信号与系统PPT演示课件

1,第十章数字滤波器,数字滤波器基本概念模拟滤波器的逼近（1）巴特沃斯滤波器（2）切比雪夫I型滤波器数字滤波器设计（1）IIR数字滤波器设计（2）FIR数字滤波器设计数字高通、带通、带阻滤波器设计,2,数字滤波器基本概念（10.1引言）,数字滤波器：输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成份的相对比例或滤除某些频率成份。数字滤波器与模拟滤波器概念相同，只是信号的形式和实现滤波的方法不同。与模拟滤波器相比数字滤波器的优点：(1)精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活;(2)不要求阻抗匹配;(3)可实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能.借助AD、DA可用数字滤波器对模拟信号滤波,3,数字滤波器分类,从频率响应分：低通、高通、带通、带阻及特殊要求滤波器。,数字滤波器分类,从单位样值响应长度分：无限冲激响应IIR，有限冲激响应FIR从实现结构分：递归型、非递归型。,4,输出对输入有反馈,输出对输入无反馈,5,数字滤波器设计方法,IIR滤波器,（1）借助模拟滤波器的间接设计法（模拟滤波器理论和设计方法成熟，有若干典型滤波器供选择）(2）直接在频域或时域中进行（无可借助的模拟滤波器时采用，必须借助计算机完成）,FIR滤波器,（1）窗函数法(2）频率采样法,6,滤波器设计容差,理想滤波器由于(1)非因果(2)无过渡带突变因而是不可实现的。考虑到可实现性、复杂性和成本，实用中通带和阻带都允许一定的误差容限。即：,（或）,1、通带内允许与理想值1有偏差1；2、阻带衰减不为0，容许不超过2；3、通带到阻带之间逐渐过渡，存在一过渡带。,7,模拟滤波器的逼近,所谓逼近就是按给定的频响特性选择适当的Ha(s)，以满足设计容差的要求。有若干典型Ha(s)函数，可很好地适应不同特点频响特性的要求，一般不需要重新建立Ha(s)函数式。对于典型的可实现Ha(s)函数，通常给定的是，由此寻找Ha(s)函数式。,8,给定频率特性模平方，求系统函数Ha(s),p182,理解：ha(t)为实函数，因此Ha(j)实部为偶函数，虚部为奇函数，Ha(j)具有共轭对称性，傅立叶变换奇偶虚实性,上册p125.,因此,(10-15),9,可实现Ha(s)Ha(-s)零极点分布P183图10-11,（1）关于实轴对称。因为Ha(s)的分子分母多项式都是s的实系数多项式，故零极点呈共轭对称分布。（2）关于虚轴对称。因为若s=s0是Ha(s)的零（或极）点，则s=-s0必然是Ha(-s)的零（或极）点。（3）虚轴上的零点一定是偶阶重零点。因为零极点是共轭存在的。,稳定系统虚轴上无极点，对于临界稳定情况才会出现虚轴上的极点,这些零极点中一半属于Ha(s)，另一半属于Ha(-s)。如要求系统稳定，则左半平面极点属于Ha(s)。挑选零点时，不加任何限制，则Ha(s)的解不唯一。如限定Ha(s)是最小相位的，则只能取所有左半平面的零极点作为Ha(s)的零极点，Ha(s)的解唯一。虚轴上的零点阶数减半分配给Ha(s).,10,对应虚轴上一对二重零点j,11,典型模拟滤波器,模拟滤波器理论和设计相当成熟，有若干典型模拟滤波器供选择。典型的滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计者使用。典型滤波器各有特点巴特沃兹：单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器：通带或阻带内有波动；椭圆滤波器：通带和阻带内皆有波动。,12,巴特沃兹低通滤波器（巴特沃兹逼近）,最基本的逼近函数形式之一，其幅频特性模平方为：,N：滤波器阶数c：滤波器截止角频率，还是滤波器的3dB截止频率或称半功率点。