江苏省南京师范大学附属扬子中学高二数学不等式测试卷VIP

江苏省南京师范大学附属扬子中学高二数学不等式测试卷一、 选择题1. 若x1,则x+1/(x-1)的最小值是A.2x/(x-1) B.2 x/(x-1)1/2 C.2 D.3答案D2. 在下列函数中,最小值为2是A.y=x/5+5/x(xR且x0) B.y=lgx+1/lgx(1x10)C.y=3x+3-x (xR) D.y=sinx+1/sinx(1x/2)答案C3. 已知,x1,y1且lgx+lgy=4,则lgxlgy的最大值是A.-2,2 B.-2,31/2 C.6 D.4答案D4. 已知log3 m+ log3 n=2,则m+n的最小值是A.2*21/2 B.2 C.6 D.3*21/2答案C5. 函数y=x+1/x (x0)的值域是A.y-2y2 B.yy2 C. yy-2或 y2 D. yy-2答案C6. 已知a0,b0且a+b=1,则(1/a2 -1)(1/b2 -1)的最小值是A. 9 B. 8 C.7 D. 6答案A7. 设x0,从不等式x +1/x2和x +4/x 2=x/2+x/2+4/ x 2 3,启发我们可推广为x+( )/xn n+1,则括号内应填写的是A. nn B. n2 C. 2n D.22(n-1)答案A8. 若x,y是正数,则x+1/(2y)2 +y+1/(2x)2的最小值是A. 3 B.7/2 C.4 D.9/2答案C9. 已知非负实数a,b满足2a+3b=10, 则(3b)1/2+(2a)1/2最大值是A. 101/2 B.2*51/2 C.5 D.10答案B10. 若-4x1,则y=(x22x+2)/(2x-2)有A. 最小值1 B. 最大值1 C. 最小值-1 D. 最大值-1答案D11. 已知ab0,全集U=R,M=xbx(a+b)/2,N=x(ab)1/2xa,P=xbx(ab)1/2,则A. P=M(CU N) B. P=(CU M)N C. P=MN D. P=MN答案A12. 若x0,y0,且2/x+8/y=1,则xy有A. 最大值64 B. 最小值1/64 C. 最小值1/2 D. 最小值64答案D二、 填空题13. 设A=x2+2,B=2x,则A与B的大小关系是_.答案AB14. 函数f(x)= x2 (4-2 x2)(0x21/2)的最大值是_.答案215. 已知x,y满足x+y+1=0,则A=2x+2y的最小值是_.答案21/216. 已知0a1,0b1,且log2 alog2 b=16,则的log2 (ab)最大值为_.答案-817. 已知0ab,a+b=1,则将a2 +b2,2ab,a,1/2按从小到大的顺序排列得_.答案a2ab1/2a2 +b218. 在函数y=-x-4/x-2(x0),y=tanx+1/tanx(0x/2),y=lgx+lg-1x(x0),y=( x2+2) 1/2+1/( x2+2) 1/2 (xR)中,以2为最小值的函数的序号是_.答案三、 简答题19. 已知实数a,b,c,d满足a+b=7,c+d=5,求(a+c) 2+(b+d) 2的最小值.答案:因为(a+c) 2+(b+d) 2/21/2(a+c) +(b+d)/2,当且仅当a+c=b+d时,取“=”所以(a+c) 2+(b+d) 2/21/2(7+5)/2=6所以(a+c) 2+(b+d) 2/236所以(a+c) 2+(b+d) 2的最小值为72.20. 设a0且a1,t0,试比较1/2logat与loga(t+1)/2的大小,并证明你的结论.答案: 因为1/2logat - loga(t+1)/2= logat1/2 - loga(t+1)/2= loga2t1/2/(t+1)令x= t1/2 (x0)2t1/2/(t+1)=2x/(x2+1)=2/(x+1/x)因为x0, 所以x+1/x2.当且仅当x=1,即t=1时,取“=”所以2/(x+1/x)1, 即2t1/2/(t+1) 1 a1时, loga2t1/2/(t+1) 0,所以1/2logatloga(t+1)/2 0a1时, loga2t1/2/(t+1)0所以1/2logatloga(t+1)/221. 今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它秤物体的质量,只需将物体放在左右托盘各秤一次,则两次结果的和的一半就是物体的真实质量.这种说法对吗?请说明理由.答案:设该物体实际质量为M,该天平长臂长L1,短臂长为L2.将物体放长臂端测,结果M1=M L1/ L2.将物体放短臂端测,结果M2=M L2/ L1.因为(M1+ M2)/2=( M L21+ M L22)/(2 L1 L2)因为( M L21+ M L22)/(2 L1 L2)-M=( M L21+ M L22-M L1 L2)/ (2 L1 L2)=M(L1- L2) 2/(2 L1 L2)又因为2 L1 L20,M0, (L1- L2) 20所以( M L21+ M L22)/(2 L1 L2)-M0所以,用该方法计算不准确,计算结果大于物体真实值.22. 是否存在常数c,使得不等式x/(2x+y)+y/(x+2y)cx(x+2y)+y(2x+y)对任意正数x,y恒成立?试证明你的结论.(提示:将分母看成整体就会简单)答案: 令2a+y=a,x+2y=b 则x=(2a-b)/3,y=(2b-a)/3则x/(2x+y)+y/(x+2y)= (2a-b)/(3a)+ (2b-a)/(3b)=(4-a/b-b/a)/3则x(x+2y)+y(2x+y)= (2a-b)/(3b) + (2b-a)/(3a)=(2a/b+2b/a-2)/3因为x0,y0. 所以a/b0,b/a0. 所以x/(2x+y)+y/(x+2y)2/3当且仅当a=b时,取“=”所以x/(2x+y)+y/(x+2y)2/3当且仅当a=b时,取“=”所以c=2/323. 在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边.求证:1/2(1/a+1/b+1/c)cosA/a+cosB/b+cosC/c1/a+1/b+1/c答案: 因为cosA1, cosB1, cosC1所以cosA/a1/a, cosB/B1/b, cosC/C1/c所以cosA/a+cosB/B +cosC/C1/a+1/b+1/c要证cosA/a+cosB/b+cosC/c1/2(1/a+1/b+1/c)即证(a2+b2+c2)/(2ac) (ab+bc+ac)/(2abc)即证a2+b2+c2 ab+bc+ac即证2a2+2b2+2c2 2a