高等数学第二章导数与微分.ppt

第2章导数与微分,本章重点,导数与微分的概念；基本初等函数的求导公式；求导法则;导数的应用,本章难点,导数与微分的概念；复合函数的求导法则。,2.1导数的概念,2.2初等函数的导数与求导法则,2.4函数的微分及其应用,2.3中值定理与导数的应用,第2章导数与微分,2.1.1两个实例,2.1.2导数的定义,2.1.4函数的可导性与连续性的关系,2.1导数的概念,2.1.3导数的几何意义,1、变速直线运动的速度,设一质点在t轴上从某一点开始作变速直线运,动，已知运动方程为s=s(t).,记t=t0时质点的位置坐,标为s0=s(t0).,当t从t0增加到t0t时，s相应地,在t这段时间内的位移为,2.1.1两个实例,而在t时间内质点的平均速度为,随着t的减小，平均速度,就愈接近质点在时刻,t0的瞬时速度(简称速度).,但无论t取得怎样小，,平均速度总不能精确刻画质点在时刻t=t0的运动,变化率。,采取“极限”的手段：如果平均速度,时的极限存在，,当,则自然地把此极限(记为v),定义为质点在t=t0时的瞬时速度或速度:,该极限值就是t0时刻的瞬时速度v（t0）。,2、曲线的切线斜率,设曲线L的方程为,为L上的一个定点.,点P0的切线，可在,曲线上取邻近于P0的点,割线,P0P的斜率:,为求曲线y=f(x)在,算出,割线的极限位置切线位置,割线的极限位置切线位置,割线的极限位置切线位置,割线的极限位置切线位置,割线的极限位置切线位置,割线的极限位置切线位置,割线的极限位置切线位置,割线的极限位置切线位置,割线的极限位置切线位置,线P0P的极限位置,即为点P0处的切线。,2、曲线的切线斜率,变速直线运动的瞬时速度,曲线的切线斜率,导数,定义2-1,存在，则称函数y=f(x)在点x0可导，,并称此,极限值为函数y=f(x)在点x0的导数，记作,设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义.,若极限,或,2.1.2导数的定义,注1,注2,注3,若极限不存在，则称f(x)在x0不可导.,若,则称f(x)在x0的导数,为无穷大.,若令,当,时，,此即说明导数也可简述为差商的极限.,曲线y=f(x)在点x0处的切线斜率,运动方程为s=s(t)在时刻t0的瞬时速度,设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义.,若极限,存在，则称y=f(x)在点x0左可导，,且称此极限值为函数y=f(x)在点x0的左导数，,左右导数,记作,f(x)在x0可导的充要条件是：f(x)在x0既左可导,又右可导，且,即,同样可定义右导数：,导函数的概念,若函数y=f(x)在开区间I内每一点都可导，则称,f(x)在I内可导.,此时对,有导数,与之,对应，从而在I内确定了一个新的函数，称为,y=f(x)的导函数，简称导数，记为,此时导函数（简称导数）定义为,可以看作导函数,在x0的函数值，即,注,区分下面两组符号:,表示导函数,表示在x0点的左、右导数；,在x0点的,左、右极限.,根据导数定义求导，可分为如下三个步骤：,例1,解：,求常值函数c的导数.,所以,常值函数y=f(x)=c,证明：,例2,由导数定义得,证明,(a0,a1为常数）,即,例3,证明：,证明,为正整数.,令,则,即,由二项式定理,例4已知,解：,公式,求,（1）当x0时，,由导数定义,（3）x=0时，由于,所以,于是得,左右导数相等,2.1.3导数的几何意义,函数y=f(x)的在x0处的导数即为曲线C:y=f(x)在,点(x0,f(x0)的切线的斜率。,即,曲线y=f(x),切线方程为,法线方程为,例5,由导数的几何意义,得切线斜率为,切线方程为,法线方程为,解：,证明：,2.1.4函数的可导性与连续性的关系,（1）若f(x)在x0点可导，则它在x0点必连续.,f(x)在x0点可导，则,则有,所以f(x)在x0点连续.,反例：,（2）若f(x)在x0点连续，则它在x0点未必可导.,f(x)=|x|在点x00处连续但不可导.,一方面,所以f(x)在x0点连续.,另一方面,所以f(x)在x0点不可导.,导数的概念小结,2.1.1两个实例,2.1.2导数的定义,2.1.4函数的可导性与连续性的关系,2.1.3导数的几何意义,变速直线运动的瞬时速度,曲线的切线斜率,导数的本质,2.1.1两个实例,物理意义,几何意义,定义2-1,存在，则称函数y=f(x)在点x0可导，,并称此,极限值为函数y=f(x)在点x0的导数，记作,设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义.,若极限,或,