江苏省南京市2020学年高二数学上学期期末调研 理 苏教版

南京市20202020学年度第一学期期末调研测试卷高二数学（理科） 2020.01注意事项：1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为100分，考试时间为100分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答卷纸参考公式：V锥体Sh (S表示底面面积，h表示锥体的高)一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分请把答案填写在答卷纸相应位置上1复数 (i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第 象限2已知p：xR，x2x1，则p为 3在平面直角坐标系中，准线方程为y4的抛物线标准的方程为 4若“x1”是“xa”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 5若圆x2y24与圆x2(y3)2r2 (r0)外切，则实数r的值为 6若复数z满足(zi)(2i)117i(i为虚数单位)，则|z| 7函数y2sinxx，x0，的单调递减区间为 8直线ykx3与圆(x3)2(y2)24相交于M，N两点，若MN2，则实数k的值是 9 已知动点M到A(4，0)的距离等于它到直线x1的距离的2倍，则动点M的轨迹方程为 10观察下列等式：()，()，()，()，可推测当n3，nN*时， 11已知椭圆1与双曲线y21有共同焦点F1，F2，点P是两曲线的一个交点，则PF1PF2为 12在直角三角形ABC中，C为直角，两直角边长分别为a，b，求其外接圆半径时，可采取如下方法：将三角形ABC补成以其两直角边为邻边的矩形，则矩形的对角线为三角形外接圆的直径，可得三角形外接圆半径为；按此方法，在三棱锥SABC中，三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为a，b，c，通过类比可得三棱锥SABC外接球的半径为 13已知曲线yx2 (x0)在点P处切线恰好与圆C：x2(y1)21相切，则点P的坐标为 14若函数f(x)在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称yf(x)在I 上是“弱增函数”已知函数h(x)x2(b1)xb在(0，1上是“弱增函数”，则实数b的值为 二、解答题：本大题共6小题，共计58分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本题满分8分）已知命题p：任意xR，x21a，命题q：方程1表示双曲线（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若 “p且q”为真命题，求实数a的取值范围16（本题满分8分）已知以点P为圆心的圆经过点A(1，4)，B(3，6)，线段AB的垂直平分线与圆P交于点C，D，且CD4（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程17（本题满分10分）如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD平面ABCD，SDAD3，E为线段SD上的一点ABCDES（第17题）（1）求证：ACBE；（2）若DE1，求直线SC与平面ACE所成角的正弦值18（本题满分10分）如图，在边长为2 （单位：m）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型设切去的等腰三角形的高为x m（1）求正四棱锥的体积V(x)；（2）当x为何值时，正四棱锥的体积V(x)取得最大值？xx（第18题）h19（本题满分10分）如图，已知椭圆1(ab0)的右焦点为F（c，0），下顶点为A(0，b)，直线AF与椭圆的右准线交于点B，与椭圆的另一个交点为点C，若F恰好为线段AB的中点FABCxy（第19题）O（1）求椭圆的离心率；（2）若FC，求椭圆的方程20（本题满分12分）设函数f(x)lnxax，aR（1）当x1时，函数f(x)取得极值，求a的值；（2）当a0时，求函数f(x)在区间1，2的最大值；（3）当a1时，关于x的方程2mf(x)x2（m0）有唯一实数解，求实数m的值20202020学年度第一学期期末调研测试卷高二数学（理）参考答案及评分标准 2020.01说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1四 2$xR，x2x1 3x216y 4（，1）51 65 7(，)开闭区间均可 80或93x2y212 10() 115 1213(，6) 