,(10-16),2个参数决定巴特沃斯滤波器,13,巴特沃兹低通滤波器特点,(1)通带内最大平坦性(Ha(j)在=0点的前2N-1阶导数都为零。）(2)通带、阻带单调下降，有良好的相频特性,(3)3dB不变性，即=c时都过3dB点;c时下降速率为20NdB/dec，即N越大，频带边缘下降越陡峭，越接近理想特性。,14,巴特沃兹低通滤波器的极零点分布,(1)Ha(s)Ha(-s)的2N个极点等间隔分布在半径为c的巴特沃兹圆上。(2)所有极点以j为对称轴对称分布，j轴上无极点。(3)N为奇数时，实轴上有两个极点s=c;N为偶数时，无实极点。全部复数极点两两共轭对称分布。,巴特沃兹滤波器系统函数Ha(s),15,巴特沃兹低通滤波器系统函数Ha(s),(1)为得到稳定的Ha(s)，取Ha(s)Ha(-s)左半平面全部极点给Ha(s)。(2)对Ha(s)用3dB截止角频率c作归一化，得巴特沃兹低通原型滤波器系统函数,巴特沃兹多项式，有表可查！（表10-1）,16,巴特沃兹低通滤波器设计,(1)由设计指标要求确定滤波器阶数N;(2)查表（表10-1）得巴特沃兹多项式，确定巴特沃兹低通原型滤波器系统函数。,有表可查查到的是不同阶数下的原型滤波器特性！,所有的低通滤波器都可通过归一化原型低通滤波器,17,18,19,20,实验时请分别设计出通带有余量和阻带有余量两种情况下的滤波器来。,21,切比雪夫低通滤波器切比雪夫逼近,切比雪夫I型滤波器幅频特性模平方为：,(10-31),:决定通带内起伏大小的波纹系数TN(x)：第一类切比雪夫多项式,(10-32),有表可查（表10-3）,3个参数决定切比雪夫I型滤波器,无论N为何值都有TN(1)=1,22,切比雪夫I型滤波器特点,0,c,1,N=4,N=5,图10-9(a),N：最大最小点的个数,切比雪夫滤波器截止角频率c是通带边缘频率p,23,切比雪夫低通滤波器系统函数Ha(s),对Ha(s)用c作归一化，得切比雪夫低通原型滤波器系统函数,切比雪夫I型低通原型滤波器分母多项式，有表可查！（表10-3）,(10-47),切比雪夫滤波器系统函数Ha(s),取Ha(s)Ha(-s)左半平面全部极点给Ha(s),切比雪夫滤波器截止角频率c是通带边缘频率，不一定是-3dB处的频率,N=3,24,切比雪夫I型低通滤波器设计,(1)由设计指标要求确定滤波器波纹参数,阶数N;(2)查表（表10-3）得分母多项式，确定切比雪夫低通原型滤波器系统函数,对于不同的N，切比雪夫I型低通滤波器分母多项式已制成表格，供设计中使用。由于波纹参数不同，这种表格很多，书中给出了=1dB时的表格。,25,切比雪夫滤波器的截止角频率c是通带边缘频率p。不一定是-3dB处的角频率,阻带边缘角频率s=22104rad/s阻带衰减Rs=15dB通带边缘角频率p=2104rad/s通带内允许起伏Rp=1dB,0,c,1,N=4,N=5,图10-20(a)幅频特性,c=p,26,27,查表10-3,（10-47）,28,29,数字滤波器设计（10.6),IIR滤波器,（1）借助模拟滤波器的间接设计法（模拟滤波器理论和设计方法成熟，有若干典型滤波器供选择）(2）直接在频域或时域中进行（无可借助的模拟滤波器时采用，必须借助计算机完成）,FIR滤波器,（1）窗函数法(2）频率采样法,30,理想数字滤波器频率特性,图10-33,以2为周期的连续函数；当h(n)为实函数时，幅频特性呈周期偶对称，相频特性呈周期奇对称,31,IIR滤波器与FIR滤波器,非递归型输出对输入无反馈,递归型输出对输入有反馈,p209,32,IIR数字滤波器设计(间接设计法),数字域频率到模拟域频率的转换,S域与z域的映射,模拟域到数字域映射的两个基本条件:s域的虚轴要映射成z域单位圆;s域左半平面映射到z域单位圆内。,两种常用的映射方法：冲激响应不变法双线性变换法两种方法有各自的数字域频率到模拟域频率的转换公式以及s域到z域的映射公式。