2.1.2导数的定义,注1,注2,注3,若极限不存在，则称f(x)在x0不可导.,若,则称f(x)在x0的导数,为无穷大.,若令,当,时，,导数定义其它常见形式：,设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义.,若极限,存在，则称y=f(x)在点x0左可导，,且称此极限值为函数y=f(x)在点x0的左导数，,左右导数,记作,f(x)在x0可导的充要条件是：f(x)在x0既左可导,又右可导，且,即,同样可定义右导数：,导函数的概念,若函数y=f(x)在开区间I内每一点都可导，则称,f(x)在I内可导.,此时对,有导数,与之,对应，从而在I内确定了一个新的函数，称为,y=f(x)的导函数，简称导数，记为,可以看作导函数,在x0的函数值，即,平均变化率,瞬时变化率,根据导数定义求导，可分为如下三个步骤：,函数y=f(x)的在x0处的导数即为曲线C:y=f(x)在,点(x0,f(x0)的切线的斜率。,即,曲线y=f(x),切线方程为,法线方程为,2.1.3导数的几何意义,2.1.4函数的可导性与连续性的关系,（1）若f(x)在x0点可导，则它在x0点必连续.,（1）若f(x)在x0点可导，则它在x0点必连续.（2）若f(x)在x0点连续，则它在x0点不一定可导.,P58习题21,3,作业,2.1.2函数四则运算的求导法则,2.1.3反函数的求导法则,2.1.6隐函数的求导法,2.1.1几个基本初等函数的导数,2.1.4复合函数的求导法则,2.1.7对数求导法,2.1.8高阶导数,2.1.5基本初等函数的求导公式,2.2初等函数的导数与求导法则,例1,解：,求常值函数c的导数.,对于常值函数f(x)=c的导数.,恒有,从而有,即,2.1.1几个基本初等函数的导数,证明：,例2,由导数定义得,证明,(a0,a1为常数）,即,例3,证明：,由二项式定理,推广：,证明,为正整数.,令,则,因此,即,例4,解,例5,解,定理,2.1.2函数四则运算的求导法则,推论,例1,解,例2,解,例3,解,同理可得,例4,解,同理可得,注意:,分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.,例5,解,1.常数和基本初等函数的导数公式,初等函数的导数小结,2.函数的和、差、积、商的求导法则,定理2-5,即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,2.1.3反函数的求导法则,例1,解,同理可得,例2,解,特别地,定理2-6,即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),2.1.4复合函数的求导法则,推广,例3,解,例4,解,例5,解,例6,解,例7,解,例8,解,例9,解,复合函数的求导法则,任何初等函数的导数都可以按基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出.,反函数的导数等于直接函数导数的倒数,小结,注意:初等函数的导数仍为初等函数.,作业,P58习题2第4题的双号题,定义:,隐函数的显化,2.1.6隐函数的求导法,例,（显化）,（不能显化）,隐函数求导法则:,把隐函数（y）看成自变量（x）的复合函数，用复合函数求导法则:,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,方程两边直接对自变量（x）求导.,例1,解,解得,例2,解,所求切线方程为,显然通过原点.,2.1.7对数求导法,观察函数,方法:,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,适用范围:,例3,解,等式两边取对数得,解,等式两边取对数得,例4,1.高阶导数的定义,问题:变速直线运动的加速度.,定义,2.1.8高阶导数,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,2.