2013年山东高考（文数）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（山东卷）第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数（为虚数单位），则（ ）.A. B. C. D. 分析 利用复数的乘方和乘除运算计算出，进而求出.解析：，所以. 故选C.2. 已知集合，均为全集的子集，且，则 （ ）.A. B. C. D. 分析 利用所给条件计算出和，进而求交集.解析：因为，所以.又因为， 所以.又，所以.故选A.3. 已知函数为奇函数，且当时，则（ ）.A. B. C. D. 分析 利用奇函数的性质求解.解析：当时，所以.因为为奇函数，所以 .故选D.4. 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）.A. B. C. D. ，分析 由正视图得出四棱锥的底面边长与高，进而求出侧面积与体积.解析：由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，所以四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为，所以.故选B.5. 函数的定义域为（ ）.A. B. C. D. 分析 求函数定义域就是求使这个式子有意义的自变量的取值范围，本题需满足二次根式下的式子大于等于，分母不能为，然后取交集.解析：由题意，自变量应满足解得所以.故选A.6. 执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的的值为，第二次输入的的值为，则第一次，第二次输出的的值分别为（ ）.A. B. C. D. 分析 根据输入的的值的不同而执行不同的程序.解析：由程序框图可知：当时，因为，所以 ，.因为，输出当时，因为，所以.因为，输出.故选C.7.的内角，所对的边分别为，若，则（ ）.A. B. C. D. 分析 先利用正弦定理，求出角，进而求出角和角，得出角为直角，从而利用勾股定理求出边.解析：由正弦定理得：，因为，所示.因为为三角形的内角，所以.所以.又，所以，所以.所以，所以为直角三角形. 由勾股定理得.故选B.8. 给定两个命题，若是的必要而不充分条件，则是的（ ）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件分析 借助原命题与逆否命题等价判断.解析：若是的必要不充分条件，则但，其逆否命题为但，所以是的充分不必要条件.故选A.9. 函数的图象大致为（ ）.分析 结合给出的函数图象，代入特殊值，利用排除法求解.解析：当时，排除C. 当时，排除B；或利用为奇函数，图象关于原点对称，排除B. 当时，排除A.故选D.10. 将某选手的个得分去掉个最高分，去掉一个最低分，个剩余分数的平均分为 现场作的个分数的茎叶图后来有个数据模糊，无法辨认，在图中以表示：则个剩余分数的方差为（ ）. 分析 利用平均数为91，求出的值，利用方差的定义，计算方差.解析：根据茎叶图，去掉1个最低分87，1个最高分99，则，所以.所以.故选B.11. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）.A. B. C. D. 分析 作出草图，数形结合，建立方程求解.解析：双曲线，所以右焦点为，渐近线方程为.抛物线，焦点为.设，则.因为，所以. 又因为，所以. ，由得.故选D. 12. 设正实数，满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ）.A. B. C. D. 分析 含三个参数，消元，利用基本不等式及配方法求最值.解析：，所以.当且仅当，即时“=”成立，此时，所以. 所以当时，取最大值2.故选C.第II卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.ww13. 过点作圆的弦，其中最短弦的长为 分析 借助圆的几何性质，确定圆的最短弦的位置，利用半径、弦心距及半弦长的关系求弦长.解析：设，易知圆心，半径，当弦过点且与垂直对为最短弦.所以半弦长. 所以最短弦长为.14. 在平面直角坐标系中，为不等式组，所表示的区域上一动点，则 的最小值时 分析 画出不等式组表示的平面区域，数形结合求最值.解析：如图所示，为图中阴影部分区域上的一个动点， 由于点到直线的距离最短，所以的最小值.15. 在平面直角坐标系中，已知，若，则实数的值为 分析 利用向量垂直的充要条件，列方程求解.解析：因为，所以，所以.又 ，所以.所以.16. 定义“正对数”：，现有四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中的真命题有_.（写出所有真命题的编号）分析 本题是新定义型问题，解题时要严格按照所给定义，对每一个选项逐一论证或排除.解析：当时，因为，所以，所以.当时，因为，所以，所以.又，所以，所以.故正确.当，时，而，.从而.故不成立.a.当，时，而，所以.b.当，时，.而，所以.c.当，时，所以.所以.d.当，且时，所以.e.当，且时，所以.综上：，故正确.a.当时，所以，.所以.b.