2013年福建高考数学(理）

2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 数学试题（理工农医类） 第卷(选择题 共50分)一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1.已知复数的共轭复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限分析 求出复数，再确定对应的点的坐标.解析 因为，所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选D.2.已知集合，则是的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 分析 利用命题的真假判断充要条件.解析 因为，所以，所以，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选A.3.双曲线的顶点到渐进线的距离等于（ ）A. B. C. D. 分析 求出双曲线的顶点和渐近线，再利用距离公式求解.解析 双曲线的渐近线为直线，即，顶点为，所以所求距离为.故选C.4.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成组：， ， ，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图. 已知高一年级共有学生名，据此估计，该模块测试成绩不少于分的学生人数为（ ）A. B. C. D. 分析 先求出频率，再求样本容量.解析 不少为分的学生的频率为，所以该模块测试成绩不少于分的学生人数应为.故选B.5.满足，且关于的方程有实数解的有序数对的个数为（ ） A. B. C. D. 分析 对进行讨论，为与不为，当不为时还需考虑判别式与的大小.解析 若，则，此时的取值有个；若，则方程有实根，需，所以，此时的取值为，共个.所以的个数为.故选B.6.阅读如图所示的程序框图，若编入的，则该算法的功能是（ ）A. 计算数列的前项和 B. 计算数列的前项和 C. 计算数列的前项和 D. 计算数列的前项和 分析 先读出程序框图的功能，再结合等比数列的通项公式求解.解析 ； ；观察得到对应数列的通项公式为. 时，时输出，说明是求前项的和.故选A.7. 在四边形中，则该四边形的面积为（ ）A. B. C. D. 分析 先利用向量的数量积证明四边形的对角线垂直，再求面积.解析 因为，所以，所以.故选C.8. 设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A B是 的极小值点 C是 的极小值点 D是 的极小值点 分析 不妨取函数，则，易判断为的极大值点，但显然不是最大值，故排除A.解析 因为，易知，为的极大值点，故排除B；又，易知，为的极大值点，故排除C；因为的图象与的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得应为函数的极小值点.故D正确.9. 已知等比数列的公比为，记，则以下结论一定正确的是（）A. 数列为等差数列，公差为 B. 数列为等比数列，公比为 C. 数列为等比数列，公比为 D. 数列为等比数列，公比为 分析 计算出，并结合等差、等比数列的概念判定数列的类型.解析 ，所以，所以是等比数列，公比为.，所以.所以是等比数列，公比为.故选C.10. 设，是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：（i）（ii）对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）.A. B. C. D. 分析 举例说明有符合条件的函数即可.解析 对于A，取，满足题意.对于B，取满足题意. 对于C，取，满足题意，排除法，选D.第卷（非选择题 共100分）2、 填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填写在答题卡的相应位置.11. 利用计算机产生之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为_.分析 选择区间长度为测试求解几何概型.解析 由题意知.事件“”发生时，取区间长度为测试， 由几何概型的概率公式得其概率.12. 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、 俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为的正方形，则该球 的表面积是 .解析 由三视图知组合体为球内接正方体，正方体的棱长为2，若球半径为， 则，所以. 所以.13. 如图所示，在中，已知点在边上， ，, 则的长为 .分析 先利用诱导公式化简三角函数，再利用余弦定理求解.解析 因为，所以在中，有， 所以，所以.14. 椭圆的左右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆 的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于_.分析 利用几何图形寻求字母之间的关系，进一步求解离心率.解析 已知，直线过点，且斜率为，所以倾斜角.因为，所以，所以.由椭圆定义知，所以离心率.15. 当时，有如下表达式：，两边同时积分得： ，从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： .分析 利用导数与定积分的关系求解，还要注意所给式子的特点以及二项式定理的应用.解析 设，所以.所以，即.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品（1） 若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为，求的概率；（2） 若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？分析（1）先判断是独立事件，再进一步用公式求解，注意对立事件的应用；（2）利用离散型随机变量 的概率分布求解，也可以直接使用二项分布求解.解析 解法一：（1）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响.记“这人的累计得分”的事件为，则事件的对立事件为“”. 因为，所以， 即这人的累计得分的概率为. （2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为，都选择方案乙抽奖中奖次数为，则这两 人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 .由已知可得，所以 ， 从而.因为， 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大. 