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文档简介

例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,一问题的提出,1,方向导数图示,讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题,2,A,B,C,3,中,x,O,y,z,.,P0,P,l,沿,方向的方向导数,.,4,二、方向导数的定义,设函数,在,内有定义。,若点,沿射线l趋于,时,极限,存在，则称该极限值为函数,在点,处沿l方向的方向导数。记为,5,或,6,利用直线方程可将方向导数的定义,表示为:,射线l的方程为,则,故,7,比较方向导数与偏导数的概念,在方向导数中，分母,；,在偏导数中，分母,、,可正、可负。,即使l的方向与x轴,y轴的正方向一致时，,方向导数与偏导数的概念也是不同的。,方向导数与偏导数是两个不同的概念,想一想，为什么？,8,怎么计算方向导数？,9,看看三维空间的情形,10,定理(方向导数导计算公式),若函数,在点,处可微，,则函数,在点,处,沿任一方向,的方,向导数存在，且,其中,各导数均为在点,处的值.,11,运用向量的数量积，可将方向,导数计算公式表示为：,其中，,称为梯度,12,在,中,在,中,可统一表示为,13,设,求函数在点,沿方向,的方向导数。,解,例,14,由点,到坐标原点的距离定,义的函数,在坐标原点处,的两个偏导数均不存在，但它在该点,沿任何方向的方向导数均存在，且方,向导数值都等于1：,想一想，该例给你什么启示,函数可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件。,方向导数存在时，偏导数不一定存在。,例,15,一个问题：,在给定点,沿什么方向增加得最快？,该问题仅在,不同时为零才有意义。,可微函数,三、梯度,16,由前面的推导，有,现在正式给出,的定义,gradu,由此可得出什么结论？,方向导数等于梯度在此方向上的投影,17,定义,设,则称向量,为函数,在点,处的梯度，记为,或,18,梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。,以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。,梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。,以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。,19,在几何上表示一个曲面,曲面被平面所截得,所得曲线在xoy面上投影如图,等高线,梯度为等高线上的法向量,20,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,梯度的概念可以推广到三元函数,21,22,设,求,并求在,点,处方向导数的最大(小)值。,解,从而,例1,23,解,由梯度计算公式得,故,24,精品课件！,25,精品课件！,26,1、方向导数的
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