计算方法_习题第一、二章答案

第一章错误作为的近似值，1Q 3.142和3.141分别有几个有效数字？利用有效数的概念可以直接得到分析结果。解=3.141 592 65.记住x1=3.142，x2=3.141，x3=1。从- x1=3.141 59-3.142=-0.000 40，我们知道因此x1有4个有效数字。从-x2=3.14159.-3.141=-0.00059.因此x2有3个有效数字。已知-=3.141 59 -3.142 85=-0.001 26因此x3有3个有效数字。假设近似数x*有两位有效数字，试着找出它的相对误差极限。显而易见，在分析这个问题时，应该使用有效数字和相对误差之间的关系。解决有效数与相对误差的关系。这里n=2，a1是1到9之间的数字。3已知相似数的相对误差限为0.3%。问x*有多少个有效数字？本文分析了有效数与相对误差之间的关系。解决方案a1是一个介于1和9之间的数字。让x*有n个有效数字，让-n 1=-1，然后n=2，所以x*至少有2个有效数字。4计算sin1.2并要求几个有效数字，以确保相对误差限制不超过0.01%。有效数字和相对误差之间的关系应该用来分析这个话题。该解决方案采用n位有效数字，sin1.2=0.93，因此a1=9。知道n=4来解决不等式可以满足要求。5计算，根据已知数字作为精确值，用4位浮点数计算。溶液0.131 810-2-0.131 610-2=0.210-5结果只有一个有效数，有效数丢失，导致相对误差扩大。如果分数通过，将再次进行计算：获得4位有效数字的结果。这个例子表明，在数值计算中，要特别注意两个相似数的相减，有效数往往会严重丢失。在这种情况下，通常采用两种方法：首先，应该留下几个更有效的数字；第二，公式将变形相同，然后计算。例如，当x接近0时，公式应转换为重新计算。例如，当x足够大时，应该进行转换。6计算时，取，用下列公式计算：(1)；(2)；(3)；(4)。哪一个得到了最好的结果？解决办法很明显所以(1)(2)(3)(4)，这四个公式是相同的，但是当进行计算时，因为(2)和(3)都涉及到减去两个相似的数，所以有效数丢失了，并且(1)分母公式中的幂数大于公式(4)，所以公式(4)是最好的。事实上，取值时，有|x|0.015，则可以直接估算出各公式的误差，显然，公式(4)的误差最小。具体计算是可行的：(1)；(2)(3)；(4)。比较表明，由公式(4)得到的结果更接近于a7找到二次方程x2-(109 1)x 109=0的根。因为x2-(109 1)x 109=(x-109)(x-1)，方程的两个根是x1=109，x2=1然而，如果应用一般二次方程ax2 bx c=0的根公式：当满足b24|ac|的情况时，如果是，则由上述公式获得的两个根中的一个由于减去两个相似的数而严重不可靠。例如，如果此示例是在能够将归一化数字表示为8位小数的计算机上计算的，则-b=109 1=0.11010 0.000 000 000 0001110。由于第二项的最后两位数字“01”不能在机器上表示，它对上述公式的计算没有影响，即在计算机操作过程中-b=109。通过类似的分析因此，获得的两个根是显然，根x2严重扭曲。为了获得可靠的结果，可以使用根和系数之间的关系：在计算机上采用以下公式：其中sgn(b)是b的符号函数，当b0时，SGN(b)=1；当b0时，SGN(b)=1。显然，上述公式避免了减去相似数字的可能性。当n足够大时如何计算既然分析函数的原始函数是已知的，我们自然会考虑用牛顿-莱布尼茨公式来求这个定积分的值。因为n很大，它会遇到两个相似数的相减。因此，应该采用一些转换公式来避免这种情况。如果用牛顿-莱布尼茨定积分公式来计算这个问题，是的，当N足够大时，因为反正切(N 1)和反正切非常接近，两者的相减会造成有效数的严重损失，从而影响计算结果的准确性。在数值计算中应尽可能避免这种情况，但通过改变计算公式，例如，如果tan 1=n 1，tan 2=n，则结果如下可以避免由两个相似数字相减而导致的有效数字的损失，从而获得更准确的结果。因此，当n足够大时，最好计算积分值。计算积分。数值计算分析应采用数值稳定算法，因此在建立算法时应首先考虑其稳定性。要理解按部分集成的使用，有重复公式：(1)使用公式(1)进行计算，由于初始值I0存在误差，因此假设I0的近似值存在误差可能是合适的，即然后由递推公式(1)导出显然，初始数据的误差是n！