高考物理选修知识点知识讲解_带电粒子在磁场中的运动 基础

带电粒子在磁场中的运动 编稿：周军审稿：隋伟【学习目标】1掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的特点和解决此类运动的方法2理解质谱仪和回旋加速器的工作原理和作用【要点梳理】要点一：带电粒子在匀强磁场中的运动要点诠释： 1运动轨迹 带电粒子（不计重力）以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场中： （1）当vB时，带电粒子将做匀速直线运动； （2）当vB时，带电粒子将做匀速圆周运动； （3）当v与B的夹角为（0，90，180）时，带电粒子将做等螺距的螺旋线运动 说明：电场和磁场都能对带电粒子施加影响，带电粒子在匀强电场中只在电场力作用下，可能做匀变速直线运动，也可能做匀变速曲线运动，但不可能做匀速直线运动；在匀强磁场中，只在磁场力作用下可以做曲线运动但不可能做变速直线运动 2带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 如图所示，带电粒子以速度v垂直磁场方向入射，在磁场中做匀速圆周运动，设带电粒子的质量为m，所带的电荷量为q（1）轨道半径：由于洛伦兹力提供向心力，则有，得到轨道半径 （2）周期：由轨道半径与周期之间的关系可得周期 说明：（1）由公式知，在匀强磁场中，做匀速圆周运动的带电粒子，其轨道半径跟运动速率成正比 （2）由公式知，在匀强磁场中，做匀速圆周运动的带电粒子，周期跟轨道半径和运动速率均无关，而与比荷成反比注意：与是两个重要的表达式，每年的高考都会考查但应用时应注意在计算说明题中，两公式不能直接当原理式使用要点二：带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的问题分析要点诠释： 1分析方法 研究带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的问题，应遵循“一找圆心，二找半径R=mvqB，三找周期T=2mBq或时间”的基本方法和规律，具体分析为： （1）圆心的确定带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关键首先，应有一个最基本的思路：即圆心一定在与速度方向垂直的直线上通常有两种确定方法： 已知入射方向和出射方向时，可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点，O为轨道圆心） 已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图乙所示，P为入射点，M为出射点，O为轨道圆心） （2）运动半径的确定： 作入射点、出射点对应的半径，并作出相应的辅助三角形，利用三角形的解析方法或其他几何方法，求解出半径的大小，并与半径公式联立求解 （3）运动时间的确定 粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为时，其运动时间可由下式表示：（或）可见粒子转过的圆心角越大，所用时间越长 2有界磁场 （1）磁场边界的类型如图所示 （2）与磁场边界的关系 刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切 当速度v一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长 当速率v变化时，圆周角越大的，运动的时间越长 （3）有界磁场中运动的对称性 从某一直线边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等； 在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出 3解题步骤 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法三步法： （1）画轨迹：即确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹 （2）找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系 （3）用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式注意：（1）带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角叫做偏向角，偏向角等于圆弧轨道对应的圆心角，即，如图所示（2）圆弧轨道所对圆心角等于PM弦与切线的夹角（弦切角）的2倍，即，如图所示要点三：质谱仪要点诠释： （1）构造 质谱仪由粒子注入器、加速电场、速度选择器、偏转电场和照相底片组成，如图所示 （2）工作原理 加速：， 偏转：， 由以上两式得：粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径。 