江苏省如皋中学2020学年高二数学上学期第二次月考试卷 理

江苏省如皋中学江苏省如皋中学 20202020 学年高二数学上学期第二次月考试卷学年高二数学上学期第二次月考试卷 理理 第第 卷卷 ( (共共 160160 分分 时间：时间：120120 分钟分钟) ) 注意：答卷可能用到的公式：注意：答卷可能用到的公式： 3 4 3 VR 球 ； 2 4SR 球面 ； 1 3 VSh 椎体 ； 1 2 Sclrl 圆锥侧 . 一填空题：本大题共一填空题：本大题共 1414 小题，每题小题，每题 5 5 分，共分，共 7070 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上 1.复数 1 2 i z i ，其中i是虚数单位，则复数 z 的虚部是 . 2.已知复数 22aibi ，其中a bR， ，i是虚数单位，则 abi . 3.若椭圆 22 55kxy 的一个焦点为(2,0)，则k . 4.已知双曲线的渐近线方程为 1 2 yx ，且过点(4, 2)，则此双曲线的方程 . 5.某施工小组有男工 7 人，女工 3 人，现要选 1 名女工和 2 名男工去支援另一施工队，不同 的选法有 种(结果用数字作答结果用数字作答) 6.从0,1,2,3,4,5,6这7个数字中取出4个数字，能组成 个没有重复数字的四位数.(结果结果 用数字作答用数字作答) 7.已知a bc， 是不重合的直线， ， 是不重合的平面，以下结论正确的是 .(将正确 的序号均填上) 若 /a bb， ，则 /a；若abacbc， ，则a ； 若a a， ，则 ； 若 /abab， ，则 / . 8.若直线l经过抛物线 2 4yx的焦点，与抛物线交于AB，两点，且线段 AB 中点的横坐标为 2，则线段 AB 的长为 . 9.设P ABC， 是球O表面上的四个点，且PA PBPC， 两两垂直，若 1PA ， 2PB ， 3PC ，则球O的表面积是 . 10.已知P为椭圆 22 1 82 xy 上一动点，点 1,0A ，则PA的最小值为 . 11.如图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧棱 1 AA 平面 11 ABC， 1 1AA ，底面 ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥 111 AABC的体积为 . 12.在平面直角坐标系xOy中，P为椭圆 22 1 4924 xy 上一点， 12 FF，是椭圆的左、右焦点， 且 12 PFF的重心为点G，若 12 :3:4PFPF ，则 1 GOF的面积为 . 13.已知P是椭圆 22 1 43 xy 上的一动点， 12 FF， 是椭圆的左、右焦点，延长 2 F P到Q使得 1 FPPQ ，点M为 1 FQ 中点，若直线 :8l ykxk 上存在点A，使得 30OAM，则实 数k的取值范围为 . 14.椭圆 22 1 259 xy 的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭 圆于A B， 两点，线段AB的垂直平分线交 y 轴于G，则点G的纵坐标的取值范围是 . 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 9090 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必 要的文字说明、证明过程和演算步骤要的文字说明、证明过程和演算步骤 15. ( (本题满分本题满分 1414 分分) ) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴的左、右端点分别是AB，右焦点 F 的坐标 为(4,0)，离心率为 2 3 ，点P在椭圆C上，且位于 x轴上方， PAPF. (1)求椭圆C的方程； (2)求点P的坐标. 16. ( (本题满分本题满分 1414 分分) ) 某养路处建造圆锥形仓库(仓库的底面利用地面仓库的底面利用地面)用于存放食盐，用来供融化高速公路上 的积雪.已建仓库的底面直径为12m，高为4m .养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放 更多的食盐.现有两个方案：一是新建仓库的底面直径比原来的大4m (高度不变)，二是高度 增加4m (底面直径不变). (1)分别计算按这两个方案所建仓库的体积； (2)分别计算按这两个方案所建仓库的表面积； (3)哪一个方案更经济些？ 17. ( (本题满分本题满分 1414 分分) ) 如图，四棱锥P ABCD 的底面是菱形，且 60ABC，又PAB 是等边三角形， EF， 分别是AB PD， 的中点 (1)求证：AB 平面PEC； (2)求证： /AF 平面PEC. F E D C B A P 18. ( (本题满分本题满分 1616 分分) ) 如图，正方体 1111 ABCDABC D中，过顶点 1 AC，的平面分别与棱 11 ABC D，交于MN，两 点 (1)求证：四边形 1 AMCN 是平行四边形； (2)求证：平面 1 AMCN 平面 1 C BD A 1 A B C D 1 B A 1 C A 1 D A M N 19. ( (本题满分本题满分 1616 分分) ) 已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线 1 2lx ：的距离为 1 d ，到点( 10)F ，的 距离为 2 d，且 2 1 2 2 d d (1)求动点P所在曲线C的方程； (2)过点F的直线l与曲线C交于不同两点A、B，求 22 FAFB的最小值 20. ( (本题满分本题满分 1616 分分) ) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 离心率为 2 2 ，焦点到相应准线 的距离为1.