小波分析与实例.ppt

在小波分析、小波分析中，傅里叶变换和小波分析基本知识多尺度分析和Mallat算法小波分析的应用1、傅里叶变换和小波分析、小波分析是近年来发展迅速的数学分支。 不仅数学学科本身的价值，小波分析在许多非数学领域也得到了广泛的应用。 1、傅立叶变换和小波分析；1、傅立叶变换对正常信号的FFT (快速傅立叶变换)完成后，能够在频谱上看到明确的4条线，信号包含4个频率成分。 1、傅立叶变换和小波分析、频率随时间变化的非稳态信号、FFT后：如左图所示，最上面是频率不变的稳态信号。 接下来的两个是频率随时间变化的非稳态信号，同样包含与最高位信号相同频率的四个分量。 FFT在这三个时域中发现差异很大的信号，其频谱(振幅谱)非常一致。 特别是，以下的两个非稳态信号无法在频谱上区别。 其中包含的4个频率的信号成分确实相同，只是出现的顺序不同。 1、根据傅立叶变换和小波分析，傅立叶变换处理的非稳态信号具有天生的缺陷。 可以获得总信号包含了什么频率的分量，但是不知道各分量出现的时序。 因此，时域显着不同的两个信号可与频谱图相同。 由于稳态信号大部分是人为产生的，自然界的大量信号几乎是非稳态的，因此例如生物医学信号分析等领域的论文中很少见简单傅立叶变换这种简单的方法。 事件相关电位，股市折线图，1，傅立叶变换和小波分析，窗口傅立叶变换(短时傅立叶变换STFT )，1，傅立叶变换和小波分析，窗口分隔窄，窗内信号过短，频率分析不准确，频率分辨率差。 窗的分割过宽，时域不细，时间分辨率低。 1、傅立叶变换和小波分析，小波定义：小波动性：小波三个特征，小波变换，频率分析的性质和发生时间可以表现出来。 有助于分析时间发生的现象。 用于小波变换(其仅具有傅立叶变换或频率分析的性质)的多分辨率变换对于提取每个分辨率的不同特征(例如图像压缩、边缘提取、噪声滤波等)是有利的。 在信号长度为m的情况下，傅立叶变换(左)和小波变换(右)的计算复杂度分别表示为以下方程： 1、傅立叶变换和小波分析、1、傅立叶变换和小波分析、小波计算的顺序： (1)选择小波函数以使之与分析信号的起点一致(2) c越大，意味着当前信号越接近所选择的小波函数波形(3)使小波函数沿时间轴向右移位一个单位时间，并且重复上述步骤(1)和(2)以获得变换系数c直到复盖整个信号长度为止对选定的小波函数比例进行单位伸缩，然后重复步骤(1)、(2)、(3) (5)对所有伸缩比例重复步骤(1)、(2)、(3)、(4)。 另外，如果参数x处于相对于函数f(x )取0附近的值的范围内，那么f(x )可以取值，否则f(x )可以取值0，同时支持小波基础术语：或： 该函数f(x )是紧急保持函数，取该0附近的值的范围称为紧急保持集。 例如(-1，1 )之间的高斯函数。 L(R):成立的参数满足实数的实数值或复数函数f的整体。 设l (0，2):f (x 2)=f (x )、2、小波分析的基本知识、小波定义：L(R)L(R )时，在r上几乎不为零，如果满足就称为小波。 其中有的傅立叶变换。 2、小波分析的基本知识被称为依赖于参数a、b的连续小波，并且被称为基本小波或小波。在窗函数的情况下，称为窗小波函数，并且一般假定窗小波函数。 2、小波分析的基本知识，a是尺度参数，2，小波分析的基本知识，b是位移参数，2，小波分析的基本知识，小波正变换：小波逆变换：向f(t )的函数的投影。 在一维连续小波的实例中，1.Haar小波：2020/5/23，21，Haar小波是互相正交的函数集合，是最简单的时域不连续的二进制小波，其中Haar的应用非常广泛，常用和图像处理。 作为一维连续小波的实例，2.Mexico草帽子小波：2020/5/23，22，草帽子函数也被称为Marr小波。 时域、频域都具有良好的局部特性，但其正交性标度函数不存在，主要在信号处理和边缘检测中使用。 一维连续小波的实例包括，3.Morlet小波：2020/5/23，23，其中I是虚数，w是常数。 Morlet小波不具有正交性，同时也不具有紧凑的集合。 该特征通过可获得信号中的振幅及与其对应的信息，广泛应用于地球物理信号处理。 