可见从粒子打在底片上的位置可以测出圆周半径r，进而可以算出粒子的比荷或算出它的质量（3）应用：测定带电粒子的质量和分析同位素要点四：回旋加速器要点诠释：（1）构造：回旋加速器是用磁场控制较适用电场进行加速的仪器它由两个中空的半圆金属盒构成，两盒间留有缝隙置于真空中，如图所示（2）工作原理 回旋加速器的工作原理如图所示放在A0处的粒子源发出一个带正电的粒子，它以某一速率v0垂直进入匀强磁场中，在磁场中做匀速圆周运动经过半个周期，当它沿着半圆A0A1时，我们在A1A1处设置一个向上的电场，使这个带电粒子在A1A1处受到一次电场的加速，速率由v0增加到v1，然后粒子以速率v1在磁场中做匀速圆周运动我们知道，粒子的轨道半径跟它的速率成正比，因而粒子将沿着增大了的圆周运动又经过半个周期，当它沿着半圆弧A1A2到达A2时，我们在A2A2处设置一个向下的电场，使粒子又一次受到电场的加速，速率增加到v2如此继续下去，每当粒子运动到A1A1、A3A3等处时都使它受到一个向上电场的加速，每当粒子运动到A2A2、A4A4等处时都使它受到一个向下电场的加速，那么，粒子将沿着图示的螺旋线回旋下去，速率将一步一步地增大 （3）回旋加速器的旋转周期 在A、A间处加一个交变电场，使它的变化周期等于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期，就可以保证粒子每经过A、A时都正好赶上适合的电场方向而被加速 （4）带电粒子的最终能量 当带电粒子的速度最大时，其运动半径也最大，由牛顿第二定律，得，若D形盒的半径为R，则r=R，带电粒子的最终动能 说明：（1）使带电粒子在回旋加速器的金属盒中运动，是利用了金属盒的静电屏蔽作用，不受外界电场干扰，带电粒子在金属盒内只受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动 （2）回旋加速器中所加交变电压的频率为f，与带电粒子做匀速圆周运动的频率相等： （3）要使粒子射出的动能增大，就要使磁场的磁感应强度B以及D形盒的半径R增大，而与加速电压U的大小无关（U0）加速电压的高低只会影响带电粒子加速的总次数，并不影响回旋加速后的最大动能 （4）带电粒子在回旋加速器中的运行时间t等于带电粒子在磁场中的回旋时间t磁与在电场中的加速时间t电之和，即（式中n为回旋圈数，d为两D形盒的缝隙，R为Q形盒的半径），因为两半圆形D型金属盒之间的缝隙很小，故带电粒子在电场中的加速时间可以忽略不计，故 （5）回旋加速器加速的带电粒子，能量达到25 MeV30 MeV后就很难再加速了原因是按照狭义相对论，粒子的质量随着速度的增大而增大而质量的变化会导致其回旋周期的变化，从而破坏了与电场变化周期的同步要点五：“电偏转”与“磁偏砖”的区别 所谓“电偏转”与“磁偏转”是指分别利用电场和磁场对运动电荷施加作用，从而控制其运动方向，但电场和磁场对电荷的作用特点不同，因此这两种偏转有明显的差别类型比较垂直电场线进入匀强电场（不计重力）电偏转垂直磁感线进入匀强磁场（不计重力）磁偏转受力情况电场力F=Eq，大小、方向不变洛伦兹力F=Bqv，大小不变，方向随v而改变运动类型类似平抛运动匀速圆周运动或其一部分运动轨迹抛物线圆或圆的一部分运动图示求解方法处理横向偏移y和偏转角要通过类似平抛运动的规律求解横向偏移y和偏转角要结合圆的几何关系通过对圆周运动的讨论求解运动的变化电场力与速度的夹角越来越小，动能不断增大，并增大得越来越快洛伦兹力不做功，所以动能保持不变【典型例题】类型一、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 例1、 质子（）和粒子（）从静止开始经相同的电势差加速后垂直进入同一匀强磁场做圆周运动，则这两个粒子的动能之比Ek1Ek2=_，轨道半径之比r1r2=_，周期之比T1T2=_ 【答案】 12 1 12 【解析】 本题考查了带电粒子经电场加速后进入匀强磁场做匀速圆周运动的问题 粒子在电场中加速时，只有电场力做功，由动能定理得 故 由得 又由牛顿第二定律，设粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动，则 故圆周半径 所以 粒子做圆周运动的周期 故 【点评】 关于带电粒子在匀强磁场中的运动问题，应注意以下三点： （1）带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，即得，； （2）带电粒子在磁场中运动的周期与速度无关；（3）洛伦兹力永不做功，粒子运动的速率大小不变举一反三【高清课程：带电粒子在磁场中的运动 例2】【变式】两个粒子，带电量相等, 在同一匀强磁场中只受磁场力而作匀速圆周运动（ ） A、若速率相等，则半径必相等 B、若质量相等，则周期必相等 C、若动量相等，则半径必相等 D、若动能相等，则周期必相等【答案】BC类型二、 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时间的计算例2、如图所示，一束电子（电荷量为e）以速度v垂直射入磁感应强度为B，宽度为d的匀强磁场中，穿过磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角为30，则电子的质量是_，穿入磁场的时间是_【答案】 【解析】电子在磁场中运动，只受洛伦兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为F洛v，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛伦兹力方向的交点上，如图中O点。由几何知识可知，所对圆心角，OB为半径r。，又由得。由于所对圆心角是30，因此穿过磁场区域的时间，由于，故。【点评】对带电粒子的匀速圆周运动的求解，关键是画出匀速圆周运动的轨迹，利用几何知识找出圆心及相应的半径，从而找到圆弧所对应的圆心角。举一反三【变式1】一个负离子，质量为m，电荷量大小为q，以速率v垂直于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中，如图所示。磁感应强度B的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图中纸面向里。（1）求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离。