概率论1-4章课后习题讲解 (课堂PPT)

概率论与数理统计习题解答课件,1,第一章随机事件及概率,2,P23习题1.1有数字0,1,2,3,4,5能组成多少个没有重复数字的五位数？,这6个数字选出5个来排列的方法有,解：由题意可知，,种；而,首位为0的有,种，故首位不能为0的为：,3,P23习题1.2从含3件次品、7件正品的产品中任取5件，其中有4件正品与1件次品，试问有多少种取法？,解：由题意可知，任取5件，其中有4件正品与1件次品的取法为：,4,P23习题1.3试证,证明：由概率的加法公式得任意的两个事件A,B有,故,5,P23习题1.4从含45件正品、5件次品的产品中任取3件产品，试求其中恰有一件次品的概率.,解：由题意可知，A表示任取3件中有一件为次品事件，50件,中任取3件的取法为,。,而有一件为次品的取法为,故,6,P23习题1.5一袋中装有6只白球，4只红球，2只黑球，求：,解（1）任取4个球都是白球的取法为,（1）从中任取4个球都是白球的概率；,4个球的取法有,（2）从中任取6个球恰好3白、2红、1黑的概率；,，而任取,，故任取4个球都是白球的概率:,（2）从中任取6个球恰好3白、2红、1黑的概率：,7,P23习题1.6将10个不同的质点随机地放入10只不同的盒子中，求：,解（1）每个盒子都放有的方法有,（1）没有一个空盒子的概率；,法有,（2）至少有一个空盒子的概率；,，而总共的方,故没有一个空盒子的概率:P(A)=,（2）至少有一个空盒子的概率为：P(B)=1-P(A)=,8,P23习题1.7在区间(0,1)中随机地抽取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率。,解：用x,y分别表示从(0,1)中取出的2个数，,则样本空间为正形：,如图所示，K为区域：,K,所以由几何概型得:,x+y=6/5,9,P23习题1.8设一质点落在,解：如右图所示,由题意可知所求的概率为：,轴、,轴及直线,所围成的三角形区域内各点是等可能的，求这点在直线左边的概率.,A,B,S,x,y,o,10,解：设A=第一次取得红球，B=第二次取得红球,P23习题1.9袋中有10个球，其中8个红球，2个白球，现从中任取两次，每次一球，作不放回抽样，求下列事件的概率：(1)两次都取红球；(2)两次中一次取得红球，另一次取得白球；(3)至少一次取得白球；(4)第二次取得白球。,11,解(1)P(AB)=P(A)P(B|A),12,解：设A=甲译出密码,B=乙译出密码,P(A)=1/5,P(B)=1/3,P(C)=1/4,则A,B,C相互独立，且,C=丙译出密码.,则此密码被译出的概率为,P23习题1.10甲、乙、丙三人独立地翻译一个密码，他们译出的概率分别是1/5，1/3，1/4，试求此密码被译出的概率。,13,P23习题1.11玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0.8，0.1和0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时时，售货员随意取一箱，而顾客随机地查看4只，若无残次品，则购买下该箱玻璃杯,否则退回，求：(1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。,14,解(1)设Ai一箱玻璃杯中含有i个残次品,i=0,1,2;,B=从一箱玻璃杯中任取4只无残次品,由题设可知,P(A0)=0.8,P(A1)=0.1,P(A2)=0.1.,根据全概率公式得,15,P23习题1.12设8支枪中有3支未经试射校正，5支已经试射校正，一射手用校正的枪射击时，中靶概率为0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶概率为0.3，现假定从8支枪中任取一支进行射击，结果中靶，求所用的枪是已校正过的概率。,16,解设A经过校正的枪,C=射击中靶,由题设可知,P(A)=5/8,P(B)=3/8,P(C|A)=0.8,P(C|B)=0.3.,根据全概率公式得,B未经校正的枪,17,P23习题1.13对飞机进行3次独立射击,第1次射击的命中率为0.4、第2次为0.5、第3次为0.7.