动点M在椭圆C上，过点M作 x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNM . 设点Q在直线4x 上，且满足2OP PQ . (1)求椭圆C的方程； (2)证明过点P且垂直于OQ的直线l经过 x轴上的一个定点，并求出这个定点； (3)设(2)中的定点为E，当四边形OPQE面积为2 时，求点M的坐标. 20202020 学年度第一学期阶段练习学年度第一学期阶段练习 高二数学高二数学( (理科理科) ) 第第 卷卷( (附加题附加题) ) ( (共共 4040 分分 时间：时间：3030 分钟分钟) ) 21. ( (本题满分本题满分 1010 分分) ) 在极坐标系中，设圆C经过点 3 6 P （，），圆心是直线 3 sin() 32 与极轴的交点 (1)求圆C的半径； (2)求圆C的极坐标方程 22. ( (本题满分本题满分 1010 分分) ) 在平面直角坐标系 xoy 中，直线l经过点 (3,0)P ，倾斜角为3 .以坐标原点O为极点， x轴的非负半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程 2sin .若 A点在直线l上，B点在曲线C上，求AB的最小值 23. ( (本题满分本题满分 1010 分分) ) 已知(1 2 )nx ， * nN (1)若展开式中奇数项的二项式系数和为128，求展开式中二项式系数最大的项的系数； (2)若展开式前三项的二项式系数和等于37，求展开式中系数最大的项 24. ( (本题满分本题满分 1010 分分) ) 已知点F是抛物线 2 :2(0)C ypx p 的焦点，点 ( , 2)A m 在抛物线C上，且 2AF (1)求抛物线C的方程； (2)已知点( 1 0)G ，过点 F 的直线交抛物线于MN，两点，求证：MGFNGF B A C y xO B A C y xO 20202020 学年度第一学期阶段练习学年度第一学期阶段练习 高二数学高二数学( (理科理科) )参考答案参考答案 第第卷卷 1. 1 2 ； 2. 2 2 ； 3. 1； 4. 22 1 82 xy ； 5. 63； 6. 720； 7. ； 8. 6； 9. 14； 10. 15 3 ； 11. 2 3 ； 12. 4； 13. 33 , 33 ； 14. 3232 ,0)(0, 1515 . 15.解：(1)由椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点 F 的坐标为(4,0)，离心率为 2 3 知， 4c ， 2 3 c a ，所以6a ， 222 20bac， 所以，椭圆C的方程为 22 1 3620 xy . -6 分 (2)设( , )P x y，(0)y ，由(1) 知( 6,0)A ，又(4,0)F， 由PAPF得，1 PAPF kk ，故1 64 yy xx ，即 2 (6)(4)xxy ，-10 分 又点( , )P x y在椭圆上，所以 22 1 3620 xy ， 由得， 2 29180 xx，故 3 2 x ，或6x (舍去)， 由0y 得， 5 3 2 y ， -12 分 所以，点P的坐标为 3 5 3 ( ,) 22 . -14 分 16.解：由题意知，第一个方案中所建仓库的圆锥的底面半径为8m，高度为4m ，母线长为 22 8 +44 5m；第二个方案中所建仓库的圆锥的底面半径为6m，高度为8m，母线 长为 22 6 +810m.-4 分 (1)按方案一所建仓库的体积 223 1 11196 84(m ) 333 Vrh； 按方案二所建仓库的体积 223 2 11 6896(m ) 33 Vrh. - -8 分 (2)按方案一所建仓库的表面积 2 1 84 532 5(m )Srl ； 按方案二所建仓库的表面积 2 2 6 1060(m )Srl . - -12 分 (3)因为 12 VV， 12 SS，所以第二个方案更经济些. - -14 分 注：注：(1)(1)本题不写单位的扣本题不写单位的扣 2 2 分；分；(2)(2)母线长没有明确计算的扣母线长没有明确计算的扣 2 2 分分. . 17. (1) 证明：连结AC. 因为ABCD是菱形，且 60ABC，且ABC 是等边三角形， 因为E是AB的中点，所以CE AB . PAB 是等边三角形，E是AB的中点，所以PE AB ， - -4 分 因为PE CEE ，PE 平面PEC，CE 平面PEC， 所以AB 平面PEC， - -7 分 (2) 证明：取PC中点G，连结FG EG， . 