解析二：（1）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响. 记“这人累计得分”的事件为，则事件包含“”“”“”三个两 两互斥的事件.因为，所以，即这人的累计得分的概率为. （2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为，都选择方案乙所获得的累计得分为， 则，的分布列如下： 所以，. 因为，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.17.（本小题满分13分）已知函数（1） 当时，求曲线在点处的切线方程；（2） 求函数的极值.分析（1）首先确定定义域，再利用导数求切线斜率及其方程；（2）先求出函数导数，再讨论字母的 取值以确定单调性.解析 函数的定义域为，.（1）当时，因而，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）由知：当时，函数为上的增函数，函数无极值；当时，由，解得.又当时，；当时，从而函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值.综上，当时，函数无极值；当时，函数在处取得极小值，无极大值.18.（本小题满分13分）如图，在正方形中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，分别将线段和十等分，分点分别记为和，连接，过作轴的垂线与交于点（1） 求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线的方程；（2） 过点作直线与抛物线交于不同的两点， 若与的面积之比为 ，求直线的方程分析（1）利用参数法求解曲线方程；（2）先判断直线的斜率是不是存在，再联立直线与抛物线方程， 结合一元二次方程的根与系数的关系求解直线的斜率，再求得直线方程.解析 解法一：依题意，过且与轴垂直的直线方程为，的坐标为，所以直线的方程为.设的坐标为，由得，即.所以点都在同一条抛物线上，且抛物线的方程为.（2）依题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为.由，得，此时，直线与抛物线恒有两个不同的交点.设，则因为，所以，所以.又，所以.把代入和，得解得.所以直线的方程为，即或.解法二：（1）过且与轴垂直的直线方程为，的坐标为，所以直线的方程为.由解得的坐标为.因为点的坐标都满足方程，所以点都在同一条抛物线上，且抛物线的方程为.（2）同解法一（2）.19.（本小题满分13分）如图所示，在四棱柱中，侧棱底面， （1）求证：平面（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式（直接写出答案，不必说明理由）分析（1）利用线面垂直的性质证明直线与直线垂直，再证明垂直于平面，要注意与勾股定理相结合来证明垂直；（2）建立空间直角坐标系，写出点与向量的坐标，用向量求线面角的大小.解析（1）证明：取的中点，连接，如图（1）所示.因为，所以四边形为平行四边形，所以.在中，因为，所以，所以，即.又因为，所以.因为，所以.又，所以.（2）以为原点，的方向为轴的正方向建立如图（2）所示的空间直角坐标系，则，所以，.设平面的法向量，则由得取，得.设与平面所成的角为，则，解得，故所求的值为.（3）共有种不同的方案. 20.（本小题满分14分）已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单 位长度后得到函数的图象（1）求函数与的解析式；（2）是否存在，使得按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数，若不存在，说明理由；（3） 求实数与正整数，使得在内恰有个零点.分析（1）利用三角函数的性质求解字母和的取值；（2）构造函数并利用函数的导数判断函数的单调性，同时，还需结合零点定义；（3）构造函数并利用函数的导数研究函数的性质，也要结合图象进行求解.解析 解法一：（1）由函数的周期为，得.又曲线的一个对称中心为，故，解得，所以.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，所以.（2）当时，所以.问题转化为方程在内是否有解.设，则.因为，所以，在内单调递增.又，且函数的图象连续不断，故可知函数在内存在唯一零点，即存在唯一的满足题意.（3）依题意，令.当，即时，从而不是方程的解，所以方程等价于关于的方程.现研究时方程的解的情况.令，则问题转化为研究直线与曲线的交点情况.，令，得或.当变化时，的变化情况如下表：当且趋近于时，趋向于；当且趋近于时，趋向于；当且趋近于时，趋向于；当且趋近于时，趋向于.故当时，直线与曲线在内无交点，在内有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内无交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内有个交点.由函数的周期性可知，当时，直线与曲线在内总有偶数个交点，从而不存在正整数，使得直线与曲线在内恰有2 013个交点；又当或时，直线与曲线在内有个交点，由正弦函数的周期性，所以依题意得.综上，当或时，函数在内恰有个零点.解法二：（1）（2）同解法一.（3）依题意，.现研究函数在上的零点的情况.设，则函数的图象是开口向下的抛物线.又.当时，函数有一个零点，（另一个零点，舍去），在上有两个零点，且；当时，函数有一个零点，（另一个零点，舍去），在上有两个零点，且；当时，函数有一个零点，另一个零点，在和内分别有两个零点.由正弦函数的周期性可知，当时，函数在内总有偶数个零点，从而不存在正整数满足题意.当时，函数有一个零点，另一个零点；当时，函数有一个零点，另一个零点.从而当或时，函数在上有个零点.由正弦函数的周期性，所以依题意得.综上，当或时，函数在内恰有 个零点.21. 本小题设有(1)、(2)、(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按 所做的前两题计分. (1). (本小题满分7分) 选修4-2：矩阵与变换已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线（1）求实数的值；（2）若点在直线上，且，求点的坐标. 分析 先设出直线上任一点在矩阵对应的变换作用下的像，再利用矩阵进行转换.解析 设直线上任意点在矩阵对应的变换作用下的像是.由，得又点在上，所以，即.依题意，得解得由，得解得.又点在直线上，所以.故点的坐标为.(2).(本小题满分7分) 选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上 （1）求的值及直线的直角坐标方程； （2）圆的参数方程为，试