2013年四川高考数学(理)VIP

2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理科）第卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1设集合，集合，则（ ）A. B. C. D.分析 解出集合后依据交集的概念求解.解析 因为，所以.因为所以.所以故选A.2如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是（ ）A. B. C. D.分析 根据复数的几何表示可求得.解析 设，且，则的共轭复数为，其中，故应为点.故选B.3一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）分析 先观察俯视图，再结合主视图和侧视图还原为空间几何体.解析 由俯视图是圆环可排除A，B，C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D. 故选D.4设，集合是奇数集，集合是偶数集若命题，则（ ）A. B.C. D.分析 由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得.解析 命题是全程命题：，则是特称命题：.故选D.5函数的部分图像如图所示， 则的值分别是（ ）.A. B. C. D. 分析 通过函数的图像的周期、相位、振幅来确定三个量. 解析 因为，所以，所以，所以.有图像知当时，即.因为，所以.故选A.6抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）A. B. C. D.分析 由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解.解析 由题意可得抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为或，则焦点到渐近线的距离或 .故选B.7函数的图象大致是（ ）分析 依据特殊点的函数值，用排除法求解.解析 由，得，所以函数的定义域为，可排除选项A；当时，可排除选项B；当时，当时，但从选项D的函数图象可以看出函数在上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.8从这五个数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是（ ）A. B. C. D.分析 利用排列知识求解.解析 从这五个数中每次取出两个不同数的排列个数为，但，所以不同值的个数为，故选C.9节日 家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过秒的概率是（ ）A. B. C. D.分析 结合线性规划，利用几何概型求解.解析 设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为，则，而事件“它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒”，即， 可行域如图阴影部分所示. 由几何概型概率公式得.故选C. 10设函数（，为自然对数的底数）若曲线上存在 使得，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.分析 由得出点，都在的图像上为解题的突破口. 解析 由已知在曲线上，得，即存在使成立，则点都在的图像上，又在上单调递增，所以，即，所以，所以，所以在上有解，即在上有解，所以，.令，则，所以在上单调递增.又，所以，即.故选A.第二部分 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11二项式的展开式中，含的项的系数是_（用数字作答）分析 利用二项展开式的通项求解.解析 展开式的通项是，令得，所以二项式展开式中含项的系数是.12在平行四边形中，对角线与交于点，则_分析 根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义求解.解析 由向量加法的平行四边法则，得.又是的中点，所以，所以，所以.又，所以.13设，则的值是_分析 由及，解出，进而求得的值.解析 因为，所以.因为，所以.又因为，所以，所以.14已知是定义域为的偶函数，当时，那么，不等式 的解集是_分析 依据已知条件求出的解析式，再借助的图象求解.解析 设，则.因为当时，所以.因为是定义在上的偶函数，所以，所以，所以由得或所以或.观察图像可知由，得.所以由，得，所以.所以不等式的解集是.15设为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到点的距离之和最小，则称点为点的一个“中位点”例如，线段上的任意点都是端点的中位点则有下列命题：若三个点共线，在线段上，则是的中位点；直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；若四个点共线，则它们的中位点存在且唯一；梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点其中的真命题是_（写出所有真命题的序号）分析 依据题目中“中位点”的定义逐个分析求解.解析 因为，当且仅当点在线段上等号成立，即三个点共线，所以点在线段上，所以点是的中位点，故是真命题.如图（1），在中，是的中点，点不重合，则.又，所以，所以点不是点的中位点，故是假命题.如图（2），是数轴上的四个点，若点在线段上，则，由中位点的定义及可知，点是点的中位点.显然点有无数个，故是假命题.