,33,冲激响应不变法,数字滤波器单位样值响应h(n)是模拟滤波器冲激响应ha(t)的等间隔采样，即,(10-64),数字滤波器的频率响应H(ej)是模拟滤波器频率响应Ha(j)的周期延拓，即,(10-75),数字域频率与模拟域频率呈线性关系，即=T,S平面到z平面映射规则:z=esT，是多值映射。,T：采样间隔,p211,34,Ha(s)H(z),Ha(s)ha(t)h(n)H(z)H(z)=zTh(n)设模拟滤波器的系统函数具有单极点,这相当于,注意这种对应关系的前提条件！,(10-65),(10-69),8.6节,35,冲激不变法特点归纳（p230）,可以把稳定的模拟滤波器变换成稳定的数字滤波器,变换时频率间呈线性关系=T。频率特性形状基本上与模拟滤波器相同（如果混叠不严重），时域冲激响应形状一致。由于混叠，频率特性高端失真严重，只适用于低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。增加采样频率可减少频域混叠。由于数字滤波器的增益与T成反比，为此有时h(n)的设计值采用Tha(nT)，而不采用ha(nT)以保持转换后数字滤波器增益的不变。,36,p214,37,实验时请在T=1s,T=0.5s,T=0.1s三种情况下进行变换。,请看变换结果,38,用冲激不变法得到的数字滤波器频率特性形状基本上与模拟滤波器相同频率特性高端失真严重；增加采样频率可减少频域混叠。,(/T)rad/s,0,10,20,30,40,50,60,70,-80,-70,-60,-50,-40,-30,-20,-10,0,T=1s,T=0.5s,T=0.1s,Ha(s),MagnitudeResponse(dB),Ha(s)和H(z)的模拟域幅频特性比较,由此可见：,39,切比雪夫I型滤波器的通带边缘频率被定义为截止角频率,40,41,取N=2。在冲激响应不变法设计中，为减小高频端的混叠，通常让通带指标满足要求，阻带指标留有余量。(p232,最后1行）,即不根据取整后的N值和阻带衰减指标重新计算c，这样c=p,通带指标满足要求，阻带指标留有余量。,42,双线性变换法(p216),分子分母都是变量的线性函数双线性变换,(10-83,84),(10-85,86),S平面的虚轴映射成z平面的单位圆，s域左半平面映射成z域单位圆内，即满足模拟域到数字域映射的两个基本条件。=映射成=，与呈单值映射，可避免混叠。非线性变换，频率特性会失真。,43,双线性变换特点,图10-39双线性变换频率变换关系,映射成=,不会有高于的频率分量，不存在频域混叠，可用来设计低通、高通、带通、带阻滤波器。,(1),=,(2),与间严重非线性，只在零频附近线性较好，频率特性有失真。,指标要预畸变，双线性变换后才正好映射到所需频率上。,(3),44,(4)双线性变换法s域到z域之间的变换是简单的代数关系：,(10-83,84),所以可由代数置换的方法由Ha(s)H(z),45,双线性变换法不存在频域混叠现象，采样间隔T可任意选取！一般取T=1,46,47,取N=2。在冲激响应不变法设计中，为减小高频端的混叠，通常让通带指标满足要求，阻带指标留有余量。，即不根据取整后的N值和阻带衰减指标重新计算c（例10-13）。,48,而在用双线性变换法设计中，由于不会产生高频端混叠，因此要让阻带满足指标，通带指标留有余量，以便减小信号通过滤波器时的失真。这时要用取整后的N值和阻带衰减指标重新计算截止角频率c。新计算出的cp。