例如，当n=10时，10！3.629106，表明I10时初始误差扩大了许多倍，因此误差淹没了I10的真值，计算结果完全失真。但是如果递推公式(1)改为因此，当从后向前计算时，In的误差减小到原来的误差。因此，如果N足够大，误差将逐渐减小。显然，计算结果是可靠的。因此，在构造或选择算法时，必须考虑其数值稳定性。不能使用数值不稳定的算法。为了进行计算的乘法和除法应该尽可能少地进行。表达式应该以什么形式重写？解构在数值计算中，应注意简化运算步骤，减少运算次数，使计算量尽可能小。如果x*=3587.64是具有六位有效数字的x的近似值，请找出x的绝对误差极限。12为了使近似值的相对误差小于0.1，在查找公式表时应该取多少有效数字？13使用四位数的数学计算表中x=1-cos2的近似值，并使用以下公式进行计算：(1)1-cos2(2)2sin21哪个结果更好？14找到方程x2-56x 1=0的两个根，使其至少有四个有效数字(已知)。15序列满足递推公式如果取(三位有效数字)，根据上述递推公式，从x0到x10的误差是多少？这个计算过程稳定吗？如果近似的相对误差小于，则证明这个数有n个有效数字。第二章插值和数值微分1已知，尝试使用插值法进行近似计算。根据对问题中已知条件的分析，本课题可以采用3.2次拉格朗日插值或3.2次牛顿插值，其结果是相同的。该解决方案使用三点二次拉格朗日插值。记住，二次拉格朗日插值多项式是因为，因此已知函数表xi012彝族8-7.5-18岁求0，2之间函数零点的近似值。在一般的分析情况下，首先求出0，2上的插值函数，然后求出的零点，这个零点作为的近似零点。特别是，如果反函数存在并且被写成，那么寻找零点的问题就变成了寻找函数值的问题。插值方法构造的插值函数用于获得零点的近似值。这种问题称为逆插值问题。使用逆插值时，必须注意逆插值条件，即函数必须有反函数，即必须是单调的。本课题是严格单调递减排列，并可采用逆插值法。该解决方案将原始函数表转换为反函数表。彝族8-7.5-18岁xi012利用三点二次拉格朗日插值和反函数表构造反函数的二次拉格朗日插值多项式。那么二次拉格朗日插值多项式是该函数的近似零是假设我们用拉格朗日插值余数定理来写三次插值多项式让我们假设节点的拉恒河插值基函数用于测试和验证：(1)。(2)。(3)。(4)分析主题是关于拉格朗日插值基函数的性质。为了观察要证明的结论，应该从常数1和插值开始，通过插值余数为0得到结论。证明(1)假设插值节点的n阶拉格朗日插值多项式为由插值余数定理可知因此也就是说，(2)假设插值段的n阶拉格朗日插值多项式为由插值余数定理可知因此也就是说，(2)假设插值节点的n阶拉格朗日插值多项式为通过插值余数定理因此也就是说，(3)根据二项式展开，得到代入左端，我们得到利用(2)的结论，有(4)当时，从(2)的结论可知当时的秩序，有考虑到插值节点的n阶拉格朗日插值多项式为由插值余数定理可知因此也就是说，是的，有5、证明这一章的内容是代数插值，但问题是很容易知道，如果使用线性插值，线性插值函数只能是0，误差为0，所以它可以通过使用余数估计公式直接连接。证明了A和B是线性插值的插值节点，线性插值多项式为线性插值的剩余部分是因此由于最大值取为，因此6证明：通过以下插值条件00.511.522.5-1-0.7501.2535.25所确定的拉格朗日插值多项式是二次多项式。这个例子说明了什么？分析主题是拉格朗日插值问题。从已知数据表中构造拉格朗日插值多项式可以得出结论。解决订单插值节点的二次插值多项式为易于验证，从而满足插值条件。(1)的拉格朗日插值多项式是。从插值多项式的存在唯一性定理可知，满足条件(1)的5次插值多项式是存在唯一的，但5次多项式不一定是真正的5次多项式，而是次5的多项式。对于任何实数和任何正整数，多项式它是次多项式，满足。这个话题说明了什么问题？当使用两个插值条件构造一个大于1次的插值多项式时，这个问题的答案不是唯一的。类似地，当使用n 1个插值条件来构造大于n次的插值多项式时，答案也不是唯一的。8我们使用sin30=0.5，sin45=0.7071，sin60=0.8660进行拉格朗日二次插值，并使用它获得sin40的近似值。最后，我们根据插值余数定理估计这个误差。分析主题显然是基于拉格朗日插值余数定理。解构制造插值余数为因此相应的函数值称为三次牛顿插值多项式，如函数值增加时为6，以及四次牛顿插值多项式