飞机被击中1次而坠落的概率为0.2,被击中2次而坠落的概率为0.6,若被击中3次飞机必坠落,求射击3次使飞机坠落的概率.,设B=飞机坠落，Ai=飞机被击中i次,i=1,2,3,由全概率公式,则B=A1B+A2B+A3B,解:,依题意，,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),18,可求得:,为求P(Ai),将数据代入计算得:,设Hi=飞机被第i次射击击中,i=1,2,3,P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.,19,于是,=0.458,=0.360.2+0.410.6+0.141,即飞机坠落的概率为0.458.,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),20,P24习题1.14某人每次射击的命中率为0.6，独立射击5次，求：（1）击中3次的概率；（2）至少有1次未击中的概率.,解(1),(2)考虑至少有1次未击中的对立事件，,即每次都击中，其概率为：,故至少有1次未击中的概率为,21,P24习题1.15某车间有12台车床，由于工艺上的原因，时常发生故障，设每台车床在任一时刻出故障的概率为0.3，且各台车床的工作是相互独立的，计算在任一指定时刻有3台以上车床发生故障的概率.,解：设A=任一指定时刻有3台以上车床发生故障,又因为,22,有0台车床发生故障的概率为,有1台车床发生故障的概率为,有2台车床发生故障的概率为,故,有3台车床发生故障的概率为,23,P24习题1.16若1人负责维修同类型的设备20台，设各台设备的工作是相互独立的，在一天内发生故障的概率都是0.01，维修用不了多长时间，求设备发生故障而不能得到及时处理的概率，若3人共同负责维修80台呢？,24,解:(1)设A=设备发生故障而不能得到及时处理,故,25,(2)设A=设备发生故障而不能得到及时处理,故,26,第二章随机变量及其分布,27,P43习题2.1设在15只同类型的零件中有2只次品,在其中取3次,做不放回抽样,以X表示取出次品的个数，求X的分布率。解：设X表示取出次品的个数，则X的取值可能是0，1，2，pX=0=pX=1=,28,pX=2=所以X的分布律为,29,P43习题2.2一实习生用一台机器接连独立地制造了3个不同的零件，第i个零件是不合格的概率为Pi=1/(i+1),(i=1、2、3),以X表示3个零件中合格品的个数，求X的分布律。解：设Ai为第i个零件为不合格品事件，显然A1、A2、A3为相互独立事件。由题设可知:X的取值只能是0、1、2、3,P(A1)=1/2P(A2)=1/3P(A3)=1/4,30,P(X=0)=1/24P(X=1)=6/24P(X=2)=11/24P(X=3)=1/4所以X的分布列为:,31,P43习题2.3一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的概率为1/2。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数。,32,解:X的取值为0,1,2,3,PX=0=1/2,X的概率分布为,PX=1=1/21/2=1/4,PX=2=1/21/21/2=1/8,PX=3=1/21/21/2=1/8,33,P43习题2.4将一枚硬币连投n次，X表示n次中出现正面的次数，求X的分布律。解：XB(n,1/2),则X的分布律为,34,求X的分布函数,P43习题2.5已知离散型随机变量X的分布率为,35,解：由分布函数的定义，则X的分布函数,36,（1）求系数A（2）X的分布函数F(x),P43习题2.6设随机变量X的密度为,37,所以A=1/2（2）因为,（1）因为,38,所以,39,求X的分布函数。解：当X0时,41,P44习题2.8设连续型随机变量X的分布函数为,求:(1)A;(2)P0.3X0.7;(3)X的概率密度f(x),解:(1)F(x)在x=1点连续,由连续性得:,所以,A=1,42,0，x3=,2/3,设Y表示三次独立观测中A出现的次数,则,53,故所求为：,PY=2+PY=3,=20/27,PY2=,54,P44习题2.13设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(单位:分)服从参数为1/5的指数分布，若等待的时间超过10分钟，则他就离开，设他一个月内要来银行5次，以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布律及PY=1。,55,解（1）因为所以,56,（2）Y是表示10分钟内等不到的次数，则,57,P44习题2.14设随机变量XN(108,32),求：(1)常数a，使PXa=0.90;(2)P101.1x11.76.,解:(1)由题设可知查表可知所以,58,(2)因为又因为所以,59,P44习题2.15某产品的质量指标若要求,若要求,问许最大的多少？,解：因为,，即,60,查表可知,所以,61,P44习题2.16测量到某一目标的距离发生的随机误差X(m)具有概率密度求：在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率。