,49,50,51,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,1.4,1.6,1.8,2,-2,-1.5,-1,-0.5,0,/,Phase(),0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,1.4,1.6,1.8,2,-400,-300,-200,-100,0,/,MagnitudeResponse(dB),数字滤波器幅频特性和相频特性,书上图10-40只画出了0区间的特性且纵坐标所取范围不同,切比雪夫带内起伏及双线性变换的非线性使相频特性的非线性较为严重,52,IIR数字滤波器的结构实现,基本运算部件：加法器、乘法器、延时单元,一个离散系统给定输入输出的关系,可以用多种不同的运算结构来实现.不考虑量化影响时,这些不同的实现方法是等效的,但考虑量化影响时,不同实现方法在性能上存在差异.,p220,53,IIR数字滤波器的直接型实现(I),实现系统的零点,实现系统的极点,图10-41(a),I型：直接按差分方程式将输入序列x(n)延迟并乘以系数br，将输出序列y(n）延迟并乘以系数ak，再把它们加起来。,p221图10-41(a),(10-63),(10-87),p221,54,两加法器可合并!,55,交换两串联子系统的顺序，合并中间的延时单元,直接型I,直接型II,直接型I直接型II,56,IIR数字滤波器的直接型实现(II),先实现极点，后实现零点，延时单元可共用，是延时单元最少的实现，也称典范结构实现.,p221图10-41(b),(10-63),(10-87),重要!,57,直接型实现特点,根据上式得到的直接形式实现统称为递归型结构.主要优点：简单直观，直接形式II延时单元最少，乘法次数也较少,可以节省存储单元(软件实现)或寄存器(硬件)实现，比直接I型为好。只要选择H(z)的系数ak、br,就能得到所需滤波特性的数字滤波器。但ak,br对滤波器性能控制关系不直接，因为它们与系统函数零极点关系不明显。从零极点观点来看,改变某一系数br将影响所有零点,改变某一系数ak将影响所有极点,因此调整特性不方便。,p221,58,对有效字长（有限精度）运算过于敏感，容易出现不稳定或较大误差，因此要求系数精度高。由于直接型结构中所有舍入误差都要经过全部网络的反馈环节，这些误差在反馈过程中积累起来，致使误差很大。所以从有效字长效应看，直接型结构是最差的，运算误差大，特别是高阶时应避免使用。对于三阶以上的IIR滤波器，几乎都不使用直接型结构，而是采用级连型、并联型等其它结构。,59,IIR滤波器的级联型实现,对系统函数H(z)的分子分母进行因式分解,(10-88),式中分子、分母都是实系数,二次多项式表示具有共轭复根情况。将因此整个系统可看成递归的一阶子系统和递归二阶子系统级联形成。由此构成的系统称级联型实现。,60,级联形式实现,图10-42,(b)递归二阶子系统(共轭复根）,(a)递归一阶子系统,每个Hi(z)网络均采用直接II型结构,61,一阶子系统典范结构实现,62,二阶子系统典范结构实现,63,级连型实现特点,级联实现的优点是每个二阶或一阶子系统单独控制零、极点，因此便于调整。级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差积累比直接型小。级联顺序可以交换,且零、极点对的搭配也是任意的，因此级联结构不是唯一的。调整各子系统前后排列次序对于有限字长引起的量化效应是有影响的，通常可通过计算机仿真确定子系统的组合及排序。级联系统也属于最少延时单元实现，但乘法次数明显比直接型要多。,p222,64,IIR滤波器的并联型实现,对系统函数H(z)的做部分分式展开，对其中的共轭复根部分，成对地合并成二阶实系数部分分式,(10-90),整个系统可看成一阶子系统、二阶子系统以及一个增益常数G0并联形成。由此构成的系统称并联型实现。,G0,65,并联形式,一阶子系统,二阶阶子系统,G0,p223,66,并联型结构特点,并联系统可以看作对输入信号做并行滤波，因此运行速度高.对于运算误差,并联的各基本节互不影响,没有运算误差的前后级积累影响，有限字长引起的量化效应小。由于是用部分分式展开，因此极点可以单独调整，但零点无法控制，当需要准确控制滤波器零点时，就不能使用并联型结构。