高考物理选修知识点知识讲解 简谐运动的回复力和能量、单摆 基础

简谐运动的回复力和能量、单摆编稿：张金虎 审稿：李勇康 【学习目标】1掌握简谐运动的动力学特征，明确回复力的概念。2知道简谐运动是一种没有能量损耗的理想情况。3理解简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。4知道什么是单摆。5理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。6知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。【要点梳理】要点一、简谐运动的回复力、能量 1回复力物体振动时受到的回复力的方向总是指向平衡位置，即总是要把物体拉回到平衡位置的力称为回复力 要点诠释：（1）负号表示回复力的方向是与位移方向相反（2）为与的比例系数，对于弹簧振子，为劲度系数（3）对水平方向振动的弹簧振子，回复力由弹簧的弹力提供；对竖直方向振动的弹簧振子，回复力由弹簧的弹力与重力两力的合力提供（4）物体做简谐运动到平衡位置时，回复力为（但合力可能不为）（5）回复力大小随时间按正弦曲线变化2简谐运动的能量 （1）弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，即振动过程中机械能守恒 （2）水平方向的振子在平衡位置的机械能以动能的形式出现，势能为零；在位移最大处势能最大，动能为零 （3）简谐运动中系统的动能与势能之和称为简谐运动的能量，即。 （4）简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能量越大 （5）在振动的一个周期内，动能和势能间完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小要点二、简谐运动的特征 1物体做简谐运动的三个特征 （1）振动图像是正弦曲线； （2）回复力满足条件；（3）机械能守恒2简谐运动的判定方法 （1）简谐运动的位移一时间图像是正弦曲线或余弦曲线 （2）故简谐运动的物体所受的力满足，即回复力与位移成正比且方向总相反（3）用判定振动是否是简谐运动的步骤： 对振动物体进行受力分析； 沿振动方向对力进行合成与分解；找出回复力，判断是否符合要点三、简谐运动的运动特点1简谐运动的加速度分析方法简谐运动是一种变加速的往复运动，由知其加速度周期性变化，“”表示加速度的方向与振动位移的方向相反，即总是指向平衡位置，的大小跟成正比2简谐运动的运动特点物体位置位移回复力加速度速度势能动能方向大小方向大小方向大小方向大小平衡位置O最大位移处M 指向M指向O指向O指向M指向O指向O指向M指向M指向O指向O指向O 通过上表不难看出：位移、回复力、加速度三者同步变化，与速度的变化相反通过上表可看出两个转折点：平衡位置点是位移方向、加速度方向和回复力方向变化的转折点；最大位移处是速度方向变化的转折点还可以比较出两个过程的不同特点，即向平衡位置靠近的过程及远离平衡位置的过程的不同特点：靠近点时速度大小变大，远离点时位移、加速度和回复力大小变大 3弹簧振子在光滑斜面上的振动光滑斜面上的小球连在弹簧上，把原来静止的小球沿斜面拉下一段距离后释放，小球的运动是简谐运动 分析如下：如图所示，小球静止时弹簧的伸长量为，往下拉后弹簧相对于静止位置伸长时，物体所受回复力 由此可判定物体是做简谐运动的要点四、单摆 1单摆单摆指在一条不可伸长的，又没有质量的线的下端系一质点所形成的装置单摆是实际摆的理想化的物理模型实际摆可视为单摆的条件：细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略 一个很轻的细线系着一个有质量的质点，这个模型叫做单摆在实验室里，如果悬挂物体的细线的伸缩和质量可以忽略，细线的长度比物体的直径大得多，这样的装置就叫做单摆 单摆做简谐运动的条件：小球摆到最高点时，细线与竖直方向的夹角叫偏角偏角很小时，单摆做简谐运动2单摆做简谐运动的回复力 单摆做简谐运动的回复力是由重力沿圆弧切线的分力提供（不要误认为是摆球所受的合外力）当很小时，圆弧可以近似地看成直线，切线的分力可以近似地看做沿这条直线作用，这时可以证明 可见，在偏角很小的情况下，单摆振动时回复力跟位移成正比而方向相反，是简谐运动3单摆的周期公式 荷兰物理学家惠更斯发现在偏角很小的情况下，单摆的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，而跟摆球的质量和振幅无关，即 式中为悬点到摆球球心间的距离，为当地的重力加速度（1）单摆的等时性：往振幅较小时，单摆的周期与单摆的振幅尤天，单摆的这种性质叫单摆的等时性（2）单摆的周期公式：由简谐运动的周期公式，对于单摆，所以周期为的单摆，叫做秒摆，由周期公式得秒摆的摆长4单摆的应用 （1）计时器：利用单摆周期与振幅无关的等时性，制成计时仪器，如摆钟等由单摆周期公式知道，调节单摆摆长即可调节钟表快慢（2）测定重力加速度：把单摆周期公式变形，得由此可知，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以测出当地的重力加速度。