数学习题答案

精选文库概率论与数理统计：总习题一：习题5.习题15习题21习题212.2习题4一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.PX=3=C2,21C5,3=1/10,PX=4=C3,21C5,3=3/10,PX=5=C4,21C5,3=3/5,所以X的分布律为X345pk1/103/103/5习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元，设每天出租汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下：X10203040pi0.150.250.450.15求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.解答：因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：P3X60,即PX20,PX20=PX=30+PX=40=0.6.就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.习题11纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间内断头的概率为0.005,在这段时间内断头次数不大于2的概率.解答：以X记纺锭断头数,n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理，所求概率为：P0X2=P0xi2X=xi=k=02b(k;800,0.005)k=02P(k;4)=e-4(1+41/1!+42/2!)0.2381.2.4习题2已知Xf(x)=2x,0x10,其它,求PX0.5;PX=0.5;F(x).解答：PX0.5=-,0.5;f(x)dx=-,0;0dx+0,0.5;2xdx=x20,0.5=0.25,PX=0.5=PX0.5-PX0.5=-,0.5;f(x)dx-,0.5;f(x)dx=0.当X0时，F(x)=0;当0x1时，F(x)=-,x;f(t)dt=-,0;0dt+0,x;2tdt=t20,x=x2;当X1时，F(x)=-,x;f(t)dt=-,0;0dt+0,x;2tdt+1,x;0dt=t20,1=1,故F(x)=0,x0;x2,0x00,x0,试求：(1)A,B的值；(2)P-1X1;(3)概率密度函数F(x).解答：(1)because F(+)=limx+(A+Be-2x)=1,A=1;又because limx0+(A+Be-2x)=F(0)=0, B=-1.(2)P-1X00,x0.习题5某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度f(x)=100x2,x1000,其它,某一电子管的使用寿命为X,则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答：设电子管的使用寿命为X,则电子管使用150小时以上的概率为PX150=150,+;f(x)dx=150,+;100x2dx =-100x150,+=100/150=2/3,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为p=(2/3)3=8/27.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则XN(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得PXx=0.1,即 1-PX0时，FY(y)=P1/X0+P01/Xy=PX0+PX1/y=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=-F(1/y)=1/y2f(1/y);；当y0时，FY(y)=P1/yX0=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1/y2f(1/y);当y=0时，FY(y)=P1/X0=PX0时，FY(y)=P-yXy=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);当y0;0,y0.习题8设随机变量X在任一区间a,b上的概率均大于0,其分布函数为FY(x),又Y在0,1上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答：因X在任一有限区间a,b上的概率均大于0,故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又Y在0,1上服从均匀分布，故Y的分布函数为FY(y)=PYy=0,y0,于是，Z的分布函数为FZ(z)=PZz=PFX-1(Y)z=PYFX(z)=0,FX(z)1由于FX(z)为X的分布函数，故0FX(z)1.FX(z)1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z),因此，Z与X的分布函数相同.总复习题二习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.解答：1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为2500120元=300000元.设1年中死亡人数为X,则Xb(2500,0.002),则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须200000X300000即X15(人).因此，P保险公司亏本=PX15=k=162500C2500k(0.002)k(0.998)2500-k1-k=0,15;e-5*5k/k!0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P保险公司获利不少于100000元=P300000-200000X100000=PX10=k=010C2500k(0.002)(0.998)2500-kk=0,10;e-5*5k/k!0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上. P保险公司获利不少于200000元=P300000-200000X200000=PX5=k=05C2500k(0.002)k(0.998)2500-kk=0,5;e-5*5k/k!0.615961,即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%.习题6设X为一离散型随机变量，其分布律为X-1 0 1pi1/2,1-2q,q2试求：(1)q的值；(2)X的分布函数.解答：(1)because离散型随机变量的概率函数PX=xi=pi,满足ipi=1,且0pi1,1/2+1-2q+q2=1;01-2q1q21,解得q=1-1/2.从而X的分布律为下表所示：X-1 0 1pi1/22-13/2-2(2)由F(x)=PXx计算X的分布函数F(x)=0,1/2,2-1/2,1,x-1-1x00xa0,其它(0),求常数c及Pa-1Xa+1.解答：由概率密度函数的性质知-+f(x)dx=1,而-+f(x)dx=-,a;0dx+a,+;ce-xdx=ca,+;e-xd(x)=-ce-xvlinea+=ce-a,所以ce-a=1,从而c=ea.于是 Pa-1Xa+1=a-1a+1f(x)dx=a-1a0dx+aa+1eae-xdx=-eae-xvlineaa+1=-ea(e-(a+1)-e-a)=1-e-.注意，a-1a,而当xa时，f(x)=0.习题19设随机变量X的分布律为X-2 -1 0 1 3pi1/5 1/6 1/5 1/15 11/30试求Y=X2的分布律.解答：pi1/5 1/6 1/5 1/15 11/30X-2 -1 0 1 3X2 4 1 0 1 9所以X2 0 1 4 9pi1/5 7/30 1/5 11/30注：随机变量的值相同时要合并，对应的概率为它们概率之和.习题20设随机变量X的密度为fX(x)=0,x02x3e-x2,x0,求Y=2X+3的密度函数.