高阶导数求法举例,例5,解,直接法:,由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,解,例6,解,例7,解,同理可得,例8,例9,解,两边取对数,对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,隐函数求导法则,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,小结,高阶导数,记作,二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数),作业,导数的应用,P58习题25(1)(3);6(4)(5)(6);7(3)(4);8.,2.1导数的概念,2.2初等函数的导数与求导法则,2.4函数的微分及其应用,2.3中值定理与导数的应用,第2章导数与微分,2.3中值定理与导数的应用,一、拉格朗日(Lagrange)中值定理,二、洛必达法则,三、函数的单调性和极值,五、函数曲线的凹凸性与拐点,七、函数图形的描绘,六、函数曲线的渐近线,四、函数的最大值与最小值,定理2-7（罗尔（Rolle）中值定理）,若f(x)满足：,（1）在a,b上连续，,（2）在(a,b)内可导，,（3）f(a)=f(b)，,则至少存在一点,使得,一、拉格朗日(Lagrange)中值定理,罗尔中值定理的几何意义,在两端高度相同的一段连续曲线上，,若除端点,外它在每一点都有不垂直于x轴的切线，,则在其中,必至少有一条切线平行于x轴.,定理2-8（拉格朗日(Lagrange)中值定理）,几何解释:,注,论.因此，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的,一个特殊情形.,若f(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理的条,件，则当f(a)=f(b)时，即得出罗尔中值定理的结,推论1,推论2,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,#,定义,例如,二、洛必达法则,定理2-9(洛必达法则)设满足,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,例5,解,例6,解,注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，与其它求极限方法结合使用，效果更好.,例7,解,例8,解,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型,步骤:,例9,解,步骤:,步骤:,例10,解,例11,解,例12,解,例13,解,极限不存在,洛必达法则失效。,注意：洛必达法则的使用条件,#,(一)函数的单调性,定理2-10,三、函数的单调性和极值,证,应用拉氏定理,得,例1,解,例2,解,单调区间为,单调区间求法,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,例3,解,单调区间为,例3,解,列表讨论：,1,2,0,0,+,+,单调区间为,函数的定义域为,例4,解,#,0,0,+,列表讨论：,（二）函数的极值,定义2-3,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点,函数极值的求法,定理2-11(必要条件),定义,注意:,例如,定理2-12(第一充分条件),极小值,极大值,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点。,不是极值点情形,函数的驻点和不可导点,统称为函数极值的可疑点。,求极值的步骤:,极值的可疑点,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,例2,解,定理2-13（极值的第二充分条件）,注,设f(x)在x0二阶可导，且,（1）若,则f(x)在x0取得极大值；,（2）若,则f(x)在x0取得极小值.,若,则x0是不是极值，,需要另行考虑.,证,例3,解,图形如下,注意:,例3,解：,试问a为何值时，函数,在,处取得极值？它是极大值还是极小值？求此,极值.,由假设知,由此可得,即a=2.,又当a=2时，,且,所以f(x)在,处取得极大值，,且极大值,#,小结,一、拉格朗日(Lagrange)中值定理,二、洛必达法则,(一)单调性,定理1,三、函数的单调性和极值,单调区间求法,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,定理2(第一充分条件),定理3(第二充分条件),求极值的步骤:,极值的可疑点,求函数的单调区间和极值的步骤:,极值的可疑点,#,P58习题210(1)(2)(5)(7)(8)1112(2)(4)13,作业,2.1导数的概念,2.2初等函数的导数与求导法则,2.4函数的微分及其应用,2.3中值定理与导数的应用,第2章导数与微分,2.3中值定理与导数的应用,一、拉格朗日(Lagrange)中值定理,二、洛必达法则,三、函数的单调性和极值,五、函数曲线的凹凸性与拐点,七、函数图形的描绘,六、函数曲线的渐近线,四、函数的最大值与最小值,定理2-9(洛必达法则)设满足,(一)单调性的判别法,定理2-10,三、函数的单调性和极值,（二）单调区间求法,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,定义2-3,（三）函数极值的定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,（四）函数极值的求法,定理2-11(必要条件),定义,定理2-12(第一充分条件),函数的驻点和不可导点,统称为函数极值的可疑点。