苏教版高中数学2010高考第一轮复习,*,一、高考要求,1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象等,求三角函数的最大值和最小值.,2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和最小值.,3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来解决.,最值问题是三角函数中考试频率最高的重点内容之一,需要综合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角变换等,也是函数内容的重要交汇点,常见方法有:,1.涉及正、余弦函数以及asin+bcos,可考虑利用三角函数的有界性.,二、重点解析,2.形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bsinx+c的函数可通过适当变换、配方求解.,3.形如sinx+cosx,sinxcosx在关系式中时,可考虑换元法处理.,三、知识要点,常见的三角换元,1.若x2+y2=1,可设x=cos,y=sin;,2.若ax2+y2b,可设x=rcos,y=rsin,即有ar2b;,1.已知函数f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x(1)求f(x)的最小正周期;,解:(1)f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x,=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x,=cos2x-sin2x,f(x)的最小正周期为.,四、检测反馈题,解:由y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+19.,2.设0x,求函数y=sin2x-8(sinx+cosx)+19的最大值和最小值.,0x,当t=-1,即x=时,y取最大值27.,四、检测反馈题,因此由f(x)的值域为-5,1可得:,解得:a=2,b=-5或a=-2,b=1.,四、检测反馈题,对于任意的t1,t21,3,且t1t2有,0.,即f(t1)-f(t2)0f(t1)0时,bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+),1.函数y=acosx+b(a,b为常数),若-7y1,求bsinx+acosx的最大值.,解得a=4,b=-3,此时,当a1,即a-1,则当t=1时,y有最大值,M=-(1+a)2+a2-a+1=-3a.,五、自测练习,由题设3+a=4,a=1.,五、自测练习,五、自测练习,五、自测练习,令t=sinx,则0t1,故有:,要求f(x)的最大值M(a),可分情况讨论如下:,要求f(x)的最大值M(a),可分情况讨论如下:,g(t)在0,1上先增后减.,g(t)在0,1上
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