2013 高考数学(江苏试卷)

2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相印位置上.1.函数的最小正周期为 .分析 利用函数的周期公式求解.解析 函数的最小正周期.2.设（为虚数单位），则复数的模为 .分析 先化简复数，然后再根据模的公式计算.解析 ，所以.3.双曲线的两条渐近线的方程为 .分析 由方程求出的值即可写出双曲线的渐近线方程.解析 由双曲线方程可知，所以两条渐近线方程为.4.集合共有 个子集分析 根据计算集合子集个数的公式求出或直接写出.解析 由于集合中有3个元素，故该集合有（个）子集.5.右图是一个算法的流程图，则输出的的值是 .分析 按照流程图执行算法，可得输出结果.解析 算法流程图执行过程如下：；，输出.6.抽样统计甲.乙两位设计运动员的此训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲乙则成绩较为稳定（方程较小）的那位运动员成绩的方差为 分析 分别计算甲、乙两运动员射击环数的平均数和方差并比较，然后得出结论.解析 由表中数据计算可得，且，. 由于，故乙的成绩较为稳定，其方差为.7.现在某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，则都取到奇数的概率为 .分析 利用古典型概率的计算公式求解.解析 因为正整数满足，所以所有可能的取值一共有（种），其中都取到奇数的情况有（种），因此所求概率为.8. 如图所示，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 .分析 通过点为中点得出三棱柱与三棱锥的底面面积以及高之间的关系， 然后利用体积公式得到体积之间的比值.解析 设三棱柱的底面的面积为，高为，则其体积为. 因为分别为的中点，所以的面积等于. 又因为为的中点，所以三棱锥的高等于， 于是三棱锥的体积，故.9.抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为（包含三角形内部和边界）.若点是区域内的任意一点，则的取值范围是 .分析 先利用导数的几何意义求出切线方程，然后得到可行域，再利用线性规划问题的一般解法进行求解.解析 由于，所以抛物线在处的切线方程为，即.画出可行行域（如图）.设，则，可知当直线经过点，时，分别取到最大值和最小值，此时最大值，最小值，故取值范围是.10.设分别是的边上的点，若（为实数），则的值为 .分析 利用平面向量的加、减法的运算法则将用，表示出来，对照已知条件，求出，的值即可.解析 由题意， 于是.故.11.已知是定义在上的奇函数.当时，则不等式的解集用区间表示为 .分析 先求出函数在上的解析式，然后分段求解不等式，即得不等式的解集.解析 设，则，于是，由于是上的奇函数，所以，即，且，于是当时，由得；当时，由得，故不等式的解集为.12.在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为 .分析 先将用椭圆的基本量表示出来，然后根据已知条件建立的关系式，消去，结合离心率的定义即可求得离心率的值.解析 依题意，.又，所以.由已知可得， 所以，即，整理可得，所以离心率.13. 在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 .分析 设出点坐标，然后将表示为点坐标的函数，通过换元求出的最小值，结合已知条件即可求得的值. 依题意可设，则.令，则且.若，则当时，取最小值，令，解得；若，则当时，取最小值，令，解得. 综上，满足条件的所有的值为和.14. 在正项等比数列中，则满足的最大正整数的值为 .分析 首先由已知条件求出的公比与首项，然后根据求和公式和通项公式将不等式的两边求出，用表示，得到关于的不等式，然后对不等式进行转化，求得的取值范围并进行估算和验证，从而得到的最大值.解析 设的公比为，则由已知可得解得于是，.由可得，整理得.由可得，即，解得，即，可以验证当时满足 ，时不满足，故的最大值为12.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知，.（1）若，求证：；（2）设，若，求的值.分析（1）只需证明即可；（2）由已知条件到的值，然后再利用诱导公式得到间的关系即可求得的值.解析（1）证明：由题意得，即又因为，所以，即，故.（2）因为，所以 由此得，由，得.又，故， 代入，得，而，所以.16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面平面，过作，垂足为，点分别是棱的中点.求证：（1）平面平面； （2）.分析 （1）利用面面平行的判定定理或推论证明； （2）利用线面垂直的性质证明.解析（1）因为，垂足为， 所以是的中点.又因为是的中点，所以.因为，平面，所以.同理.又，所以.（2）因为，且交线为，又，所以.因为，所以.又因为， 所以.因为，所以.17.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 分析（1）两直线交点即为圆心，从而可得圆的方程，然后可求出切线方程； （2）由题意建立关于的方程，通过方程有解求得的取值范围.解析（1）由题设，圆心是直线和的交点，解得点， 于是切线的斜率必存在.设过的圆的切线方程为.由题意，得，解得或，故所求切线方程为或.（2）因为圆心在直线上，所以圆的方程为设点，因为，所以，化简得，即，所以点在以为圆心，为半径的圆上.由题意，点在圆上，所以圆与圆的公共点，则，即.整理，得.由，得；由，得.所以点的横坐标的取值范围为.18.（本小题满分16分）CBA如图所示，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，.（1）求索道的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟， 乙步行的速度应控制在什么范围内？分析 （1）由，的值可求得的值，然后在中利用正弦定理可求得的长度；（2）利用余弦定理将乙与甲之间的距离表示为出发时间的函数，然后求得函数的最小值，即得最短距离.（3）利用正弦定理求出的长，再根据题意列不等式求解.解析（1）在中，因为，所以.从而.由正弦定理，得.所以索道的长为.（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，所以由余弦定理得由于，即，故当时，甲、乙两游客距离最短.（3）由正弦定理，得.乙从出发时，甲已走了，还需走才能到达.设乙步行的速度为，由题意得，解得，所以为使两游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在范围内.19.（本小题满分16分）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和.记，其中为实数.（1）若，且成等比数列，证明：（）；（2）若是等差数列，证明：.分析（1）利用将表示出来，然后根据成等比数列，得到与的关系，可验证；（2）先由成等差数列，得到关于的等式，求得的值后再代入验证.解析（1）由，得.又因为成等比数列，所以，即，化简得因为，所以.因此，对于所有的，有.从而对于所有的，有.（2）设数列的公差是，则，即，代入的表达式，整理得，对于所有的，有.令，则对于所有的，有. （*）在（*）式中分别取得，从而有由得，代入方程，得，从而，即.若，则由，得，与题设矛盾，所以.又因为，所以.20.（本小题满分16分）设函数，其中为实数.（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.分析（1）通过在上恒成立，在有解求得的取值范围；（2）由在上恒成立得出的取值范围，然后对进行讨论，研究的零点.解析（1）令，考虑到的定义域为， 故，进而解得，即在上是单调减函数.同理，在上是单调增函数.由于在上是单调减增函数，故，从而，即.令，得.当时，；当时，.又在上有最小值. 所以，即.综上可知，.（2）当时，必为单调增函数；当时，令，解得，即.因为在上是单调增函数，类似（1）有，即.结合上述两种情况，得.当时，由以及，得存在唯一的零点；当时，由于，且函数在上的图象连续，所以在上存在零点. 另外，当时，故在上是单调增函数，所以只有一个零点.当时，令，解得.当时，；当时，所以，是的最大值点，且最大值为.a.当，即时，有一个零点.b.当，即时，有两个零点.实际上，对于，由于.，且函数在上的图象连续，所