2013年福建高考数学(文)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文史类）第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数的（为虚数单位）在复平面内的点位于（ ）.A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限分析 找出复数对应的点的坐标，再确定位置.解析 在复平面内对应的点为，它位于第三象限.故选C.2设点则是“点在直线上”的（ ）.A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件分析 利用命题的真假，判断充要条件.解析 当且时，满足方程，即点在直线上.点 在直线上，但不满足且，所以“且”是“点在直线上”的 充分而不必要条件.故选A.3若集合的子集个数为（ ）.A B C D分析 先求出，再列出子集.解析 ，其中子集有共个.故选C.4双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（ ）.A B C D分析 求出双曲线的顶点和渐近线，再利用点到直线的距离公式求解.解析 双曲线的顶点坐标为，渐近线为，所以，所以顶点渐近线的距离为.故选B.5函数（ ）.分析 根据函数图象上的特殊点及奇偶性，利用排除法判断.解析 ，当时，即过点，排除B，D.因为，所以是偶函数，其图象关于轴对称， 故选A.6若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为（ ）.A B C D分析 作出可行域，通过目标函数线的平移寻求最优解.解析 作出可行域如图阴影部分.作直线，并向右上平移，过点时取最小值，过点时取最大值，可求得，所以，.故选B.7若则的取值范围是（ ）.A B C D分析 利用基本不等式转化为关于的不等式，求解不等式即可.解析 因为，所以，所以，所以，即.故选D.8 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数后，输出的，那么的值为（ ）. A B. C. D.分析 先读出框图的计算功能，再结合等比数列求和公式求解.解析 框图功能为求和，即. 由于，所以，所以，所以，即求前项和. 所以判断框内的条件为，即.故选B.9将函数个单位长度后得到函数 的图像，若的图像都经过点则的值可以是（ ）.A B C D分析 先求出解析式中的字母的聚取值，再利用代入法确定答案.解析 因为在的图像上，所以.因为，所以，所以，所以.因为，所以.验证，时，成立.故选B.10在四边形则该四边形的面积为（ ）.A B C D分析 先利用向量的数量积证明四边形的对角线垂直，再求面积.解析 因为，所以， 所以.故选C.11已知之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为若某同学根据上表中的前两组数据求得的直线方程为则以下结论正确的是（ ）.A B C D分析 根据所给数据求出直线方程和回归直线方程的系数，并比较大小.解析 由，求.，.求时，所以， 所以，.故选C.12设函数的定义域为，的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）.A B是 的极小值点 C是 的极小值点 D是 的极小值点 分析 不妨取函数，则，易判断为的极大值点，但显然不是最大值，故排除A.解析 因为，易知，为的极大值点，故排除B；又，易知，为的极大值点，故排除C；因为的图象与的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得应为函数的极小值点.故D正确.第II卷（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 已知函数 .分析 分步求函数值，先内后外.解析 因为，所以，所以.14. 利用计算机产生之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为 .分析 选择区间长度为测试求解几何概型.解析 已知，事件“”发生时，取区间长度为测度，由几何概型得 其概率为.15. 椭圆的左、右焦点分别为焦距为 若直线 与椭圆的一个交点满足则该椭圆的离心率等于 .分析 利用几何图形寻求字母之间的关系，进一步求解离心率.解析 已知，直线过点，且斜率为，所以倾斜角.因为，所以，所以.由椭圆定义知， 所以离心率.16设，是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：（i）（ii）对任意当时，恒有那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下对集合：其中，“保序同构”的集合对的序号是_.（写出“保序同构”的集合对的序号）.分析 举例说明有符合条件的函数即可.解析 取，符合题意.取，符合题意.取，符合题意.答案：.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）已知等差数列的公差，前项和为.（1）若成等比数列，求；（2）若，求的取值范围.分析（1）利用等比中项求解；（2）利用通项公式与求和公式将不等式转化为含有首项的不等式求解.解析（1）因为数列的公差，且成等比数列，所以，即，解得.（2）因为数列的公差，且，所以，即，解得.18（本小题满分12分）如图所示，在四棱柱中，（1）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；（2）若为的中点，求证：求二面角（3）求三棱锥的体积.分析（1）利用直线与平面垂直的性质结合平面几何知识求解；（2）利用线面平行的判定与性质求解 （3）利用三棱锥体积公式求解.解析 解法一：（1）在梯形中，如图（1）所示，过点作，垂足为.由已知得，四边形为矩形，.在中，由，依勾股定理得，从而.又而在中，由，得.正视图如图（2）所示. （2）如图（3）所示，取的中点，连接.在中，因为是的中点，所以.又，所以，所以四边形为平行四边形，所以.又，所以.（3），所以，所以.解法二：（1）同解法一.（2）如图（4）所示，取的中点，连接.在梯形中，且，所以四边形为平形四边形，所以.又，所以.又在中，所以.又，所以.又，所以. （3）同解法一.19（本小题满分12分）某工厂有周岁以上（含周岁）工人300名，周岁以下工人名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“周岁以上（含周岁）”和“周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为组：分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）从样本中日平均生产件数不足件的工人中随机抽取人，求至少抽到一名“周岁以下组”工人的概率；（2）规定日平均生产件数不少于件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：注：此公式也可以写成周岁以上组 周岁以下组分析 （1）利用列举列出基本事件，结合古典概型求解；（2）利用独立性检验公式计算求解.解析 （1）由已知得，样本中有周岁以上组工人名，周岁以下组工人名.所以，样本中日平均生产件数不足件的工人中，周岁以上组工人有（人），记为；周岁以上组工人有（人），记为.从中随机抽取名工人，所有的可能结果共有种，它们是：.其中，至少有名“周岁以下组”工人的中能结果共有种，它们是：.故所求的概率.（2）由频率分布直方图可知，在抽取的名工人中，“周岁以上组”中的生产能手（人），“周岁以下组”中的生产能手（人），据此可得列联表如下：生产能手非生产能手合计周岁以上组周岁以下组合计所以得.因为，所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.20（本小题满分12分）如图所示，抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，以为圆心，为半径作圆，设圆与准线交于不同的两点（1）若点的纵坐标为，求；（2）若，求圆的半径.分析（1）利用抛物线的准线结合直角三角形求解；（2）利用圆心在曲线上设出坐标并建立圆的方程，同时还需要考虑直线与圆的位置关系.解析（1）抛物线的准线的方程为.由点的纵坐标为，得点的坐标为，所以点到准线的距离.又，所以.（2）设，则圆的方程为，即.由，得.设，则由，得，所以，解得，此时.所以圆心的坐标为，从而即圆的半径为.21.如图所示，在等腰直角中，点在线段上.（1）若，求的长；（2）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值. 分析（1）利用余弦定理求解；（2）先利用正弦定理求解，再利用函数的最值求解，要注意角的取值范围.解析（1）在中，由余弦定理得，得，解得.（2）设，在中，由正弦定理，得，所以，同理.故.因为，所以当时， 的最大值为，此时的面积取到最小值，即时， 的面积的最小值为.22.已知函数（为自然对数的底数）.（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（2）求函数的极值；（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.分析（1）利用导数求切线斜率；（2）讨论字母的取值；（3）先构造函数再结合函数的零点存在性定理求解.解析 解法一：（1）由，得.又曲线在点处的切线平行于轴，得，即，解得.（2）当时，为上的增函数，所以函数无极值.当时，得.，；，所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且极小值为，无极大值.综上，当时，函数无极值；（3）当时，.令，则直线与曲线没有公共点，等价方程在上没有实数解.假设，此时，.又函数的图象连续不断，由零点存在性定理，可知在上至少有一个解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故.又时，