2013 江西高考数学试卷(文)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第卷一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数（为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析 因为，所以复数对应的点在第四象限.故选D.2. 若集合其中只有一个元素，则（ ）.A B. C. D.解析 当时，方程化为，无解，集合为空集，不符合题意；当时， 由，解得.故选A.3. （ ）.A. B. C. D.解析 .故选C.4. 集合，,从中各任意取一个数，则这两数之和等于的概率是（ ）.A B. C. D.解析 从中各任取一个数有6个基本事件，满足两数之和等于的有个基本事件，所以.故选C.5. 总体有编号为，的个个体组成利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为（ ）. A B C D解析 由随机数表法的随机抽样的过程可知选出个个体是，所以第个个体的编号是. 故选D.6. 下列选项中，使不等式成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 解析 由可得即解得综合知.故选A.7. 阅读如下程序框图，如果输出，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）.A. B. C. D. 解析 根据程序框图，不满足条件；，不满足条件； ，此时输出，所以填.故选B.8.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A. B. C. D. 解析 由三视图可知该几何体的下面是一个长方体，上面是半个圆柱组成的组合体.长方体的长、宽、高分别为， 半圆柱底面圆半径为，高为，故组合体体积 .故选A.9. 已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，则（ ）.A. B. C. D. 分析 根据抛物线的定义和相似三角形的判定及性质求解.解析 如图所示，由抛物线定义知，所以.由于，则，则，即.故选C.10. 如图.已知，圆心在上，半径为的圆在时与相切于点，圆沿以的速度匀速向上移动，圆被直线所截上方圆弧 长记为，令，则与时间（，单位：）的函数的图像大致为（ ）.分析 通过圆心角将弧长与时间联系起来.解析 圆半径为，设弧长所对的圆心角为，则，如图所示，即，则.其图象为开口向上，在上的一段抛物线.故选B.第 卷二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若曲线（）在点处的切线经过坐标原点，则 .解析 因为，所以在点处的切线斜率，则切线方程为.又切线过原点，故，解得.12. 某住宅小区计划植树不少于棵，若第一天植棵，以后每天植树的棵树是前一天的倍，则需要的最少天数（）等于 .解析 每天植树的棵数构成以为首项，为公比的等比数列，其前项和.由，得.由于，则，即.13 设，若对任意实数都有，则实数的取值范围是 .解析 由于，则， 要使恒成立，则.答案.14. 若圆经过坐标原点和点，且与直线相切，则圆的方程是 .分析 根据圆的弦的性质和直线与圆的位置关系求解.解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点和，所以设圆心.又因为圆与直线相线，所以，所以， 解得，所以圆的方程为.15. 如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，则直线与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 .分析 根据直线与平面的位置关系求解.解析 取的中点，连接.在正四面体中，由于， 所以，所以，则平面与正方体的左右两侧面平行，则也与之平 行，与其余四个平面相交.答案.三解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）正项数列满足：.(1) 求数列的通项公式； (2) 令，数列的前项和为分析（1）根据已知的和的关系式进行因式分解，通过得到数列的通项公式；（2）把数列的通项公式代入的表达式，利用裂项法求出数列的前项和.解析（1）由，得.由于是正项数列，所以.（2）由，则，.17.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，已知.（1）求证：成等差数列；（2）若，求的值.分析（1）根据正弦定理把已知条件中的角的关系转化为边的关系，从而证明成等差数列； （2）应用（1）的结论和余弦定理得出的关系式，从而求出结论.解析（1）由已知得.因为，所以.由正弦定理得，即成等差数列. （2）由及余弦定理得，即有，所以.18（本小题满分12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为：以为起点，再从（如图）这个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为，若就去打球，若就去唱歌，若就去下棋（1）写出数量积的所有可能取值；（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.分析（1）根据题意得出向量的坐标，进一步求出其数量积； （2）根据（1）的结果求出各数量积的两个向量的个数，应用古典概型概率的求法求解.解析（1）的所有可能取值为.（2）数量积为的有，共有种；数量积为的有，共种；数量积为的有，共种；数量积为的有，共种；故所有可能的情况共有种.所以小波去下棋的概率为；因为去唱歌的概率为；所以小波不去唱歌的概率.19（本小题满分12分）如图所示，直四棱柱中， 为上一点，.（1）证明：平面;（2）求点到平面的距离分析（1）根据题意证明和后证明 ；（2）先求出三棱锥 的体积， 根据等积法求出点到平面的距离.解析（1）过点作的垂线交于点，则.在中，.在中，.在中，因为，故.由，得，所以.（2）连接，则三棱锥的体积.在中，.同理，故.设点到平面的距离为，则三棱锥的体积，从而，.20.（本小题满分13分）椭圆的离心率，（1）求椭圆的方程；（2）如图所示，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点直线交于点，设的斜率为，的斜率为.证明：为定值.分析（1）根据题中的关系求出的值；（2）设出直线的斜率，得到直线的方程，结合椭圆的方程求出点的坐标，联系直线和的方程解得出点的坐标，根据三点共线得到点的坐标，求出直线的斜率后代入所求的式子即可解得答案. 解析（1）因为，所以.代入，得.故椭圆的方程为.（2）证法一：因为，点不为椭圆顶点，则直线的方程为， 代入，解得.直线的方程为. 与联立解得.由三点共线知，解得.所以的斜率为，则（定值）.证法二：设，则，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，令，由于可得，联立，得解得，因此的斜率为，所以21（本小题满分14分）设函数 为常数且.（1）当时，求； （2）若满足，但，则称为的二阶周期点，证明函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点，；（3）对于（2）中，设，记的面积为，求在区间上的最大值和最小值.分析（1）根据自变量的取值求出相应的函数值；（2）根据自变量的取值和二阶周期点的定义解方程求出题目中的二阶周期点；（3）根据（2）的结果用参数表示出三角形的面积，通过导数求最值的方法得出最值.解析（1）当时，.（2）当时，由，解得，因为，故不是