江苏省南通市海安高级中学2020学年高二数学上学期期中试题

2020学年度第一学期期中考试高二年级数学试卷一.填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 已知集合 集合，则中元素的个数为 .2. 已知是等差数列，是其前项和，若=10，则的值是 .3. 若不等式的解集为，则的值为 .4. 曲线在点处的切线方程为 .（写出斜截式方程）5. 已知向量a，b满足，则ab = .6. 若，则 .7. 已知实数满足不等式组 ，则的最大值为 .8. 已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则m = .9. 在数列中，是其前项和，则的值是 .10. 平面上三条直线x2y+1=0，x1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的取值组成的集合A=_ _11. 若直线过点，则的最小值为_ _12. 已知点P在椭圆上，是椭圆的两个焦点，若，且的三条边长成等差数列，则椭圆的离心率e = .13. 直线与直线相交于点M，则长度的最小值为 .14. 定义：点到直线的有向距离为已知点，直线m过点，若圆上存在一点，使得三点到直线m的有向距离之和为0，则直线m斜率的取值范围是_ _二. 解答题：本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形， 平面，且，点为线段的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.16. （本小题满分14分）如图，是单位圆O上的点，C，D分别是圆O与x轴的两交点，为正三角形.（1）若点坐标为，求的值；（2）若，四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值.17.（本小题满分14分）已知函数，其中R（1）当时，求函数在上的值域；（2）若函数在上的最小值为3，求实数k的取值范围18. （本小题满分16分）某海警基地码头O的正东方向40海里处有海礁界碑M，过点M且与OM成（即北偏西）的直线l在在此处的一段为领海与公海的分界线（如图所示），在码头O北偏东方向领海海面上的A处发现有一艘疑似走私船（可疑船）停留. 基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O处即刻出发，按计算确定方向以可疑船速度的2倍航速前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在P处恰好截获可疑船.（1）如果O和A相距6海里，求可疑船被截获处的点P的轨迹；（2）若要确保在领海内捕获可疑船（即P不能在公海上）则、之间的最大距离是多少海里？19（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且过点，过椭圆的左顶点A作直线轴，点M为直线上异于点A的动点，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于P（1）求椭圆C的方程；（2）求证：；（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由20（本小题满分16分）已知常数0，设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足：a1 = 1，（）(1)若 = 0，求数列an的通项公式；(2)若对一切恒成立，求实数的取值范围2020学年度第一学期期中考试高二年级数学试卷答案一、填空题.1. 已知集合 集合，则中元素的个数为 .【答案】22. 已知是等差数列，是其前项和，若=10，则的值是 .【答案】-43. 若不等式的解集为，则的值为 .【答案】-34. 曲线在点处的切线方程为 .（写出斜截式方程）【答案】5. 已知向量a，b满足，则ab = .【答案】-16. 若，则 .【答案】7. 已知实数满足不等式组 ，则的最大值为 .【答案】88. 已知椭圆的焦点轴上，且焦距为4，则m = .【答案】139. 在数列中，是其前项和，则的值是 .【答案】12610. 平面上三条直线x2y+1=0，x1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的取值组成的集合A= .【答案】1，0，211. 若直线过点，则的最小值为 .【答案】1912. 已知P在椭圆上，是椭圆的两个焦点，且的三条边长成等差数列，则椭圆的离心率e = .【答案】13. 直线与直线相交于点M，则长度的最小值为 .【答案】14. 定义：点到直线的有向距离为已知点，直线m过点，若圆上存在一点，使得三点到直线m的有向距离之和为0，则直线m斜率的取值范围是 .【答案】二、解答题.DCBAPE15.如图，在四棱锥中，底面是正方形， 平面，且，点为线段的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.（1）证明：连结，交于点，连结.因为是正方形对角线交点，所以为中点，由已知为线段的中点，所以 ，又，所以平面.（2）证明：因为，为线段的中点，所以，因为平面，所以，在正方形中，又，所以平面，又，所以，又，所以平面.OCBDyxA16.如图，是单位圆O上的点，C，D分别是圆O与x轴的两交点,为正三角形.（1）若点坐标为，求的值；（2）若，四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值.解：（1）（2）又因为，所以，所以.所以当时，.17.已知函数，其中R（1）当时，求函数在上的值域；（2）若函数在上的最小值为3，求实数k的取值范围解：(1)当时，令得，列表：0135+00+1递增极大值5递减极小值1递增21 由上表知，函数的值域为（2）， 当 时， ，函数在区间单调递增，所以，即（舍） 当 时， ，函数在区间单调递减，所以，符合题意 当 时，当时，在区间单调递减；当时，区间在单调递增所以，不符合题意综上所述：实数取值范围为18.某海警基地码头O的正东方向40海里处有海礁界碑M，过点M且与OM成（即北偏西）的直线l在在此处的一段为领海与公海的分界线（如图所示），在码头O北偏东方向领海海面上的A处发现有一艘疑似走私船（可疑船）停留. 基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O处即刻出发，按计算确定方向以可疑船速度的2倍航速前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在P处恰好截获可疑船.（1）如果O和A相距6海里，求可疑船被截获处的点P的轨迹； l公海东ONMOAN（2）若要确保在领海内捕获可疑船（即P不能在公海上）则、之间的最大距离是多少海里？18.解：（1）以O为原点，OM为x轴建立如图坐标系，设可疑船能被截获的点为P(x，y)，由题意得OP=2AP，OA=6 (海里)，AOx=，点A的坐标(3，3)，则有=2，化简得(x4)2+(y4)2=16，轨迹是以(4，4)为圆心，4为半径的圆（2）设点A的坐标(t，t)，t0，可疑船被截获处的点为P(x，y)，由题意得OP=2AP，即有=2，化简得(x)2+(y)2=因为M(40，0)，l的倾斜角，因此直线方程为l：x+y40=0由题意，点A在领海内，因此t+t400即0tP的轨迹与直线没有公共点，则轨迹圆心到分界线距离 ，即 |5|，解之得 t(不合，舍去)或0t又因为OA=2t，因此OA的最大距离为15(1) (海里)lOBPMyxA19在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且过点，过椭圆的左顶点A作直线轴，点M为直线上的动点，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于P（1）求椭圆C的方程；（2）求证：；（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由18解：（1）因为C：的离心率为，所以，则，又椭圆C过点，所以 所以，则椭圆C的方程（2）设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为，设，将代入椭圆C的方程中并化简得：，解之得，所以，从而令，得，所以，又，所以，所以（3）=所以为定值420（本小题满分16分）已知常数0，设各项均为正数的数列an的前n项