2013年北京市高考数学(理)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（理科）第卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则（ ）.A. B. C. D. 分析 根据两集合交集的定义求解.解析 因为，所以.故选B.2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限分析 利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解.解析 因为，所以，复数在复平面内对应点的坐标为，对应的点位于复平面内第四象限.故选D.3. “”是“曲线过坐标原点的”（ ）.A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件分析 根据曲线过原点时以及举反例法求解.解析 当时，此时曲线必过原点，但曲线过原点时，可以取其他值，如.因此“”是“曲线过坐标原点”的充分而不必要条件.故选A.4. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）. A. B. C. D. 分析 利用程序框图所表示的算法逐步求解.解析 当时，执行后得；当，时，执行后得,.由于此时是成立的，因此输出.故选C.5. 函数的图象向右平移一个单位长度，所得图象与关于轴对称，则（ ）. A. B. C. D. 分析 利用两曲线关于轴对称的性质，逆用函数图象的平移变换规则求解解析 曲线关于轴对称的曲线为，将向左平移个单位长度得到，即故选D.6. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）. A. B. C. D. 分析 先由双曲线的离心率为得到双曲线标准方程中与的关系，再求双曲线的渐近线方程.解析 因为所以，所以双曲线方程为，所以渐近线方程为故选B.7. 直线过抛物线的焦点且与轴垂直，则与所围成的图形的面积等于（ ）. A. B. C. D. 分析 根据抛物线的几何性质求出直线的方程，作出满足题意的几何图形求面积解析 因为抛物线方程为，所以其焦点坐标为，故直线的方程为，如图所示，可知与围成的图形的面积等于矩形的面积与函数的图像和轴正半轴及直线围成的图形的面积的差的倍（图中阴影部分的倍），即.故选C. 8. 设关于的不等式组，表示的平面区域内存在点满足，求得的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 分析 作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解解析 当时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区城内不可能存在点满足，因此如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域要使可行域内包含上的点，只需可行域边界点在直线的下方即可，即，解得故选C.第II卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.ww9. 在极坐标系中，点到直线的距离等于 .分析 将极坐标转化为直角坐标求解解析 极坐标系中点对应的直角坐标为极坐标系中直线对应直角坐标系中直线故所求距离为10. 若等比数列满足，则公比 ；前项和 .分析 设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前项和公式求解析 设等比数列的首项为，公比为，则：由得 由得 由解得，故.11. 如图所示，为圆的直径，为圆的切线，与圆相交于，则 ， .分析 根据切割线定理及勾股定理求解解析 由于，设，则根据切割线定理有 又，所以，所以，所以 在中，故.12. 将序号分别为的张参观券全部分给人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .分析 先分组后用分配法求解.解析 张参观券分为组，其中有个连号的有种分法，每一种分法中的排列方法有种， 因此共有不同的分法13. 向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则 .分析 建立平面直角坐标系，转化为向量的坐标运算求解解析 以向量的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为，则 由，即，得， 故，则14. 如图所示，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为 .分析 根据空间线面垂直关系求点到直线的距离的最小值.解析 如图所示，过点作平面，交直线于点，连接，在平面 内过点作交于点，连接，则即为点到直线的 距离.当点在线段上运动时，点到直线的距离 的最小值为点到线段的距离，即为的边上的高.因为所以所以三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在中，.（1）求的值；（2）求的值.分析 （1）根据正弦定理及二倍角公武求解；（2）根据（1）的结论，用同角三角函数关系式及两角和的正弦公式及正弦定理求解.解析（1）因为，所以在中，由正弦定理得所以故（2）由（1）知，所心又因为，所以所以 在中，所以16. （本小题共13分）下图是某市月日至日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择月日至月日中的某一天到达该市，并停留天.（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪一天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）.解题思路：（1）重度污染的只有天，由于到达的日期是随机的，根据古曲概型求得；（2）随机变量，根据图表中连续天的空气质量指数求出对应的基本事件个数，根据古典概型可得其分布列，然后使用数学期望的公式计算其数学期望；（3）根据方差表示数据偏离均值的程度，结合图中数据即得.解析 设表示事件“此人于月日到达该市”（）.根据题意，且.（1）设为事件“此人到达当日空气重度污染”，则.所以.（2）由题意可知，的所有可能取值为，且，.所以的分布列为故的期望.（3）从月日开始连续三天的空气质量指数方差最大.17. （本小题共14分）如图所示，在三棱柱中，是边长为的正方形.平面平面，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）证明：在线段存在点，使得，并求的值.分析 根据面面垂直的性质证明线面垂直，建立空间直角坐标系求二面角的平面角，根据向量的坐 标建立方程求线段的比值.解析 （1）证明：因为为正方形，所以.因为平面平面，且垂直于这两个平面的交线，所以平面.（2）由（1）知由题知，所以.如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为，则即令，则，所以同理可得，平面的法向量为.所以由题知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为（3）证明：设是线段一点，且所以解得所以由即，解得因为，所以在线段上存在点，使得此时，18. （本小题共13分）设为曲线在点处的切线.（1）求的方程；（2）证明：除切点之外，曲线在直线的下方.分析 （1）求出函数在处的导数，利用点斜式求方程； （2）将问题转化为恒成立进行求证.解析 （1）设，则所以所以的方程为.（2）证明：令，则除切点之外，曲线在直线的下方等价于满足，且当时，所以，故单调递减；当时，所以，故单调递增.所以 所以除切点之外，曲线在直线的下方.19. （本小题共14分）已知是椭圆上的三个点，是坐标原点.（1）当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积；（2）当点不是的顶点时，判断且四边形是否可能为菱形，并说明理由.分析 （1）根据题意设出点的坐标代入椭圆方程求解，利用菱形面积公式求面积；（2）设出直线 的方程，代入椭圆方程求出的中点坐标（即的中点坐标），判断与的斜率乘积是否为.解析（1）椭圆的右顶点的坐标为.因为四边形为菱形，所以与相互垂直平分.所以可设，代入椭圆方程得，即所以菱形的面积是（2）四边形不可能为菱形.理由如下：假设四边形为菱形.因为点不是的顶点，且直线不过原点，所以可设的方程为由消去并整理得设，则所以中点为因为为和的交点，所以直线的斜率为因为所以与不垂直.所以不是菱形，与假设矛盾.所以当点不是的顶点时，四边形不可能是菱形.20. （本小题共13分）已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，.（1）若为，是一个周期为的数列（即对任意），写出的值；（2）设为非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列；（3）证明：若，则的项只能是或，且有无穷多项为.分析 （1）根据所给定义及所给数列的项的最值直接写出；（2）利用充要条件的定义及等差数列的单调性证明；（3）利用反证法证明.解析 （1