2013年山东高考（理数）

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数 学（理科）第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为（ ）.A. B. C. D. 分析 利用复数的运算求，进而得到.解析：由，得， 所以.故选D.2. 已知集合，则集合中元素的个数是（ ）.A. B. C. D. 分析 用列举法把集合中的元素一一列举出来.解析：当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，.根据集合中元素的互异性知，中元素有共个.故选C.3. 已知函数为奇函数，且当时，则（ ）. A. B. C. D.分析 利用奇函数的性质求解.解析：当时，所以.因为为奇函数，所以.故选A.4. 已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若 为底面的中心，则与平面所成角的大小为（ ）.A. B. C. D.分析 画出三棱柱，作出与平面所成的角，解三角形求角.解析：如图所示，为正三角形的中心，设为的中心，由题意知： ，连接，则即为与平面所成的角.在正三解形中，则，所以.又，所以，所以.故选B.5. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（ ）.A. B. C. D.分析 利用平移规律求得解析式，验证得出答案.解析：.当时，为奇函数；当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数；当时，为奇函数.故选B.6. 在平面直角坐标系中，为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线斜率的最小值为（ ）.A. B. C. D.分析 画出图形，数形结合得出答案.解析：如图所示，所表示的平面区域为图中的 阴影部分. 由得.当点与重合时，的斜率最小，.故选C.7. 给定两个命题，若是的必要而不充分条件，则是的（ ）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件分析 借助原命题与逆否命题等价判断.解析：若是的必要不充分条件，则但，其逆否命题为但，所以是的充分不必要条件.故选A.8. 函数的图象大致为（ ）.分析 结合给出的函数图象，代入特殊值，利用排除法求解.解析：当时，排除C. 当时，排除B；或利用为奇函数，图象关于原点对称，排除B.当时，排除A.故选D.9. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（ ）.A. B. C. D. 分析 利用圆的几何性质，将题目转化为求两圆的公共弦方程.解析：设，圆心，切点为，则四点共圆，且为圆的直径，所以四边形的外接圆方程为，圆，得，此即为直线的方程.故选A.10. 用，十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）.A. B. C. 261 D. 分析 有限制条件的排列问题，用间接法求解.解析：共能组成（个）三位数，其中无重复数字的三位数有 ，所以有重复数字的三位数有（个）.故选B.11. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）.A. B. C. D. 分析 作出草图，数形结合，建立方程求解.解析：双曲线，所以右焦点为，渐近线方程为.抛物线，焦点为.设，则.因为，所以. 又因为，所以. ，由得.故选D. 12. 设正实数，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）.A. B. C. D. 分析 含三个参数，消元，利用基本不等式及配方法求最值.解析：，所以.当且仅当，即时等号成立，此时，所以，所以当时，的最大值为1.故选B.第II卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.ww13. 执行右面的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值 为 . 分析 根据运行顺序计算出的值，当时输出的值，结束程序.解析：由程序框图可知：第一次运行：，不满足要求，继续运行； 第二次运行：，满足条件，结束运行，输出.14. 在区间上随机取一个数，使得成立的概率为_.分析 先求出绝对值不等式的解集，再结合几何概型知识求解.解析：当时，不等式可化为，即，此式不成立，所以；当时，不等式可化为，即，所以此时；当时，不等式可化为，即，此式恒成立，所以此时.综上：不等式的解集为.所以不等式在区间上的解集为，其长度为2.又，其长度为，由几何概型知识可得.15. 已知向量与的夹角为，且，若，且，则实数的值为_.分析 把转化为，再通过求解.解析：因为，所以.又，所以，即，所以.所以.解得.16. 定义“正对数”：，现有四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中的真命题有_.（写出所有真命题的编号）分析 本题是新定义型问题，解题时要严格按照所给定义，对每一个选项逐一论证或排除.解析：当时，因为，所以，所以.