2013年重庆高考数学(文)

2013年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（重庆卷）第卷（选择题 共50分）一、本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集，集合，则（ ）.A. B. C. D. 分析 先求出两个集合的并集，再结合补集概念求解.解析 因为，所以，所以.故选D.2. 命题“对任意，都有”的否定为（ ）.A. 对任意，都有 B. 不存在，都有 C. 存在，都有 D. 存在，使得分析 根据含有一个量词的命题进行否定的方法直接写出.解析 “”的否定是“”，故“对任意，都有”的否定是“存在，使得”.故选A.3. 函数的定义域是（ ）.A. B. C. D. 分析 利用函数有意义的条件直接运算求解.解析 由得.故选C.4. 设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ）.A. B. C. D. 分析 画出已知圆，利用数形结合求解.解析 如图所示，圆心与定直线的最短距离为，又圆的半径为，故所求最短距离为.故选B.5. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ）A. B. C. D. 分析 利用循环结构相关知识直接运算求解.解析 ；.故输出，故选C.6. 下图是某公司个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间 内的概率为（ ）.A. B. C. D. 分析 利用频率及茎叶图的知识直接运算求解.解析 由题意知，这个数据落在区间内的有，共个，所以其频率为，故选B.7. 关于的不等式的解集为，且，则（ ）.A. B. C. D. 分析 利用因式分解法解一元二次不等式寻求的关系式后代入求解.解析 由得，即，故原不等式的解集为.由得，即，所以.故选A.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）.A. B. C. D. 分析 利用三视图还原几何体，结合直观图直接运算求解.解析 由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱.等腰梯形的上底长为，下底长为，腰长为，直四棱柱的高为，所以，故选D.9. 已知函数，则（ ）. A. B. C. D. 分析 运用奇函数性质，整体换元求解.解析 因为与（即）互为倒数，所以与互为相反数.不妨令，则，而，故，故选C.10. 设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点，所成的角为的直线和 ，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 分析 借助双曲线性质求解.解析 由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于轴（或轴）对称.又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于且小于等于，即，所以.又，所以，所以，故选A.第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.ww11. 已知复数（是虚数单位），则 .分析 利用求模公式直接求解.解析 因为，所以.12. 若成等差数列，则 .分析 利用等差数列的有关知识先求出公差再运算求解.解析 由题意得该等差数列的公差，所以.13. 若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 .分析 首先写出甲、乙、丙三人站成一排的所有结果及甲、乙相邻而站的所有结果，然后将两结果 数相除可得.解析 甲、乙、丙三人随机地站成一排有、共种排法，甲、乙相邻而站有、共种排法，由概率计算公式得甲、乙两人相邻而站的概率为.14. 在为边，为对角线的矩形中，则实数 .分析 画出矩形草图，利用向量加减运算及数量积运算直接求解.解析 如图所示，由于，所以.在矩形中，由得，所以，即，解得.15. 设，不等式对恒成立，则的取值范围为 .分析 根据开口向上的二次函数定义域为时函数值非负的条件列式直接运算求解.解析 由题意，要使对恒成立，需，化简得.又，所以，解得.答案：.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. （本小题共13分）设数列满足：.（1）求的通项公式及前项和；（2）已知是等差数列，为其前项和，且，求.分析 根据等比、等差数列的通项公式及前项和公式直接运算求解.解析（1）由题设知是首项为，公比为的等比数列， 所以.（2），所以公差，故.17. （本小题共12分）从某居民区随机抽取个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，算得. （1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；（2）判断变量与之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为千元，预测该家庭的月储蓄.附：线性回归方程中，其中，为样本平均值.线性回归方程也可写为.分析 根据线性回归方程相关知识直接运算求解.解析（1）由题意知，又，由此得，故所求线性回归方程为.（2）由于变量的值随的值的增加而增加，故与之间是正相关.（3）将代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为（千元）.18. （本小题共13分）在中，内角的对边分别是，且.（1）求；（2）设为的面积，求的最大值，并指出此时的值.分析 利用正余弦定理及差角三角函数直接运算解答.解析（1）由余弦定理得. 又因为，所以.（2）由（1）得，又由正弦定理及，得 ，因此 . 所以当时，即时，取得最大值.19. （本小题共12分）如图，四棱锥中，底面，.（1）求证：平面；（2）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积.分析 运用线面垂直的性质和判定证明，利用割补法求三棱锥体积.解析 （1）证明：因为，所以为等腰三角形.又，所以.因为，所以，从而与平面内两条相交直线都垂直，所以.（2）三棱锥的底面的面积.由，得.由，得三棱锥的高为，故， 所以.20. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形储水池（不计厚度）.设该储水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为元/平方米.底面的建造成本为元/平方米，该储水池的总建造成本为元（为圆周率）（1）将表示成的函数，并求该函数的定义域；（2）讨论函数的单调性，并确定和为何值时该储水池的体积最大.分析 根据数量关系列出函数关系式，并利用导数研究函数的单调性与最值.解析（1）因为蓄水池侧面的总成本为（元），底面的总成本为元，所以蓄水池的总成本为元.又根据题意，所以，从而.因为，又由可得，故函数的定义域为.（2）因为，所以.令，解得（因为不在定义域内，舍去）.当时，故在上为增函数；当时，故在上为减函数；由此可知，在处取得最大值，此时. 即当，时，该蓄水池的体积最大.21. 如图所示，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点，.（1）求该椭圆的标准方程；（2）取平行于轴的直线与椭圆相交于不同的两点，过作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外，求的面积的最大值，并写出对应圆的标准方程.分析（1）利用离心率及点在椭圆上求出椭圆的标准方程；（2）设未知数表示出的面积，利用函数求最值解决.解析（1）由题意知点在椭圆上，则，从而.由，得，从而.故该