5圆锥摆如图所示，用细线悬吊小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，即细线所扫过的面为圆锥面，通常我们称为圆锥摆，实质上圆锥摆中的小球不是振动，是匀速圆周运动 设运动过程中细线与竖直方向夹角为，线长为，则小球做圆周运动的半径，向心力由，得圆锥摆的周期显然该周期小于单摆周期，所以在用单摆测重力加速度的实验中，强调摆球必须在竖直面内摆动【典型例题】类型一、对简谐运动的理解例1弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中（ ） A振子所受的回复力逐渐增大 B振子的位移逐渐增大 C振子的速度逐渐减小 D振子的加速度逐渐减小 【思路点拨】回复力变化时，应始终抓住这一关系【答案】D【解析】该题考查的是回复力、加速度、速度随位移的变化关系，应根据牛顿第二定律进行分析当振子向平衡位置运动时，位移逐渐减小，而回复力与位移成正比，故回复力也减小由牛顿第二定律得加速度也减小物体向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，即加速度与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大，正确答案选D【总结升华】分析回复力变化时，应始终抓住这一关系若判断速度的变化，应找出加速度与速度方向的关系举一反三:【高清课堂：简谐运动的回复力和能量、单摆 例2】【变式1】一弹簧振子做简谐运动，当振子的位移为负值时，以下说法中正确的是（ ） A振子的速度和加速度一定为正值B振子的速度不一定为正值，但加速度一定为正值C振子的速度一定为负值，但加速度不一定为正值D振子的速度不一定为负值，但加速度一定为负值【答案】B【高清课堂：简谐运动的回复力和能量、单摆 例3】【变式2】如图所示，物体以点为平衡位置，在之间做简谐运动，下列说法中正确的是（ ） A物体在两点处的加速度都为零B物体经过点时，加速度方向将发生改变C运动过程中回复力方向总跟物体运动方向相反D物体远离平衡位置的运动是匀减速直线运动【答案】B 例2如图所示，水平面的轻弹簧一端与物体相连，另一端固定在墙上点，已知物体的质量为，物体与水平面间的动摩擦因数，弹簧的劲度系数现用力拉物体，使弹簧从处于自然状态的点由静止开始向左移动，这时弹簧具有弹性势能，物体处于静止状态若取，则撤去外力后（ ） A物体向右滑动的距离可以达到 B物体向右滑动的距离一定小于 C物体回到点时速度最大 D物体到达最右端时动能为，系统机械能不为 【答案】B、D 【解析】如图所示，物体由最大位移处释放，在弹力作用下向右加速，由于受滑动摩擦力的作用，物体向右运动时的平衡位置应在点左侧处， 由平衡条件得，即由简谐运动的对称性可知到达点右侧的点时物体速度减小为零，即，A项错误，B项正确；在平衡位置处速度最大，C项错误；物体到达最右端时动能为零，弹簧处于压缩状态，系统机械能不为零，故D项正确 类型二、简谐振动中的牛顿第二定律例3如图所示，叠放在光滑水平地面上，与自由长度为的轻弹簧相连，当系统振动时，始终无相对滑动，已知，当振子距平衡位置的位移时，系统的加速度为，求间摩擦力，与位移的函数关系 【思路点拨】合理选取研究对象，在不同的研究对象中回复力不同【答案】【解析】设弹簧的劲度系数为，以整体为研究对象，系统在水平方向上做简谐运动，其中弹簧的弹力作为系统的回复力，所以对系统运动到距平衡位置时，有，由此得 当系统的位移为时，间的静摩擦力为，此时具有共同加速度，对系统有 ， ， 对A有 ， 结合有 【总结升华】此题综合考查了受力分析、胡克定律、牛顿定律和回复力等概念，其解题关键是合理选取研究对象，在不同的研究对象中回复力不同此题最后要求把摩擦力与位移的关系用函数来表示，即要将物理规律与数学知识结合举一反三:【高清课堂：简谐运动的回复力和能量、单摆 例1】【变式】如图所示，质量为的物块放置在质量为的物块上，与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为，当物块离开平衡位置的位移为时，间摩擦力的大小等于（ ） ABCD 【答案】D 类型三、振动与物体平衡的综合运用例4如图所示，一质量为的无底木箱，放在水平地面上，一轻质弹簧一端悬于木箱的上边，另一端挂着用细线连接在一起的两物体和，剪断间的细线后，做简谐运动，则当振动到最高点时，木箱对地面的压力为_。 【答案】【解析】本题考查简谐运动的特点及物体受力情况的分析剪断细线前的受力情况：重力：，向下；细线拉力：，向下；弹簧对的弹力：，向上设弹簧的劲度系数为，则此时弹簧的伸长量为 剪断细线后，做简谐运动，其平衡位置在弹簧的伸长量为处，最低点即刚剪断细线时的位置，离平衡位置的距离为。