第六章向量空间习题

向量空间习题中南大学数学与统计学院学业辅导室,STAYHUNGRY,STAYFOOLISH.JUDGENOTACCORDINGTOTHEAPPEARANCE.,主讲人：闵家祺,目录/CONTENTS,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.,1,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例1：全体正实数R，,判断R是否构成实数域R上的向量空间.,加法与数量乘法定义为：,首先，R，且加法和数量乘法对R是封闭的.,且ak唯一确定,其次，加法和数量乘法满足下列算律,(2),(1),解：,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,即a的负元素是；,(7),(8),R构成实数域R上的向量空间,;,Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.,1,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例1：设,是,矩阵，,，则,当且仅当,.,证明:不妨设,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,则,写开就是,此方程组等价于,因此,其它情况是类似的.,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例2：求向量组,，,的极大无关组.,解:以所给向量为列作矩阵,对矩阵A作初等行变换化阶梯形,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,由矩阵B知,线性无关且为极大无关组，因此,线性无关且为,的极大无关组.,Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例1：试证明：1，xa，(xa)2，(xa)n1,为Fxn的一组基,证明：,，按泰勒展开公式有,即f(x)可经1，xa，(xa)2，(xa)n1线性表出.,1，xa，(xa)2，(xa)n1为Fxn的一组基,线性表出，从而这两向量组等价，,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,在基1，xa，(xa)2，(xa)n1下的坐标是,此时，,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,解：令,有,例2：求数域F上的向量空间的维数和一组基,Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例1：已知的两组基：,求由基的过渡矩阵，,并求矩阵在基下的坐标.,解：,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,设A在基下的坐标为,则,即A在基下的坐标为,Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.,1,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例1：判断Fn的下列子集合哪些是子空间：,解：W1、W3是Fn的子空间，W2不是Fn的子空间.,若为Fn的子空间，求出其维数与一组基.,事实上，W1是n元齐次线性方程组,的解空间.所以，dimW1n1,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,就是W1的一组基.,而在W2中任取两个向量，设,则,故W2不是Fn的子空间.,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,故W3为Fn的一个子空间，且dimW3n1，,则有,设,W3是Fn的子空间.,就是W3的一组基.,其次，,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,设为F上n维向量空间V的一组基，,则的维数秩(A).,A为F上一个矩阵，若,例2：,证：设秩(A)r，不失一般性，设A的前r列线性无关，,并将这r列构成的矩阵记为A1，其余s-r列构成的矩阵记为A2，,则A(A1,A2)，且,秩(A1)秩(A)r，,设即,下证线性无关.,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,是V的一组基，,又秩(A1)r，方程组只有零解，即,线性无关.,从而,任取,将A的第j列添在A1的右边构成的矩阵记为Bj，则,设,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,则有,即,从而有,(3),而秩(Bj)r，有非零解，故有不全为零的数,故为的极大无关组，,所以的维数r秩(A).,线性相关.,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例3：设V为数域F上的向量空间，为V,的一组基，且,求的一组基，并把它扩充为V的一组基.,解：,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,令对A作初等行变换,又,由B知，A的列向量线性无关，从而,线性无关.故为的一组基.,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,则线性无关，从而为V的一组基.,Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.,1,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例1：若,是V的子空间，则,，或者,是子空间，,，即,或者,，矛盾，故,，故,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例2：在中，令,求及,易知，皆为的子空间.,解：任取,由有,由有,故，,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,从而，,再求,因为，,所以，,Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例1：设分别是子空间,的一组基，则,证明：由题设,若线性无关，,则它是的一组基.从而有,是直和.,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,反之,若直和，则,从而的秩为rs.,所以线性无关.,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例2：每一个n维向量空间都可以表示成n个一维,子空间的直和.,证明：设是n维向量空间V的一组基,则,而,Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例1：判断下列M到M对应法则是否为映射,（1）Ma，b，c，M1,2，3,4,：(a)1，(b)1，(c)2,：(a)1,(b)2,(c)3,(c)4,：(b)2，(c)4,（不是）,（是）,（不是）,（2）MZ，MZ，,：(n)|n|1,（不是）,（是）,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例2：判断下列映射的性质,（1）Ma,b,c,M1,2,3,：(a)1，(b)1，(c)2,（既不单射，也不是满射