141说明：填空题的严格按照评分标准，没有中间分，第8题少解或有错解不得分，第9题可以不化为答案的形式，但仅列式不化简不给分二、解答题（本大题共6小题，共58分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分8分）解（1）记f(x)x21，xR，则f(x)的最小值为1， 2分因为命题p为真命题，所以af(x)min1，即a的取值范围为(，1 4分（2）因为q为真命题，所以a20，解得a2 6分因为“p且q”为真命题，所以即a的取值范围为(2，18分说明：第(1)问，得出命题p为真命题的等价条件a1，给4分，没过程不扣分，第(2)问分两步给，得到a2给2分，得到x(2，1给2分，少一步扣2分16（本题满分8分）解 （1）因为直线AB的斜率k1，AB中点坐标为M(2，5)， 2分所以直线CD方程为y5(x2)，即xy70 4分（2）设圆心P(a，b)，则由P在CD上得，ab70 又直径CD4，所以PA2，即(a1)2(b4)24 6分由解得或所以圆心P(1，6)或P(3，4)所以圆P的方程为(x1)2(y6)24或(x3)2(y4)24 10分说明：本题满分应为8分，最后10分改为8分，第(2)问若少一解扣2分改为扣1分，其他按评分标准给分，17（本题满分10分）解 （1）因为四棱锥SABCD的底面为正方形，SD平面ABCD，所以SD，DC，DA两两互相垂直，xzABCDESy以，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则各点的坐标为D(0，0，0)，A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，S(0，0，3)，2分设E(0，0，t) (0t3)，则(3，3，0)，(3，3，t)所以3(3)3(3)0t0，所以，即ACBE； 5分（2）因为DE1，所以t1，所以(0，3，3)，(3，3，0)，(3，0，1)设平面ACE的法向量n(x，y，z)，直线SC与平面ACE所成角为，所以n0，n0，即3x3y0，3xz0，解得xy，z3x取x1，则n(1，1，3)， 8分所以n0131(3)36，|n|，|3，则sin|cos，n|所以直线SC与平面ACE所成角的正弦值为 10分说明：第(1)问：建系设坐标给2分，若没有指出SD，DC，DA两两互相垂直，不扣分；写对，的坐标各给1分；第(2)问：分两步给分，求出法向量给3分，求出角的正弦给2分，若把它当成余弦扣1分18（本题满分10分）ANO解 （1）设正四棱锥的底面中心为O，一侧棱为AN则由于切去的是等腰三角形，所以AN，NO1x，2分在直角三角形AON中，AO，4分所以V(x)2(1x)2(1x)2，（0x1) 6分（不写0x1扣1分）（2）V (x)(2x2)(x1)， 8分令V (x)0，得x1(舍去)，x当x(0，)时，V (x)0，所以V(x)为增函数；当x(，1)时，V (x)0，所以V(x)为减函数所以函数V(x)在x时取得极大值，此时为V(x)最大值答：当x为m时，正四棱锥的体积V(x)取得最大值 10分说明：按评分标准给分，不写函数的定义域扣1分，没有答扣1分19（本题满分10分）解 （1）因为B在右准线上，且F恰好为线段AB的中点，所以2c， 2分即，所以椭圆的离心率e 4分（2）由(1)知ac，bc，所以直线AB的方程为yxc，设C(x0，x0c)，因为点C在椭圆上，所以1， 6分即x2(x0c)22c2，解得x00(舍去)，x0c所以C为(c，c)， 8分因为FC，由两点距离公式可得(cc)2(c)2，解得c22，所以a2，b，所以此椭圆的方程为1 10分说明：第(1)问4分，第(2)问也可用下列方法：由几何方法得出点C的坐标为(c，) 6分因为点C在椭圆上得1，得出c 8分所以a2，b，所以此椭圆的方程为1 10分20（本题满分12分）（1）f(x)的定义域为（0，），所以f (x)a 2分因为当x1时，函数f(x)取得极值， 所以f (1)1a0，所以a1经检验，a1符合题意（不检验不扣分） 4分（2）f (x)a，x0令f (x)0得x因为x(0，)时，f (x)0，x(，)时，f (x)0，所以f(x)在(0，)递增，在(，)递减， 5分当01，即a1时，f(x)在(1，2)上递减，所以x1时，f(x)取最大值f(1)a；当12，即a1时，f(x)在(1，)上递增，在( ，2)上递减，所以x时，f(x)取最大值f()lna1；当2，即0a时，f(x)在(1，2)上递增，所以x2时，f(x)取最大值f(2)ln22a综上，当0a时，f(x)最大值为ln22a；当a1时，f(x)最大值为lna1；当a1时，f(x)最大值为a 8分（每种情形1分）（3）因为方程2mf(x)x2有唯一实数解，所以x22mlnx2mx0有唯一实数解，设g(x)x22mlnx2mx，则g (x)，令g (x)0，x2mxm0因为m0，x0，所以x10（舍去），x2，当x(0，x2)时，g (x)0，g(x)在（0，x2）上单调递减，当x(x2，)时，g (x)0，g(x)在（x2，）单调递增，当xx2时，g(x)取最小值g(x2) 10分则即所以2mlnx2m