解答：由Y=2X+3,有y=2x+3,x=y-32,x=12,由定理即得fY(x)=0,y3(y-32)3e-(y-32),y3.3.1习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(1)PaXb,Yc;解答：PaXb,Yc=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(2)P0Yb;解答：P0a,Yb.解答：PXa,Yb=F(+,b)-F(a,b).习题4设X,Y为随机变量，且PX0,Y0=37,PX0=PY0=47,求PmaxX,Y0.解答：PmaxX,Y0=PX,Y至少一个大于等于0=PX0+PY0-PX0,Y0 =47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值：(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512,请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1,故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：X=-1,Y=0,X=0,Y=13,X=0,Y=1,X=2,Y=13,X=2,Y=1均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表：XY0 1/3 1-10 1/12 1/30 1/6 0 025/12 0 0(2)PY=0=PX=-1,Y=0+PX=0,Y=0+PX=2,Y=0=0+16+512=7/12,同样可求得PY=13=112,PY=1=1/3,关于的Y边缘分布见下表：Y 0 1/3 1pk7/12 1/12 1/3习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=k(6-x-y),0x2,2y4;0,其它,(1)确定常数k;(2)求PX1,Y3;(3)求PX1.5;(4)求PX+Y4.解答：如图所示(1)由-,+-,+;f(x,y)dxdy=1,确定常数k.0,22,4;k(6-x-y)dydx=k0,2;(6-2x)dx=8k=1,所 以K=18.(2)PX1,Y3=0,1;dx2,3;18(6-x-y)dy=3/8.(3)PX1.5=0,1.5;dx2,4;18(6-x-y)dy=27/32.(4)PX+Y4=0,2;dx2,4-x;18(6-x-y)dy=2/3.习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=4.8y(2-x),0x1,xy1;0,其它,求边缘概率密度fY(y).解答：fX(x)=-,+;f(x,y)dy=0,x;4.8y(2-x)dy,0x1;0,其它=2.4x2(2-x),0x1;0,其它.fY(y)=-+f(x,y)dx=0y4.8y(2-x)dx,0y10,其它=2.4y(4y-y2),0y1;0,其它.总习题三习题4设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处：XYy1y2y3pix11/8x21/8pj1/61解答：由题设X与Y相互独立，即有 pij=pipj(i=1,2;j=1,2,3), p1-p21=p11=1/6-1/8=1/24,又由独立性，有 p11=p1p1=p11/6故p1=1/4.从而p13=1/4-1/24-1/8, 又由p12=p1p2, 即1/8=1/4p2.从而p2=1/2. 类似的有 p3=1/3,p13=1/4,p2=3/4.将上述数值填入表中有XYy1y2y3pix11/241/81/121/4x21/83/81/43/4pj1/61/21/31习题5设随机变量(X,Y)的联合分布如下表：求：(1)a值；(2)(X,Y)的联合分布函数F(x,y)；(3)(X,Y)关于X,Y的边缘分布函数FX(x)与FY(y).解答：(1)because由分布律的性质可知ijPij=1, 故1/4+1/4+1/6+a=1,a=1/3.(2)因F(x,y)=PXx,Yy当x1或y-1时，F(x,y)=0;当1x2,-1y0时，F(x,y)=PX=1,Y=-1=1/4;当x2,-1y0时， F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-1=5/12;当1x0时， F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=1,Y=0=1/2;当x2,y0时， F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-1 +PX=1,Y=0+PX=2,Y=0 =1;综上所述，得(X,Y)联合分布函数为 F(x,y)=0,x1或y-1;1/4,1x2,-1y0;5/12,x2,-1y0;1/2,1x2,y0;1,x2,y0.(3)由FX(x)=PXx,Y+=xixj=1+pij, 得(X,Y)关于X的边缘分布函数为： FX(x)=0,x1;1/4+1/4,1x2;1/4+1/4+1/6+1/3,x2=0,x1;1/2,1x2;1,x2,同理，由FY(y)=PX+,Yy=yiyi=1+Pij, 得(X,Y)关于Y的边缘分布函数为 FY(y)=0,y-1;2/12,-1y0;1,y0.习题13已知随机变量X1和X2的概率分布为且PX1X2=0=1.(1)求X1和X2的联合分布律； (2)问X1和X2是否独立？解答：(1)本题是已知了X1与X2的边缘分布律，再根据条件PX1X2=0=1, 求出联合分布. 列表如下：X2X1-1 0 1PX2=j011/4 0 1/4 0 1/2 01/21/2PX1=i1/4 1/2 1/41由已知PX1X2=0=1,即等价于PX1X20=0,可知PX1=1,X2=1=0,PX1=-1,X2=1=0.再由p1=p-11+p11+p01, 得p01=1/2, p-10=p-1=p-11=1/4,p10=p1-p11=1/4,从而得p00=0.(2)由于p-10=14p-1p0=1412=1/8, 所以知X1与X2不独立.4.1 数学期望 习题4据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0pa),应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？解答：令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为E(X)=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)0,即aba/(1-p)对于m个人，有E(mX)=mE(X)=ma-mb(1-p).习题8设随机变量X的概率密度为f(x)=1-1-x,0x20,其它,求E(X).解答：f(x)=x,0x1;2-x,1x00,x0,求：(1)Y=2X的数学期望；(2)Y=e-2X的数学期望.解答：(1)E(Y)=E(2X)=-,+;2xf(x)dx=0,+;2xe-xdx=2.(2)E(e2X)=-,+;e-2xf(x)dx=0,+;e-3xdx=1/3.复变函数与积分变换习题一7.将下列复数表示为指数形式或三角形式解：其中解：其中解：解：.解：解：8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3) 的平方根.i的三次根解：-1的三次根解：的平方根解：习题二1. 求映射下圆周的像.解：设则 因为,所以所以 ,所以即，表示椭圆.6. 试判断下列函数的可导性与解析性.(1) ;解：在全平面上可微.所以要使得， , 只有当z=0时,从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(2) .解：在全平面上可微.只有当z=0时,即(0,0)处有,.所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(3) ;解：在全平面上可微.所以只有当时，才满足C-R方程.从而f(z)在处可导，在全平面不解析.(4) .解：设，则所以只有当z=0时才满足C-R方程.从而f(z)在