,求极值的步骤:,极值的可疑点,求函数的单调区间和极值的步骤:,极值的可疑点,例1,解：,求,的极值点与极值.,在,内连续，,当x0时，有,令,得驻点x=1.,又当x=0时，函数的导数不存在.,列表讨论如下：,不存在,故得函数f(x)的极大值点x=0，极大值f(0)=0；,极小值点x=1，极大值f(1)=3.,极大值,极小值,#,定理2-13（极值的第二充分条件）,注,设f(x)在x0二阶可导，且,（1）若,则f(x)在x0取得极大值；,（2）若,则f(x)在x0取得极小值.,若,则x0是不是极值，,需要另行考虑.,解：,试问a为何值时，函数,在,处取得极值？它是极大值还是极小值？求此,极值.,由假设知,由此可得,即a=2.,又当a=2时，,且,所以f(x)在,处取得极大值，,且极大值,#,P5913,四、函数的最大值与最小值,最值的取法分以下两种情况：,（1）f(x)的最值在(a,b)内取得，则这个最值,（2）f(x)的最值在边界点x=a,b处取得.,显然为f(x)的极值；,于是，可以通过比较极值点与边界点处的取值,来确定最值.,取得，所以也可以直接比较驻点，不可导点与边界,点处的取值来确定最小值与最大值.,又由极值点只可能在驻点与不可导点处,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),应用举例,例2,解,计算,比较得,例3,解:,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,（一）曲线凹凸的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,五、函数曲线的凹凸性与拐点,定义2-4,如图所示：,（二）曲线凹凸的判定,定理2-14,例1,解,注意到,求拐点和凹凸区间的步骤,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,例3,解,#,凹凸性小结,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,注意:最值与极值的区别,最值是整体概念。,注意使用条件,曲线的弯曲方向凹凸性;,改变弯曲方向的点拐点。,凹凸性的判定；,接六渐进线,P59习题216,18,20(1)(3),作业,2.3中值定理与导数的应用,一、拉格朗日(Lagrange)中值定理,二、洛必达法则,三、函数的单调性和极值,五、函数曲线的凹凸性与拐点,七、函数图形的描绘,六、函数曲线的渐近线,四、函数的最大值与最小值,直线L称为曲线C的渐近曲线是指：曲线上的点,P沿曲线无限远离原点时，点P与直线的距离趋于0.,一般来说,渐近线可分为:斜渐近线,与垂直渐近线,水平渐近线,如下图所示：,六、函数曲线的渐近线,1.铅直渐近线,2.水平渐近线,六、函数曲线的渐近线,3.斜渐近线,斜渐近线求法:,注意:,例1,解,图形,#,七、函数图形的描绘,利用函数特性描绘函数图形.,第二步,第三步,第一步,求出函数的定义域,判断奇偶性、周期性；,第六步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;,第五步,例2,解,列表讨论如下：,作函数,的图形.,函数的定义域为,令,得x=2或1；,令,得x=2.,：单增凸；,：单减凸；,又,又因为,所以x=1是曲线的垂直渐近线.,综合上述讨论，作出函数的图形,如下图所示:,故,是斜渐近线.,当x=0时，y=1；,当y=0时，,再补充坐标轴上的点,#,本次课小结,六、函数曲线的渐近线,七、函数图形的描绘,1.铅直渐近线,2.水平渐近线,3.斜渐近线,2.3中值定理与导数的应用,函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.,最大值,最小值,极大值,极小值,拐点,凹的,凸的,单增,单减,#,P60习题222,23(1)(3),作业,2.1导数的概念,2.2初等函数的导数与求导法则,2.4函数的微分及