由简谐运动的特点知最高点离平衡位置的距离也为，所以最高点的位置恰好在弹簧的原长处此时弹簧对木箱作用力为零，所以此时木箱对地面的压力为【总结升华】在一些力学综合题目的处理中，如果能充分考虑简谐运动的对称性，注意弹簧的原长点、平衡点、最高点、最低点等特殊点，可收到事半功倍的效果举一反三:【高清课堂：简谐运动的回复力和能量、单摆 例】【变式】如图所示，弹簧下面挂一质量为的物体，物体在竖直方向上作振幅为的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长。则物体在振动过程中（ ） A物体在最低点时的弹力大小应为 B弹簧的弹性势能和物体动能总和不变C弹簧的最大弹性势能等于 D物体的最大动能应等于 【答案】AC【解析】A、小球做简谐运动的平衡位置处，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，可知所以在最低点时，形变量为弹力大小为故A正确 B、在运动的过程中，只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，弹簧的弹性势能、物体的动能、重力势能之和不变故B错误 C、从最高点到最低点，动能变化为，重力势能减小，则弹性势能增加而初位置弹性势能为，在最低点弹性势能最大，为故C正确 D、在平衡位置动能最大，由最高点到平衡位置，重力势能减小，动能和弹性势能增加，所以物体的最大动能不等于故D错误故选AC【总结升华】解决本题的关键抓住简谐运动的对称性以及灵活运用能量守恒定律和机械能守恒定律类型四、单摆模型的理解例5（2015 厦门校级模拟）关于单摆的运动有下列法，正确的是（ ）单摆的回复力是摆线的拉力与重力的合力单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力 单摆的周期与质量无关与振幅无关，与摆长和当地的重力加速有关 单摆做简谐运动的条件是摆角很小如小于5 在山脚下走时准确的摆钟移到高山上走时将变快A B C D【答案】B【解析】单摆振动过程中受到重力和绳子拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，绳子拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，故错误，正确；根据，单摆的周期与质量无关，与振幅无关，与摆长和当地的重力加速有关，故正确；单摆做简谐运动的条件是摆角很小，不超过5，故正确；在山脚下走时准确的摆钟移到高山上，重力加速度减小，根据公式，周期变大，走时将变慢，故错误。【总结升华】对于单摆的回复力、周期公式，简谐运动的条件是重点，通过周期公式掌握单摆的周期与什么因素有关，与什么因素无关。举一反三:【高清课堂：简谐运动的回复力和能量、单摆 例4】【变式】如图甲所示是演示简谐运动图象的装置当沙漏下面的薄木板被匀速地拉出时，振动着的漏斗中漏出的沙在板上形成曲线显示出摆的位移随时间变化的关系，板上直线代表时间轴，图乙是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线，若板和板拉动的速度和的关系为，则板上曲线所表示的周期和的关系为（ ） A B C D【答案】D【解析】由于，因此板与板拉过同样长度所需要的时间与的关系是而在这段距离内，板上方的摆已完成了两次全振动，所以，它完成一次全振动的时间只是板上方的摆作一次全振动时间的类型五、根据振动周期求摆长例6(2015 北京昌平期末)甲、乙两单摆静止在平衡位置，摆长L甲L乙。现给摆球相同的水平初速度v0，让其在竖直平面内做小角度摆动。如果用T甲和T乙表示甲、乙两单摆的摆动周期，用甲和乙表示摆球摆动到振幅位置时摆线与竖直方向的夹角，则下列判断的是（ ）AT甲T乙，甲乙 BT甲T乙，甲乙CT甲T乙，甲乙 DT甲T乙，甲乙【答案】A 【解析】根据单摆的周期公式比较，摆长越长，则周期变大，因为摆长L甲L乙，故T甲T乙根据机械能守恒定律知，摆球平衡位置和最高点的高度差相同，L甲(1-cos甲)=L乙(1-cos乙)，故甲乙，故A正确，B、C、D错误故选：A. 例7如图所示，在竖直平面内有一段光滑圆弧轨道，它对应的圆心角小于，是的中点，也是圆弧的最低点在间的一点和之间搭一光滑斜面并将其固定将两个小滑块（可视为质点）同时分别从点和点由静止开始释放，则两个小滑块第一次相遇时的位置（ ） A一定在斜面上的一点 B一定在 C一定在点 D不知道斜面的长短，无法判断【思路点拨】当时，可认为满足简谐振动条件，故为单摆模型【答案】A【解析】点是最低点，是圆弧上两点，对应圆弧半径为，由“等时圆”可知，到历时，光滑圆弧轨道所对应的圆心角小于，小滑块由到做简谐运动，由单摆周期公式得，所以，故相遇时应在上的一点，A项正确【总结升华】圆弧形轨道上的运动时，当时，可认为满足简谐振动条件，故为单摆模型 例8一个摆长为的单摆，在地面上做简谐运动