如图（3），由可知，若点是点的中位点，则点在线段上，若点是点的中位点，则点在线段上，所以若点是点的中位点，则是，的交点，所以梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故是真命题.答案：.三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16(本小题满分12分) 在等差数列中，且为和的等比中项，求数列的首项、公差及前项和分析 由已知得出两个只含和的方程，解出，后再由等差数列求和公式求.解析 设该数列的公差为，前项和为.由已知可得，所以，解得或，即数列的首项为，公差为，或首项为，公差为.所以数列的前项和或.17(本小题满分12分) 在中，角的对边分别为，且（1）求的值；（2）若，求向量在方向上的投影分析 （1）用二倍角公式、诱导公式、两角和的余弦公式求解，其中，是解题的关键.（2）由正弦定理及三角形中“”解出，再由余弦定理解出，进一步利用向量投影公式求解.解析（1）由，得，即，则，得.（2）由，得.由正弦定理，有，所以.由题意知，则，故.根据余弦定理，有，解得或（舍去）.故向理在方向上的投影为.18(本小题满分12分) 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据运行次数输出的值为的频数输出的值为的频数输出的值为的频数甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）运行次数输出的值为的频数输出的值为的频数输出的值为的频数当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；（3）按程序框图正确编写的程序运行次，求输出的值为的次数的分布列及数学期望分析 （1）运行程序框图，分别数出输入的值为的数的个数，即事件包含的基本事件个数，利用古典概型公式求解.（2）利用已知条件中频数统计表得出各小组频数，利用频数公式得频率，再与（1）的结论比较，得出结论.（3）利用独立重复试验概率公式求出分布列，再用期望公式求解.解析（1）变量是在这个整数中随机产生的一个数，共有种可能.当从这个数中产生时，输出的值为，故；当从这个数中产生时，输出的值为，故；当从这个数中产生时，输出的值为，故.所以输出的值为的概率为，输出的值为的概率为，输出的值为的概率为.（2）当时，甲、乙所编程序各自输出的值为的频率如下：输出的值为的频率输出的值为的频率输出的值为的频率甲乙比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符号算法要求的可能性较大.（3）随机变量可能的最值为.，.故的分布列为所以.即的数学期望为.19(本小题满分12分) 如图，在三棱柱中，侧棱底面，分别是线段的中点，是线段的中点（1）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；（2）设（1）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值分析（1）只需在平面内过点作，利用线面平行、线 面垂直的判定定理可证.（2）方法一：用几何法作出二面角的平面角，利用直角三角形的边角关系求解；方法二：建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的平面角.解析（1）如图（1），在平面内，过点作直线，因为在平面外，在平面内，由直线与平面平行的判定定理可知，.因为，是的中点，所以，则直线.因为，所以.又因为在平面内，且与相交，所以直线.（2）方法一：连接，过点作于点，过点作于点，连接.由（1）知，所以平面.所以，则.所以，则.故为二面角的平面角（设为）. 设，则由，有，.又为的中点，所以为的中点，且，.所以在中，.在中，.从而，所以.所以.故二面角的余弦值为.方法二：设，则.如图（2），过点作平行于，以点为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（点与点重合），则.因为为的中点，所以分别为的中点，故，所以，.设平面的一个法向量为，则，即故有从而取，则，所以.设平面的一个法向量为，则即故有从而取，则，所以.设二面角的平面角为，又为锐角，则.故二面角的余弦值为.20(本小题满分13分) 已知椭圆：的两个焦点分别为，且椭圆经过点（1）求椭圆的离心率；（2）设过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程分析 （1）利用椭圆的定义求.（2）分直线与轴垂直和不垂直两种情况求解.直线与轴不垂直时，借助一元二次方程根与系数的关系及消参法等知识求轴迹方程.解析（1）由椭圆的定义知，所以.故题意知，所以椭圆的离心率.（2）由（1）知，椭圆的方程为.设点的坐标为.当直线与轴垂直时，直线与椭圆交于，两点，此时点的坐标为.当直线与轴不垂直时，设直线的方程为.因为点在直线上，可设点的坐标分别为，则，.又，由，得，即. 将代入，得 由，得.由可知，代入中并化简，得. 因为点在直线上，所以，代入中并化简，得.由及，可知，即.又满足，故.由题意知点在椭圆内，所以.又由有且，则. 所以点的轨迹方程为，其中，.21(本小题满分14分)已知函数，其中是实数设，为该函数图象上的两点，且（1）指出函数的单调区间；（2）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；（3）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围分析 第（1）问直线由二次函数、对数函数的图象求解；第（2）问由导数的几何意义知，并借助基本不等式求解；第（3）问中两直线重合的充要条件是两直线方程系数成比例，求时需先