2013年北京市高考数学(文)VIP

2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（文科）第卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则（ ）.A. B. C. D. 分析 根据两集合交集的定义求解.解析 因为，所以.故选B.2. 设，且，则（ ）. A. B. C. D. 分析 利用作差比较法或取特殊值排除法.解析 A项，时，由不能得到，故不正确；B项，当，（如，）时，由不能得到，故不正确；C项，由及可知当时（如，或，）均不能得到.故不正确； D项， 因为，所以可由知，即.故选D.3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）.A. B. C. D. 分析 利用偶函数的定义及函数单调性的判断方法求解.解析 A项，是奇函数，故不正确；B项，为非奇非偶函数，故不正确； C，D两项中的两个函数都是偶函数，且在上是减函数，在上是增函数，故选C.4. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限分析 利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解.解析 因为，所以复数在复平面内的对应点为，在第一象限.故选A.5. 在中， ，则（ ）. A. B. C. D. 分析 利用正弦定理求解.解析 在中，由正弦定理，得.故选B.6. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）. A. B. C. D. 分析 利用程序框图所表示的算法逐步求解.解析 当时，执行后得；当，时，执行后得,. 由于此时是成立的，因此输出.故选C.7. 双曲线的离心率大于的充分必要条件是（ ）.A. B. C. D. 分析 用表示出双曲线的离心率，并根据离心率大于建立关于的不等式求解.解析 因为双曲线的离心率，又因为，所以，所以.故选C.8. 如图所示，在正方体中，为对角线的三等分点，到各顶点的距离不同取值有（ ）. A. 个 B. 个 C. 个 D. 个分析 画出几何图形，利用空间线面关系定理定性分析.解析 如图所示，取底面的中心，连接，.因为，又,所以.又是的中点，所以.同理，取与的交点，易证，所以.又是的中点，所以,所以.同理可证.又是的三等分点， 所以，故点到正方体的顶点的不同距离有个.故选B.第II卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 若抛物线的焦点坐标为，则 ；准线方程为 .分析 根据抛物线的焦点坐标及准线方程，结合已知条件求解.解析 因为抛物线的焦点坐标为，所以准线方程为.又抛物线焦点坐标为，故，准线方程为.10. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为 .分析 将三视图还原为直观图，然后根据三视图特征及数据，利用体积公式求解.解析 由几何体的三视图可知该几何体是一个底面是正方形的四棱锥，其底面边长为，且该四棱锥的高是，故其体积为.11. 若等比数列满足，则公比 ；前项和 .分析 设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前项和公式求解析 设等比数列的首项为，公比为，则：由得 由得 由解得，故.12. 设为不等式组表示的平面区域，区域上的点与点之间的距离的最小值为 .分析 作出不等式组表示的可行域，利用数形结合思想求解.解析 不等式组表示的区域，如图阴影部分所示. 由图知点与平面区域上的点的最短距离为点 到直线的距离.13. 函数的值域为 .分析 利用指数函数、对数函数的性质求解.解析 当时，所以当时，.当时，即.因此函数的值域为.14. 已知点，若平面区域由所有满足的点组成，则的面积为 .分析 利用向量的坐标运算公式表示出点坐标满足的关系式，利用数形结合思想求解.解析 设，则.由题意知，.由知，即所以因为，所以作出不等式组表示的平面区域（如图阴影部分），由图可知平面区域为平行四边形，可求出，故.又与之间的距离为，故平面区域的面积为.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）已知函数.（1）求的最小正周期及最大值；（2）若，且求的值.分析 将变形为的形式后求其周期与最值并解三角方程，解析 （l）因为，所以的最小正周期为，最大值为.（2）因为，所以.因为， 所以.所以，故.16. （本小题共13分）下图是某市月日至日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择月日至月日中的某一天到达该市，并停留天.（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；（2）求此人在该市停留期间只有天空气重度污染的概率；（3）由图判断从哪一天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）.分析 根据图中所给数据找出空气质量优良、空气重度污染的天数求概率；根据图中数据波动情况判断方差.解析 （l）在月日至月日这天中，日，日，日，日，日，日共天的空 气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是.（2）根据题意，事件“此人在该市停留期间只有天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是日，或日，或日，或日”，所以此人在该市停留期间只有天空气重度污染的概率为. （3）从月日开始连续三天的空气质量指数方差最大.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥中，.平面底面，和分别是和的中点.求证：（1）底面；（2）平面；（3）平面平面.分析 根据面面垂直的性质证明线面垂直，根据线面平行的 判定证明线面平行，根据线面垂直的性质证明面面垂直.解析（1）因为平面，且垂直于这两 个平面的交线，所以.（2）因为，为的中点，所以，且.所以四边形为平行四边形.所以.又因为，所以.（3）因为，而且四边形为平行四边形，所以，.由（l）知，所以.所以.所以.因为和分别是和的中点，所以.所以.又因为， 所以.所以平面.18. （本小题共13分）已知函数.（1）若曲线在点处与直线相切，求与的值；（2）若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围.分析（1）求出函数在点处的导数值，根据函数在该点的切线方程求解；（2）的求解需要讨论函数的最小值与的大小.解析 由，得.（1）因为曲线在点处与直线相切，所以，.解得，.（2）令，得.与的变化情况如下：所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，是的最小值.当时，曲线与直线最多只有一个交点；当时，所以存在，使得.由于函数在区间和上均单调，所以当时曲线与直线有且仅有两个不同交点.综上可知，如果曲线与直线有两个不同交点，那么的取值范围是.19. （本小题共14分）直线与椭圆相交于两点，是坐标原点.（1）当点的左边为，且四边形为菱形时，求的长；（2）当点在上且不是的顶点时，证明：四边形不可能为菱形.分析（1）根据菱形对角线互相垂直平分及点的坐标设出点的坐标，代入椭圆方程求得点的坐标后求的长；（2）将直线方程代入椭圆方程求出的中点坐标（即的中点坐标），判断直线与是否垂直.解析（1）因为四边形为菱形，所以与互相垂直平分.所以可设，代入椭圆方程得，即.所以.（2）证明：假设四边形为菱形，因为点不是的顶点，且，所以.由消去并整理得.设，则，所以的中点为.因为为和的交点，且，所以直线的斜率为.因为，所以与不垂直.所以四边形不是菱形，与假设矛盾， 所以当点在上且不是的顶点时，四边形不可能是菱形.20. （本小题共13分）给定数列，对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，.（1）设数列为写出的值；（2）设是公比大于的等比数列，且.证明：是等比数列；（3）设是公差大于的等差数列，且，证明：是等差数列.分析（1）求，的