,62,解：误差的绝对值不超过30米的概率为所以误差超过30米的概率为：1-0.4931=0.5069所以三次误差绝对值都超过30米的概率为,63,因此三次测量中至少有一次误差绝对值不超过30的概率为,64,内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比.,P44习题2.17设随机变量X的绝对值不大于1；,在事件-1X1出现的条件下，X在(-1,1),试求:,(2)X取负值的概率P,(1)X的分布函数F(x),65,解,由题设知,设,于是,(1)当,当,当,上式中令得,推导较复杂先做准备工作.,66,又,于是当时，,67,(2),68,P45习题2.18设XB(3,0.4),求下列随机变量的分布律1、Y1=X22、Y2=X2-2X3、Y3=3X-X22,解：X的概率分布为PX=k=列表如下：,69,则有Y1，Y2，Y3的分布律分别为,70,P45习题2.19设随机变量X的概率密度函数为,求随机变量Y=的概率密度函数。,解：先求Y的分布函数FY(y)=PYy=Py,（1）当y1时，=P(X0)=0,(2)当y1时,FY(y)=P(Xlny)=,71,所以Y的概率密度函数为,即,72,第三章多维随机变量及其分布,73,P72习题3.1箱子里装有12只开关，其中只有2只次品，从箱中随机地取两次，每次取一只，且设随机变量X，Y为,试就放回抽样与不放回抽样两种情况，写出X与Y的联合分布律.,74,解:先考虑放回抽样的情况,则X,Y的联合分布律为：,75,再考虑不放回抽样的情况,则此种情况下，X与Y的联合分布律为：,76,P72习题3.2将一硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出（X,Y）的联合分布律及边缘分布律.,解:已知可得：X的取值可能为0，1，2，3；Y=Y的取值可能为1，3；硬币出现正面和反面的概率各为，可知,77,78,Y13,X0123,03/83/806/81/8001/82/81/83/83/81/81,联合概率分布表为:,79,解：由已知可得：X的取值可能为0，1，2，3；Y的取值可能为0，1，2，3；则,P72习题3.3把三个球随机地投入三个盒子中去，每个球投入各个盒子的可能性是相同的，设随机变量X与Y分别表示投入第一个及第二个盒子中的球的个数，求二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布.,80,81,则二维随机变量（X,Y）的概率分布及边缘分布为,82,P72习题3.4设(X,Y)的概率密度为,求：(1)P(x,y)D,其中D=(x,y)|x1,y3;(2)P(x,y)D,其中D=(x,y)|x+y3.,83,解：（1）,（2）,84,P72习题3.5设(X,Y)的概率密度为,求：(1)系数c；(2)(X,Y)落在圆,内的概率.,85,解：（1）由,得,可求得,（2）设,则,86,P72习题3.6已知随机变量X和Y的联合概率密度为,求X和Y的联合分布函数。,解：随机变量X和Y的联合概率密度为,当x0,或y0时，F(x,y)=0;,当,时，,87,当,时，,当,时，,综上可得，X和Y的联合分布函数为,当,时，,88,P72习题3.7设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,（1）求常数k；（2）求P0x2,1y3;（3）求X,Y的边缘概率密度；（4）判断X与Y是否相互独立.,89,解：（1）由概率密度的性质有,即,有,（2）,90,(3)X的边缘概率密度为,当0x6时，,当x0或x6时，显然有,91,Y的边缘概率密度为,当00时，,所以Y的边缘概率密度,而,101,P73习题3.11设X,Y相互独立，其概率密度为,求Z=X+Y的概率密度.,解：由已知得,当z1时，,Z=X+Y的概率密度为,103,此种类型的题目建议先求分布函数在求导得密度函数,解：X与Y独立，则,则,104,易求,105,从而,106,P73习题3.12设随机变量（X,Y）的概率密度为,求Z=X-Y的概率密度.,解：Z=X-Y的分布函数为,107,Z=XY的概率密度为,108,P73习题3.13设随机变量(X,Y)的联合概率密度为,求Z=X2+Y2的概率密度。,109,时，,时，,解:当,当,110,P73习题3.14设二维随机变量（X,Y）在矩形,上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f(s).解：由已知可得随机变量（X,Y）的概率密度为,设边长为X和Y的矩形面积S的分布函数为F(s)，则,111,矩形面积S的概率密度为,112,P73习题3.15设X和Y为两个随机变量，且,求,解：,同理可得,113,又,114,求：(1)PX0的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间T的概率分布。,解：三个元件都无故障工作时间分别为X,Y,Z,则,T=min(X,Y,Z),且X,Y,Z的概率密度都为,129,则,故T服从参数为30的指数分布,即概率密度为,130,第四章随机变量的数字特征,131,P89习题4.1,解：设所需比赛场数为X,则X的分布律为