江苏省常州市礼嘉中学2020学年高二数学下学期期中试题 理

常州市“教学研究合作联盟”2020学年度第二学期期中质量调研高二 数学（理科）试题注意事项1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分。本试卷满分160分，考试时间120分钟。2答题前，请务必将自己的姓名、考试号用毫米黑色签字笔填写在答题卡指定位置。3答题时，必须用毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。4如有作图需要，可用2B铅笔作答，并加黑加粗，描写清楚。5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。一律不准使用胶带纸、修正液及可擦写的圆珠笔。一填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.若复数满足（为虚数单位），则复数的实部是 2.已知，是空间两个单位向量，它们的夹角为，那么 3.若复数满足其中为虚数单位，为的共轭复数，则在复平面内对应的点位于第 象限.4.设,是两个不共线的空间向量，若，且三点共线，则实数的值为 5.若向量,，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 6.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是 7.如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为 8.我们知道等比数列与等差数列在许多地方都有类似的性质，请由等差数列的前项和公式.类比得到正项等比数列的前项积公式 9.用数学归纳法证明等式：，则从到时左边应添加的项为 10.如图，在直三棱柱中，点是棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为，则的长为 11.德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是指分子为分母为正整数的分数），称为莱布尼兹三角形.根据前行的规律，第行的左起第个数为 （第7题图） （第10题图） （第11题图）12.在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑中，平面，为的中点，则点到平面的距离为 13. 如图，已知正三棱柱中，分别为的中点，点在直线上且满足若平面与平面所成的二面角的平面角的大小为，则实数的值为 14. 如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形是上底面正中间一个正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知点是线段上的动点，点是线段上的动点，则线段长度的最小值为 （第12题图） （第13题图） （第14题图）二解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分）已知为虚数单位，复数,.（1） 若为实数，求的值；（2） 若为纯虚数，求.16.（本小题满分14分）已知矩阵 ， .（1）求；（2）若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线，求的方程.17.（本小题满分14分）已知数列满足，（1）求的值并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.18.（本小题满分16分）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，点,分别是,的中点.（1）求证：平面；（2）若点为棱上一点，且平面平面，求证：19.（本小题满分16分）如图，在正三棱柱中，所有棱长都等于.（1）当点是的中点时，求异面直线和所成角的余弦值；求二面角的正弦值；（2）当点在线段上（包括两个端点）运动时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.（第18题图） （第19题图）20.（本小题满分16分）（1）是否存在实数，使得等式对于一切正整数都成立？若存在，求出，的值并给出证明；若不存在，请说明理由.（2）求证：对任意的，.常州市“教学研究合作联盟”2020学年度第二学期期中质量调研高二 数学（理科）参考答案和评分标准一填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 1 2. 3.四 4. 4或-1 5. 且6. 存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和. 7. 8.9. 10. 1 11. 12. 13. 14. 二解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.15.解：（1）因为，若为实数，则. 3分此时，所以 7分（2）因为， 10分若为纯虚数，则，得， 12分所以 14分16.解：（1） = 6分（2）设曲线上任一点坐标为在矩阵对应的变换作用下得到点则 =，即，解得. 10分因为所以整理得，所以的方程为 14分17.解：（1）由得解得或又所以将代入，可得或又所以将代入，可得或又所以 3分故猜想数列的通项公式为 5分（2） 当时，猜想成立.假设当时，猜想成立，即 7分则当时，由得即即即即即解得或 12分又所以故当时，猜想成立.综上：由得. 14分18.解：平面，平面平面，平面又因为所以，则两两垂直，则以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系则各点的坐标为因为点分别是，的中点，所以 2分（1）证明：设平面的一个法向量为因为由得，令所以则 5分因为所以又平面所以平面. 8分（注：平面没交代扣1分，如果不用空间向量的方法做，比如取的中点证明平面平面，或者延长和相交于点然后证明也可以，但如果推理过程有一步错，则扣6分）（2）证明：因为为棱上一点，所以设则，所以即所以设平面的一个法向量为则所以消去可得令则所以 12分平面平面则所以 14分从而因为所以则即 16分19. 解：（1）取的中点为建立如图所示的空间直角坐标系，则当是的中点时，则设异面直线和所成角为则= 4分设平面的一个法向量为则所以令则 5分设平面的一个法向量为则令 6分设二面角的平面角为，则 8分所以 9分（2）当在上运动时，设设则设直线与平面所成的角为则 11分设设所以设直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为 16分20. 解：（1）在等式中令得；令得；令得；由解得对于都有成立. 3分下面用数学归纳法证明：对一切正整数，式都成立.当时，由上所述知式成立；假设当时式成立，即，那么当时， 5分综上：由得对一切正整数，式都成立，所以存在时题设的等式