当时，因为，所以，所以.又，所以，所以.故正确.当，时，而，.从而.故不成立.a.当，时，而，所以.b.当，时，.而，所以.c.当，时，所以.所以.d.当，且时，所以.e.当，且时，所以.综上：，故正确.a.当时，所以，.所以.b.当时，分以下三种情况：（i）当，时，因为，所以.（ii）当，时，因为，所以.（iii）当，时，所以，且，.所以.综上：，故正确. 答案：三、解答题：本大题共6小题，共74分.17. 设的内角，所对的边分别为，且，.（1）求，的值；（2）求的值.分析 （1）由余弦定理建立新方程，与已知联立，求的值.（2）利用第（1）问的结论，由平方关系、正弦定理、两角差的正弦公式求.解析：（1）由余弦定理，得，又，所以，解得，.（2）在中，由正弦定理得.因为，所以为锐角.所以.因为.18. 如图所示，在三棱锥中，平面，分别是，的中点，与交于点，与交于点，连接.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值. 分析 （1）由线线平行线面平行，由线面平行线线平行.（2）思路一：“几何法”，找出 为二面角的平面角，解三角形求二面角的余弦值.思路二：“向量法”，建立空间直角坐标系用法向量法求二面角的余弦值.解析：（1）证明：如图（1），因为分别是的中点，所以.所以.又，.所以.又，平面，所以.又，所以.（2）解法一：在中，所以，即.因为，所以.又，所以.由（1）知，所以，又，所以.同理可得.所以为二面角的平面角.设，连接.在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得.又为的重心，所以.同理.在中，由余弦定理得.即二面角的余弦值为.解法二：在中，所以.又，所以两两垂直.以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立如图（2）所示的空间直角坐标系.设，则，所以，.设平面的一个法向量为，由，得取，得.设平面的一个法向量为，由，得取，得.所以.因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.19. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立.（1）分别求甲队以，胜利的概率；（2）若比赛结果为或，则胜利方得分，对方得分；若比赛结果为，则胜利方得分；对方得分.求乙队得分的分布列及数学期望.分析（1）根据题意确定每一个事件的比赛次数，由相互独立事件的概率公式求概率.（2）确定随机变量的所有可能取值，求出取每一个值时的概率即可得出分布列，从而求出数学期望.解析：（1）记“甲队以胜利”为事件，“甲队以胜利”为事件，“甲队以胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，故，所以甲队以胜利，以胜利的概率都为，以胜利的概率为.（2）设“乙队以胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，所以由题意，随机变量的所有可能取值为，根据事件的互斥性得.又，故的分布列为0123所以.20. 设等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，且（为常数），令，数列的前项和为.分析 （1）利用等数列的通项公式、前项和公式，建立方程组求解.（2）由已知求，进而求，用错位相减法求的前项和.解析：（1）设等差数列的首项为，公差为.由，得解得，因此（2）由题意知，所以当时，.故所示，则.两式相减得，整理得.所以数列的前项和.21. 设函数（是自然对数的底数，）.（1）求的单调区间、最大值；（2）讨论关于的方程根的个数.分析（1），单调递增；，单调递减，解不等式即可得到单调区间，由单调性求最大值.（2）构造函数，转化为判断函数零点的个数，需要分类讨论.解析：（1），由，解得.当时，单调递增；当时，单调递减. 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，最大值为.（2）令当时，则，所以.因为，所以.因此在上单调递增.当时，则，所以.因为，所以，所以，即.因此在上单调递减.综合可知，当时，.当，即时，没有零点，故关于的方程根的个数为；当，即时，只有一个零点，故关于的方程根的个数为1；当，即时，a.当时，由（1）知，要使，只需，即；b.当时，由（1）知，要使，只需，即；所以时，有两个零点，故关于的方程根的个数为2.综上所述，当时，关于的方程根的个数为0；当时，关于的方程根的个数为1；当时，关于的方程根的个数为2；22. 椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线，人斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值.分析（1）根据已知条件建立方程求解.（2）思路一：两点式写直线方程，由角平分线性质建立方程，联立方程组得出与的关系，进而求得的范围.思路二：分类讨论，点斜式写直线方程，下同思路一. （3）设直线的点斜式方程，联立得方程组，利用得出重要关系，代入后，化简得出定值.解析：（1）由于，将代入椭圆方程，得.由题意知，即.又，所以.所以椭圆的方程为.（2）方法一：设，又，所以直线，的方程分