在 PCD 中，F G， 分别为PD PC， 的中点，所以 /FG CD且 1 2 FGCD ， 又ABCD是菱形，E是AB的中点，所以 /AE CD且 1 2 AECD ， 从而 /FG AE且FGAE ，故四边形AEGF是平行四边形，-10 分 所以 /AF EG，又因为AF 平面PEC，EG 平面PEC， 所以 /AF 平面PEC. -14 分 18.证明：(1) 正方体 1111 ABCDABC D中， 因为平面 1111/ ABC D平面ABCD，平面 1 AC 平面 11111 ABC DA N， 平面平 1 AC 面ABCDCM，所以， 1 /A N CM ， 同理可得 1 /AM CN 所以，四边形 1 AMCN为平行四边形， - -6 分 A 1 A B C D 1 B A 1 C A 1 D A M N G F E D C B A P (2)连结 1 AC ，AC. 正方体 1111 ABCDABC D中， 因为四边形ABCD为正方形，所以ACBD， 又因为 1 AAABCD 平面，BDABCD 平面，所以 1 AABD， 而 1 AAACA， 11 ACAAA AC，平面 所以， 1 BDA AC 平面， -9 分 又 11 ACA AC 平面，故 1 BDAC， 同理， 11 ACBC， - 12 分 因为 1 BCBD，且 1 BCBDB， 11 BCBDBC D，平面， 所以， 11 ACBC D 平面， -14 分 又因为 11 ACAMCN 平面 所以， 11 C BDAMCN平面平面. -16 分 19. 解：(1)设( , )P x y，由 1 2 2 2 d d ，得 2 1 2 2 1 2 d d ，即 22 2 (1)1 (2)2 xy x ， 化简得， 22 22xy， 所以，动点P所在曲线C的方程为 2 2 1 2 x y. -6 分 (2)当直线 AB 斜率存在时，直线 AB 的方程为(1)yk x，设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy. 由 22 (1), 22. yk x xy 得 2222 (21)4220kxk xk， 故 2 12 2 4 21 k xx k ， 2 12 2 22 21 k x x k ， 42 22 12 22 844 (21) kk xx k ，-10 分 又 1 2 2 2 AFx， 2 2 2 2 BFx， (该步要有推导过程该步要有推导过程) ) 所以 42 2222 1212 22 11262 42()()4 2(21) kk AFBFxxxx k ， 设 2 21tk(1)t ，则 2 21kt ， 所以 22 2 23 11AFBF tt ， - 14 分 当直线 AB 斜率不存在时， 2 2 AFBF， 22 1AFBF， 所以 22 AFBF的最小值为1. -16 分 20.(1) 由椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 离心率为 2 2 ，焦点到相应准线的距离为1，得： 2 222 2 , 2 1, , c a a c c abc 解得，2a ，1b ， 所以，求椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y . -4 分 (2)设 00 (,)M xy ， ( 4,)Qm . 因为点P满足 2NPNM ，所以 00 (, 2)P xy ， 由 2OP PQ 得， 0000 (, 2) ( 4,2)1xyx my ，即 22 0000 4221xxmyy ， 又因为 22 00 22xy ，所以 00 244myx ，(*) - - 6 分 过点P且垂直于OQ的直线l的方程为： 00 (2)4()m yyxx ， - -8 分 令 0y 及(*)，得 00 00 244 1 44 myx xxx ， 所以，直线l经过x轴上的一个定点，其坐标为( 1, 0) . - -10 分 (1) 由(2)知， ( 1,0)E ，根据四边形OPQE知， 0 0y ， 0m ， 由(*)得， 0 0 44 2 x m y ， 所以 22 2200000 22 00 0 4422123 1616()44 222 xxyxx OQm yxy ， 2222 000000 (1)222123PExyxyxx ， -12 分 00 0 2 2 0 0 232311 42322 222 2 OPQE xx SPE OQx x x ， 平方，得 22 00 1 (23)(2) 2 xx ，即 2 0 (34)0 x ，解得 0 4 3 x ， -14 分 将 0 4 3 x 代入 22 00 22xy 得， 0 1 3 y ， 所以，所求点M的坐标为 4 1 (, ) 3 3 或 41 (,) 33 . - - 16 分 第第卷卷 附加题附加题 21. (1)令0得1，所以圆心C的坐标为(1,0)，在POC中， 由余弦定理得圆C的半径1rCP - -5 分 (2)设圆C上任意一点( , )M ，如图所示，在Rt OMA中，2cos， 所以，圆C的极坐标方程为2cos. -10 分 22. 解：因为0满足极坐标方程2sin，所以两边同时乘以得， 2 2 sin， 又因为cosx，siny，所以曲线C的直角坐标方程为 22 20 xyy， 其圆心坐标为(0,1)，半径为1. -4 分 直线l的方程为3(3)yx，即33 30 xy. -6 分 圆心C到直线l的距离 3013 3 1