（2）如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P，证明：直线OP与离子入射方向之间的夹角跟t的关系是。 【解析】（1）离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动。设圆半径为r，则据牛顿第二定律可得：，解得。如图所示，离子回到屏S上的位置A与O点的距离为：AO=2r，所以。（2）当离子到位置P时，圆心角：,因为，所以。【高清课程：带电粒子在磁场中的运动 例4】【变式2】如图所示，在直线MN的右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里。电子(电量e、质量m)以速度v从MN上的孔A，垂直于MN方向射入匀强磁场，途经P点，并最终打在MN上的C点、已知AP连线与速度方向的夹角为，不计重力。求（1）A、C之间的距离（2）从A运动到P点所用的时间。【答案】 类型三、带电粒子在有界磁场中运动的临界问题例3、一磁场宽度为L，磁感应强度为B，如图所示，一电荷质量为m，带电荷量为q，不计重力，以一速度（方向如图）射入磁场。若不使其从右边界飞出，则电荷的速度应为多大？【答案】 【解析】若要粒子不从右边界飞出，则当达到最大速度时，半径最大，此时运动轨迹如图所示，即轨迹恰好和右边界相切。由几何关系可求得最大半径r，即.所以 。由牛顿第二定律得。所以 。【点评】解答此类问题的关键是画出粒子的轨迹，定出圆心，并根据粒子进入磁场时的初始条件和射出条件找到极值（边界）条件。确定半径时要用到几何知识，且根据边角关系来确定。类型四、带电粒子在匀强磁场中运动的边界问题例4、如图甲所示，在x轴的上方（y0）存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m，电荷量为q的正离子，速率都为v，对那些在xy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的最大值为x=_，y=_。【答案】 【解析】根据左手定则可以判断出：正离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，其偏转方向为顺时针方向，射到y轴上最远的离子是沿x轴负方向射出的离子。而射到x轴上最远的离子是沿y轴正方向射出的离子。这两束离子可能到达的最大x、y值恰好是圆周的直径，如图乙所示。【点评】粒子在磁场中做匀速圆周运动时到达的最远点在以入射点为圆心，以轨道的直径为半径的圆周上。边界上的入射状态或某些特殊放射方向，往往决定着带电粒子的运动范围（或边界）。例本题中，沿x轴负方向射入的粒子和沿着y轴正方向射入的粒子，决定着它在y方向和x方向上到达的最远点。类型五、带电粒子进入圆形磁场中运动例5、电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏技术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图甲所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度，此时磁场的磁感应强度B应为多少？【答案】【解析】题目选取一个现实问题，解题的关键是根据题意作图，如图所示。电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心为C，半径为R。以v表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表示电子的质量和电荷量，则 , 又有由以上各式解得。【点评】带电粒子射入圆形匀强磁场区域时，入射方向和粒子离开磁场时的方向存在着对称性。由数学的知识可以证明：粒子沿着圆形区域半径的方向入射必将沿着半径的方向射出！一般地说入射方向与圆形磁场的半径成多大的角，则出射方向也与半径成多大的角。类型六、带电粒子在匀强磁场中的偏转例6、一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于x轴以速度v从y轴上的a点进入图中第一象限所示的区域，为了使该质点能从x轴上b点以垂直于x轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面，磁感强度为B的匀强磁场，若此磁场仅分布在一个圆形内，试求这圆形磁场区域的最小半径（重力忽略不计）。 【答案】【解析】粒子运动速度方向转过90角，所以粒子必在磁场中转过圆弧，并且圆弧半径必为，圆弧轨迹与过a点且与y轴相垂直的直线和过b点与x轴相垂直的直线相切。分别过a点和b点作平行于x轴和y轴的两条直线，它们与粒子圆弧轨迹相切于a和b，则实线为粒子在磁场中运动的轨迹，如图所示。为保证在磁场内，并且磁场区域为最小的圆，显见磁场区域应以连线为其直径，如图中的虚线圆所示。所示，磁场圆形区域半径的数学表达式为：。【点评】数学知识的灵活运用是解决本题的关键。不能认为粒子从a到b点始终在磁场中运动。类型七、关于回旋加速器的计算分析例7、回旋加速器是用来加速一群带电粒子使它获得很大动能的仪器，其核心部分是两个D形金属扁盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以便在盒间窄缝中形成匀强电场，使粒子每穿过狭缝都得到加速，两盒放在匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射出的粒子电荷量为q，质量为m，粒子最大回旋半径为Rmax，其运动轨迹如图，问：（1）盒内有无电场？（2）粒子在盒内做何种运动？（3）所加交流电频率应是多大，粒子角速度为多大？（4）粒子离开加速器时速度为多大，最大动能为多少？（5）设两D形盒间