,p223,67,补充例题画出下列系统函数所对应的级连型和并联型数字滤波器结构,级联形式,68,并联形式,69,10.7有限冲激响应FIR数字滤波器,h(n)为有限长，H(z)在|z|0处收敛，极点全部在z=0处(稳定系统)。结构上主要是非递归结构，无输出到输入的反馈。FIR数字滤波器的最大优点是容易设计成线性相位特性,而且没有稳定性问题。而IIR滤波器的相位特性呈现非线性。在要求系统具有线性相位特性，如图像信号处理中，选用FIR滤波器。,70,线性相位,71,线性相位条件（充要条件）,若有限长实序列h(n)满足偶对称条件h(n)=h(N-1-n)(10-92)若有限长实序列h(n)满足奇对称条件h(n)=-h(N-1-n)(10-93),考虑到N为偶数和奇数的不同情况，可得到四种不同的频域幅度特性（p224表10-9）,h(n)为奇对称时，滤波器有固定900相移，在微分器、信号正交处理、希尔伯特变换器中特别有用。,对称轴(N-1)/2,72,情况1，h(n)偶对称，N为奇数,Hg()在=0，2处偶对称。可实现所有滤波特性（低通、高通、带通、带阻）,73,2,0,Hg(),2,0,-(N-1),情况2，h(n)偶对称，N为偶数,Hg()在=0，2处偶对称，在=奇对称。由于=时Hg()=0，故无法实现高通和带阻特性。,第1类线性相位,74,情况3，h(n)奇对称，N为奇数,Hg()在=0，2处奇对称。由于=0，2时Hg()=0，故无法实现低通、高通和带阻特性。只能实现带通特性。,75,情况4，h(n)奇对称，N为偶数,76,高通特性,77,理想低通滤波器频率特性,2,0,Hd()是频域的幅度特性，是相移常数,幅度特性,相位特性,（10-112）,78,理想低通滤波器时域特性,（10-113）,79,FIR滤波器窗函数设计法,（10-108）,时域相乘频域卷积,80,以逼近理想低通滤波器为例,Hd()是频域的幅度特性是相移常数,理想低通滤波器频率特性,采用矩形窗函数设计的长度为N的线性相位低通滤波器单位样值响应为:,(10-112),(10-114),RN()是矩形窗的频域幅度函数,81,设计的线性相位低通滤波器频率特性为:,时域相乘频域卷积,82,RN(),理想低通,矩形窗,Hg(),矩形窗截断,以逼近理想低通滤波器为例,83,矩形窗截断,理想低通,肩峰增量值约9%，负肩峰相当于21dB衰减。理论上应规定Hg()=1到Hg()=0的范围为过渡带，实际允许此二值向中心c有微小偏移，当允许偏移为1.55dB时，过渡带宽度为0.9(2/N),约为两尖峰间距之半。,在c附近形成过渡带，过渡带两边形成正负肩峰，肩峰间距4/N，肩峰两侧伸展为起伏的余振。过渡带宽度为0.9(2/N),与窗宽度N成反比，与窗函数主瓣宽度（矩形窗为4/N）成正比。阻带衰减变小，窗函数旁瓣越小阻带衰减越大。,加窗的结果,矩形窗负肩峰相当于21dB的阻带衰减,一般情况下此数值远远不能满足阻带内衰减的要求,显然矩形窗的逼近特性很不理想.为加大阻带衰减即减少肩峰的影响,需要采用其它形状的窗函数.,84,窗函数对幅频特性的影响及对窗函数的要求,窗函数对FIR滤波器的幅频特性影响主要有：在=c处形成一个过渡带，过渡带的宽度与窗谱的主瓣宽度成正比；过渡带两旁产生肩峰和阻尼余振，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，震荡的多少取决于旁瓣的多少；对于同一种窗函数，增加窗函数长度，能减少窗函数主瓣和旁瓣宽度，但不能减少主瓣和旁瓣的相对值，该值取决于窗函数的形状。若窗函数时域波形两端平缓下降（而非突变，如三角形）则其频域特性旁瓣电平减小，从而增加阻带衰减，但代价是增加了主瓣和过渡带的宽度。为此对窗函数的要求：窗函数应具有较低的旁瓣幅度，特别是第一旁瓣的幅度，且旁瓣幅度下降的要快，以利于增加阻带衰减；主瓣宽度要窄，这样可得到较窄的过渡带。