当时，分以下三种情况：（i）当，时，因为，所以.（ii）当，时，因为，所以.（iii）当，时，所以，且，.所以. 综上：，故正确. 答案：.三、解答题：本大题共6小题，共74分.17. 某小组共有五位同学，它们的身高（单位：米）及体重指标（单位：）如下表所示：身高体重指标 （1）从该小组身高低于的同学中任选人，求选到的人身高都在以下的概率； （2）从该小组同学中任选人，求选到的人的身高都在以上且体重指标都在中的概率分析 （1）身高低于1.80的同学共有4人，因此所有可能的基本事件总数是指从4人中选取2人；（2）所有可能的基本事件总数是指从5人中选取2人，而符合条件的基本事件需要同时满足身高在1.70以上且体重指标都在内.解析：（1）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：，共6个.由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.78以下的事件有共3个.因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为.（2）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有 ,，共10个.由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在中的事件有,，共3个.因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在中的概率为.18. 设函数，且图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为（1） 求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值分析 （1）先利用倍角公式，两角和、差的三角公式把函数的解析式进行化简整理，再利用对称中心到最近的对称轴的距离为求出；（2）先根据的取值范围求出的取值范围，然后利用三角函数的图象，并结合其单调性求出的最值.解析：（1）.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又，所以.因此.（2）由（1）知.当时，.所以.因此.故在区间上的最大值和最小值分别为，.19. 如图所示，四棱锥中，分别为的中点（1）求证：平面； （2）求证：平面平面分析（1）要证明线面平行，可考虑证明线线平行，也可先证 面面平行，进而转化为证线面平行，利用三角形的中位线或 平行四边形的性质证明线线平行是证明平行问题首先要 考虑到的. （2）要证明，可考虑先证明平面 中的垂直于平面，即转化为证明线面垂直，而要证明，需要证明垂直于平面中的两条相交直线.解析：（1）证法一：如图（1），取的中点，连接.因为为的中点，所以，.又，所以.所以四边形是平行四边形.所以.又，.所以.证法二：如图（2），连接，因为为的中点，所以.又，所以.又，所以四边形为平行四边形.所以.又，所以.因为分别为的中点，所以.又，所以. 因为，故.又，所以. （2）证明：因为分别为的中点，所以.又，所以. 同理可证.又，因此 .又分别为的中点，所以.又，所以，所以.又，所以.20. 设等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和分析 （1）由于已知是等差数列，因此可考虑用基本量表示已知等式，进而求出的通项公式.（2）先求出，进而求出的通项公式，再用错位相减法求的前项和.解析：（1）设等差数列的前项为，公差为.由，得解得因此.（2）由已知，当时，；当时，.所以.由（1）知，所以.所以. .两式相减，得，所以.21. 已知函数 （1）设，求的单调区间；（2）设，且对任意，试比较与的大小分析 （1）求的单调区间，需要对求导，当时，是增函数，当 时，是减函数，但是需要对参数和进行讨论.（2）的最小值为，当有唯一极小值点时，极小值就是最小值，然后构造函数求解.解析（1）由，得.当时，.a.若，当时，恒成立，所以函数的单调递减区间是.b.若，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.当时，令，得.由，得.显然，.当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.综上所述，当时，函数的单调递减区间是；当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是；当时，函数的单调递减区间是,单调递增区间是.（2）由题意知函数在处取得最小值.由（1）知是的唯一极最小点，故.整理，得，即.令，则.令，得.当时，单调递增；当时，单调递减.因此.故，即， 即.22. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为（1）求椭圆的方程； （2），为椭圆上满足的面积为的任意两点，为线段的中点，射线 交椭圆于点，设，求实数的值分析（1）可用待定系数法求出，进而求出椭圆的方程.（2）设出直线的方程，代入椭圆方程，设而不求，利用根与系数的关系转化，但要注意与轴垂直时的情况.解析：（1）设椭圆的方程为，由题意知解得因此椭圆的方程为.