2013年高考数学新课标2(文)

2013年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷.数 学文科.第卷选择题 共50分.一.选择题：本大题共10小题.每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）.A. B. C. D.分析 运用集合的运算求解.解析：，故选C.2. （ ）.A. B. C. D.分析 先化简复数；再求模.解析：由，所以.故选C.3.设满足约束条件，则的最小值是（ ）.A. B. C. D.分析 本题可先画出可行域，然后根据图象确定出最小值点进行解答.解析：作出不等式组表示的可行域，如图（阴影部分）所示.易知直线过点时，取得最小值. 由得所以，故选B.4.的内角的对边分别为，已知，则的面积为（ ）. A. B. C. D.分析 先由正弦定理解出的值，再运用面积公左求解.解析：因为，所以由正弦定理，得，即，所以.所以.故选B.5.设椭圆的左.右焦点分别为，是上的点，则的离心率为（ ）.A. B. C. D.分析 根据椭圆的定义以及三角知识求解.解析：如图所示，由题意知，所以又因为，.所以.所以.故选D.6.已知，则（ ）.A. B. C. D.分析 结合二倍角公式进行求解.解析：因为，所以故选A.7.执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的（ ）.A. B.C. D.分析 根据程序框图所给的已知条件逐步求解，直到得出满足条件的结果.解析：当输入的时，由于， 因此，此时不满足； 当时，此时不满足；当时，此时不满足；当时，此时满足.因此输出，故选B.8. 设，则（ ）.A. B. C. D.分析 利用对数函数的性质求解.解析：；，由对数函数的性质可知，所以，故选D.9. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）. A. B. C. D.分析 结合已知条件画出图形，然后按照要求作出正视图. 解析 根据已知条件作出图形：四面体，标出各个点的坐标如图（1）所示，可以看出正视图是正方形，如图（2）所示.故选A. 10.设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点.若，则的方程为（ ）.A.或 B.或C.或 D.或分析 结合焦点弦公式及进行求解.解析：设直线的倾斜角为，由题意知，又，所以，所以，所以.又由抛物线焦点弦公式：，所以，所以，所以，所以.故选C.11.已知函数，下列结论中错误的是（ ） .A. ，B. 函数的图象是中心对称图形C. 若是的极小值点，则在区间单调递减D. 若是的极值点，则分析 结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.解析A项，因为函数的值域为，所以一定存在，使.A正确.B项，假设函数的对称中心为，按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数.所以，化简得.上式对恒成立，故，得，所以函数的对称中心为，故的图象是中心对称图形.B正确.C项，由于是二次函数，有极小值点，必定有一个极大值点，若，则在区间上 不单调递减.C错误.D项，若是极值点，则一定有.故选C.12.若存在正数使成立，则的取值范围是（ ） .A. B. C. D.分析 把参数分离出来，利用导数知识进行求解.解析：因为，所以.令，所以所以在上单调递增，所以，所以的取值范围为，故选D.第卷二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.从中任意取出两个不同的数，其和为的概率是_.分析 先找出两数之和等于5的各种情况，再利用古典概型的概率知识求解.解析：两数之和等于5有两种情况和，总的基本事件有 ，共10种.所以.14.已知正方形的边长为，为的中点，则_.分析 先建立平面直角坐标系，结合向量数量积知识求解.解析 如图所示，以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，所以，所以.15.已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的表面积为_.分析 本题先求出正四棱锥的高，然后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解.解析：，得，所以.所以.16.函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则_.分析 先进行平移，得出的三角函数与所给的三角函数进行比较，求出的值.解析：的图象向右平移个单位得到的图象，整理得.因为其图象与的图象重合，所以，所以，即.又因为，所以.三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.本小题满分12分.已知等差数列的公差不为零，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求. 分析（1）先设出公差，根据已知条件求出公差，可得出通项公式；（2）所求的和成了一个新的数列，求出该数列的首项和公差，运用数列的前项和公式求解.解析（1）设的公差为，由题意得，即.于是.又，所以（舍去），.故.（2）令.由（1）知，故是首项为25，公差为的等差数列.从而.18.如图，直三棱柱中，分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）设，求三棱锥的体积.分析 （1）运用直线与平面平行的判定定理进行求解；（2）求三棱锥的体积，应先找出三棱锥的高及底面积并求出，然后运用体积公式求解.解析：（1）证明：连接交于点，则为中点.又是中点，连接，则.因为，所以.（2）因为是直三棱柱，所以.由已知，为的中点，所以.又，于是.由得，故，即.所以.19.本小题满分12分.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元，未售出的产品，每 亏损元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了该农产品.以（单位：）表示市场需求量，表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（1）将表示为的函数；（2）根据直方图估计利润不少于元的概率.分析 （1）根据题意，应分两段进行求解；（2）运用得出的函 数结合频率分布直方图求出范围，然后估计概率.解析：（1）当时，.当时，.所以 （2）由（1）知利润不少于元当且仅当.由直方图知需求量的频率为，所以下一个销售季度的利润不少于元的概率的估计值为20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为.（1）求圆心的轨迹方程；（2）若点到直线的距离为，求圆的方程.分析 （1）先设出点的坐标，根据已知条件和勾股定理求出的轨迹方程；（2）根据点到直线的距离公式列出方程，然后结合（1）得出方程组进行求解.解析：（1）设，圆的半径为.由题设，从而故点的轨迹方程为.（2）设.由已知得又点在双曲线上，从而得由得此时，圆的半径由得此时，圆的半径故圆的方程为或21.本小题满分12分.已知函数.（1）求的极小值和极大值； （2）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围.分析 （1）先求出的导数，然后求出极值点，再求出极值，（2）设出切点，得出切线方程，然后运用基本不等式求出截距的取值范围.解析：（1）的定义域为， 当或时，；当时，.所以在，上单调递减，在上单调递增.故当时，取得极小值，极小值为；当时，取得极大值，极大值为.（2）设切点为，则的方程为所以在轴上的截距为由已知和得.令，则当时，的取值范围为；当时，的取值范围是.所以当时，的取值范围是. 综上，在轴上的截距的取值范围是.请考生在第22.23.24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 如图，为外接圆的切线，的延长线交直线于点分别为弦与弦 上的点，且，四点共圆.（1）证明：是外接圆的直径；（2）若，求过四点的圆的面积与外接圆面积的比值. 分析 （1）要证为外接圆的直径，只需证为直角，根据已知 条件可证得；（2）要求两圆的面积比，可先求两圆的直径比.解析（1）因为为外接圆的切线，所以. 由题设知，故，所以.因为四点共圆，所以，故，所以.因此为外接圆的直径.（2）连接，因为，所以过四点的圆的直径.由，.又，所以.而，故过四点的圆的面积与外接圆面积的比值为.23.（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与 （），为的中点.（1）求的轨迹的参数方程；（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点.分析 （1）根据已知条件得出两点的坐标，然后转化为参数方程；（2）根据两点间的距离公式进行求解验证