,85,窗长度N的影响,增加窗函数长度，只能减少窗函数的主瓣和过渡带宽度，但不能减少主瓣和旁瓣的相对值，该值取决于窗函数的形状。,1,N=31N=41N=51N=61,矩形窗窗长度影响,86,常用窗函数,1,窗口都是对称的，故可设计线性相位FIR滤波器,87,表10-10五种窗函数特性比较,88,优点：简单、方便、实用,窗函数法设计FIR滤波器过程,（1）给定Hd(ej)，求出相应的hd(n)；（2）根据阻带衰减要求选择窗函数形状;（3）根据允许的过渡带宽度选择窗口长度N；（4）按所得窗函数求得h(n)=hd(n)w(n);（5）借助计算机计算H(ej)=DTFTh(n)，检验各项指标是否满足要求，如不满足另选窗函数、窗口长度。,89,90,汉明窗,91,0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,-90,-80,-70,-60,-50,-40,-30,-20,-10,0,20logH(ej)dB,图10-47N=33汉明窗加权低通滤波特性,(4)求出设计得滤波器对数幅频特性如图10-47所示。,92,FIR数字滤波器的直接型实现,图10-48FIR滤波器的直接型实现,乘法次数N加法次数N-1,卷积型结构或横向滤波器结构,93,图10-49线性相位直接型结构,利用h(n)的对称性h(n)=h(N-1-n),如果FIR滤波器具有线性相位特性,利用h(n)的对称性,可节省一半乘法次数.,94,IIR与FIR数字滤波器的选择,IIR和FIR滤波器在数字信号处理领域都占有重要地位。各有所长，实际中应根据性能需要、适用情况、经济效益等作出选择。对相位要求不敏感的场合，如语音通信，可选用IIR滤波器。对波形上携带信息的传输系统，如图像信号处理、数据传输等，对系统相位特性要求较高，可考虑用FIR滤波器。,(p253-254),95,IIR与FIR数字滤波器性能比较,IIR滤波器用两个多项式之比的有理分式来逼近频率特性，可用较低的阶数得到高的选频特性，所用存储单元少，经济而效率高，但这是以相位特性的非线性为代价。选择性越好，则相位非线性越严重。FIR滤波器用z-1的多项式来逼近要求的频率特性，没有可控制的极点，要达到同样的选择性要求，FIR滤波器阶数比IIR滤波器阶数高510倍，导致存储单元多，成本高，信号延时增加。但FIR滤波器系统函数的极点固定在原点，系统始终是稳定的。而且FIR滤波器可得到严格的线性相位，在对相位失真有严格要求的场合，只有FIR滤波器才能胜任。,96,IIR与FIR数字滤波器设计手段比较,IIR滤波器可借助模拟滤波器进行，有函数公式可循，有大量的设计图表可利用，计算准确设计方便。但对于特殊滤波特性或特定相位特性的滤波器，只能通过计算机用算法设计法作。FIR滤波器没有闭合形式设计公式，难以控制通带、阻带及边缘频率的准确性，设计时要反复计算。但由于h(n)为有限长序列，可借助FFT进行快速卷积运算，求得滤波器响应，因此反复计算并未引起很大麻烦。FIR滤波器设计要借助计算机完成，因此灵活性好，容易设计成满足特殊频率特性形状要求的滤波器。,97,IIR与FIR数字滤波器结构比较,IIR滤波器用递归结构，反馈支路的存在使系统对稳定性要求高，极点必须在单位圆内否则系统不稳定。另外递归结构有限字长效应影响大，设计不当会引起振荡。FIR滤波器采用非递归结构，所有极点都位于原点，因此系统始终是稳定的，而且有限字长影响小，它还可引用FFT计算从而提高FIR运算速度。,98,信号处理应用软件,各种信号处理应用软件发展迅速，为数字滤波器设计提供许多方便，例如用Matlab软件或SPW（信号处理系统）软件都可直接按用户所需技术指标参数得出滤波器的频响、冲激响应或作零、极点分析。,通用、专用数字信号处理（DSP）芯片,99,数字滤波器与模拟滤波器,数字滤波器通常是一种算法或一种数字处理设备。其功能是将一组输入的数字序列通过一定的运算后变换为