Daubechies(dbN )小波系数(dobic )，dobic小波是以Ingrid BIC命名的小波函数，其中dobic小波主要应用于离散小波变换，并且是最常用的小波变换因为多基小波是正交小波，所以容易进行正交变换。 如果将有限长度的小波应用于快速小波变换，则有两个实数的数列。 一个系数称为高通滤波器，称为小波滤波器；另一个系数称为低通滤波器，称为调整滤波器(比例滤波器)。 我们通常用滤波长n表示滤波器为dbN，例如用N=2的多基波小波写入db2的N=4的多基波小波写入器db4。 Daubechies(dbN )小波系数(多贝叶斯)、图1.4、小波函数表、小波函数表、2、以及作为小波分析的基本知识的连续小波变换是信号f(t )的连续小波变换方程，其中参数a和b是连续小波变换方程严格地说，Wf(a，b )意味着对信号f(t )进行小波变换，频率是a时间是b时的变换值。 当一维信号f(t )经过小波变换时，可以看出信号是二维信号。 已知作为小波分析的基本知识的连续小波变换(例如，信号f (t )=3shin (100 pt )-2 sin (68pt )-5 cos (72pt ) )，并且通过向信号中混合白噪声执行连续小波变换。 小波函数使用db3，其中db3是尺度1、1.2、1.4、1.6、3。 其MATLAB程序如下： t=0:0.01:1； f=3* sin (100 * pi * t )2* sin (68 * pi * t )5* cos (72 * pi * t ) rann (1，长度(t )； coefs=cwt(f，1:0.2:3，db3，绘图)； title (针对不同尺度的小波变换系数的数值) Ylabel (尺度) Xlabel (时间)，2、作为小波分析的基本知识的连续小波变换、小波变换的系数以图示那样的灰度值图表现，横轴是变换系数的系数编号，纵轴是尺度，灰度越深离散小波变换：在实际运用中，特别是在计算机上实现，连续小波必须离散化。 因此，有必要研究连续小波ya、b(t )和连续小波变换Wf(a、b )的离散化。 应该强调的是，这种离散化不是对时间变量t，而是对连续比例参数a和连续平移参数b进行。 在连续小波中，考虑到函数，bR，aR，并且a0， 可接受y但是为了方便起见，在离散化中，仅总约束a取正值，因此兼容性条件包括： 2、作为小波分析的基本知识的离散小波变换，2、作为小波分析的基本知识的二进制小波变换，2、作为小波分析的基本知识的二进制小波变换定义： yj， 设k(t)L2(R )，将通过满足(1.64 )而得到的小波yj，k(t )称为二进制正交小波。3、多尺度分析和Mallat算法、多分辨率分析使得人们能够根据特定目标来处理细节以改变信号的分辨率，从而在1983年，P.J.Burt和E.A.Adelson能够根据需要处理低分辨率图像以应用计算机视觉1986年Mallat和Meyer建立了多分辨率分析公式。 随着多分辨率分析的出现，小波结构困难得到了比较圆满的解决。 为了对信号进行高分辨率的处理，需要所谓的“增量信息”。 因此，Mallat对“增量信息”进行了数学描述，最终发展为多分辨率分析。 3、多尺度分析和Mallat算法，3、多尺度分析和Mallat算法，请参阅： m.vetter Li wavetsandsubbandcoding，PrenticeHallPTR，1995p.11， 3、3、多尺度分析和Mallat算法、滤波器系列：下图是一系列带通滤波器的频域图，3、多尺度分析和Mallat算法、一个信号离散信号x(n )通过该系列带通滤波器后，得到一系列系数Vi(n )。 如下图所示，一个信号被分解为不同频率的分量。 只要带通滤波器的频率能够复盖整个原始信号x(n )的频谱范围，反变换时以分量的幅度组合不同的频率信号，就可以获得原始信号x(n )。 这样的一系列带通滤波器被称为滤波器家族。 3、多尺度分析和Mallat算法、滤波器家族可以将信号分成不同的频率成分，可以实现信号分解和信号分析的目的。 然而，滤波族计算需要指定频域划分方案。 研究人员为了引出子带编码的概念，提出了作为分割方式的平均法。 子带编码通过使用均匀分布区域的滤波器将该信号分成若干子带。 由此，能够实现没有冗馀性、没有误差的数据的分解和重建。 但是，Mallat在1989年的研究显示，如果分成两个子带，就可以实现更高效的分解效率。 引入了多分辨率分析(MRA )。 3、多尺度分析和Mallat算法、多分辨率分析：在子带编码期间，信号带宽首先分为高通(实际上是带通)和低通两部分，对应于两个滤波器。 然后，继续等分低通部分。 下图显示了子带的编码图像。 另外，如可以看出的那样，每次分割高通部分的滤波结果时，都保留多尺度分析和Mallat算法。 这里已经是信号的细节，通常我们分析的信号，其大部分能量都在低通区。 因此，高频部分的分割迄今为止是可能的，但由于低通部分还划分了很多细节，所以持续等分低通部分。 分割反复进行。 这样做的优点是设计两个滤波器，每次只重复配对。 缺点是确定了频域划分方案。 对于某些信号，这种划分不是最优的。 3、多尺度分析和Mallat算法仍存在问题。 每次把谱分成其馀的一半，实际上我们就拿不到整个带宽。 像水一样，每次只喝一半的话，就不能完全喝了。 因此，这样分割的函数依然是无穷多的。 为了解决这个问题，引出了我们首先要研究的尺度函数的概念。 在以上的图中，如果对频域进行分割，并将其分割成某个频率j，则不进一步进行分割，而使用一个低通滤波器来表现剩馀的全部低频部分，由此实现了信号频谱的完全的分割。 此剩馀低通滤波器是比例函数。 事实上，可以理解，缩放函数只是某一级别的多分辨率分析中的低通滤波器。 换句话说，它是图中最低级别的LP。3、多尺度分析和Mallat算法，loadnoissinc=cwt(noissin，1336048，db4) c=cwt(noissin，1336048，db4，plot) c=cwt(noissin，2:2:128，db4 ) plot )，3，多尺度分析和Mallat算法，3，多尺度分析和Mallat算法， s=a3 D3 D2 D1 的近似(即函数f的低频部分或“粗糙的图像”)，如果djWj表示近似的误差(即函数f的高频部分或“细微的”部分)，则上式表示fn=f1 fd=f2 d2 d1=fn-1 dn-1 d2 d1的任何函数fL2(R )， 能够从分辨率为2-N时的f的低频部分(“粗糙像”)和分辨率为2-j(1jN )时的f的高频部分(“细节”部分)完全重构，这正是有名的Mallat塔重构算法的思想。 3、在多尺度分析和Mallat算法、小波重构、Mallat算法中仅分解低频系数，但是在一些信号中分解高频系数是适当的。 小波包的分解以相同的方式分解低频系数和高频系统，并且选择最佳的分解路径。 然后通过构筑成本函数来评价路径，选择最佳路径。 3、多尺度分析和Mallat算法、4、小波分析应用、小波信号分解和频率求解在小波图像压缩中的应用小波变换在图像去噪和图像增强中的应用机械故障诊断神经网络预测、4、小波%采样频率f1=100； %信号最初的频率f2=300； %信号的第二频率t=0:1/fs:1； s=sin (2* pi * f1 * t )生成sin (2* pi * F2 * t )混合信号tt=wpdec(s，3，dmey) %小波包分解，3层plot(tt)wpviewcf(tt， 1 )分解，4，求小波应用小波的信号分解和频率，65-128Hz，257-320Hz，4，小波应用3354小波在图像压缩中的应用，小波变换的基本思想是一组小波或者基函数中的一个以哈尔(Haar )小波基函数为例，基本哈尔小波函数(Haarwaveletfunction )定义为： elsec (I )=0.5* c (I ) end NX=wave erec2(c，s，symmetrix4) %分辨率系数重建subplot(122) image(nx) title (增强图像) %增强图像，4，小波的应用机械故障诊断，机械运行故障时，首先对其振动信号进行反馈能否及时准确把握，是常能否发现故障，采取相应对策，避免重大损失的前提条件。 由于传统傅立叶分析和时域分析需要的数据量大，难以立即进行有效诊断，但小波分析具有良好的时域定位特征，仅凭少数数据就能够对振动信号在时域和频域进行定量分析，为及时发现故障提供了有力的分析手段。 4、小波的应用机械故障诊断，齿轮裂纹和断裂41%齿面疲劳31%齿面损伤和损伤10%齿面磨损